《向量概念的推广与应用》教学设计(辽宁省市级优课)-数学教案

《向量的概念与推广----极化恒等式》教学设计【设计思路】向量的概念与推广是人教B版必修四第二章《平面向量》章末《阅读与欣赏》的内容。教参中在本章小结中安排了2课时。结合近几年高考题与学生的学习情况，设计了这节课。本节课主要从向量“形”的特征出发应用极化恒等式解决有关向量数量积求值或取值范围的问题。在介绍极化恒等式时引入维向量的概念，将平面向量推广至维向量。【教学目标】知识与方法目标：灵活应用极化恒等式解决有关向量数量积的有关计算；了解n维向量，了解极化恒等式名称的由来。过程与能力目标：在一题变式到多题的研究过程中掌握极化恒等式的适用情况，培养学生的发散思维，举一反三的能力。情感态度与价值观：培养学生感受向量“数”与“形”的双重特征；感受向量的工具作用。【教学重点】极化恒等式应用；几何向量推广至n维向量。【难点】极化恒等式的灵活应用。【教学方法】讲练结合法【教具】PPT、三角板【教学过程】引例1：已知求：设计目的：本题是本节课的引例，引导学生推出极化恒等式的公式。教师活动：找学生做题，推导出；引导学生思考该式几何意义，对该公式的几何形式有初步印象。学生活动：。例1：（2012.浙江）在中，是的中点，，则。设计目的：将问题放在三角形中讨论，让学生认识极化恒等式适用的基本图形，同时，对照多种解题方法，突出使用该公式解法的简洁直观。教师活动：找学生做题，分析学生说出的方法，分析各种方法的优劣及适用范围。学生活动：说出自己的解法。例1解1：（极化恒等式法）例1解2：（基向量法）例1解3：（坐标法）以的中点为坐标原点，方向为轴正向，设，则变式1：内接于半径为1的圆，，则的取值范围是。设计目的：由例1到变式1，问题由求数量积的值到求取值范围，中的两个向量由固定的到变化的，问题深化。教师活动：让学生思考，找学生说解题方法。解题方法要全面，多种通法都要提及，让学生自己体会各种方法的优劣。学生活动：解题，取为中点，，所求转化为求的取值范围。变式2：（2017.全国Ⅱ）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（）设计目的：变式2是2017年全国数学Ⅱ卷第12题，是小题里面的压轴题。由例1，变式1步步深化得来。该题多种解法，其中极化恒等式方法尤为简洁。教师活动：这题目是以前作业里出现过，当时用坐标法解决，教师在PPT上展示该解法。然后让学生思考，找学生说有没有解题方法。学生自然联想前面极化恒等式的解法。学生活动：解题，取为中点，取为中点，，其中，只要长度取最小值，即两点重合即可。变式3：设是所在平面上一点，若，则的最小值是（）设计目的：变式3是高三的一道模拟题，在变式2之上又有新发展，该题目更突显了极化恒等式方法的优势。教师活动：引导学生发现变式3的条件发展：正三角形变成一般三角形；条件分析，，，即中线；与上题中一致。引导学生对比坐标法，显示出极化恒等式方法的优势。学生活动：与上题一致。例2：（2016.江苏）如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，则的值是．例3：（2013.浙江）已知在中，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则（）设计目的：深入研究这两道高考题，灵活应用极化恒等式方法解题。教师活动：让学生思考，找学生说解题方法。学生活动：略。极化恒等式数学背景及维向量介绍：首先，教师让学生总结这节课做过的题目的共同特征，总结得出有关数量积的运算除了用基向量或者坐标法解决外，还可以找到其对应的几何背景，用几何图形直观地解决。这里面用到的有个名称叫“极化恒等式”。极化恒等式是高等数学《泛函分析》里的一个重要等式，意义是向量的数量积可以由它诱导出的范数表示。范数即是维向量的模。那我们来了解一下维向量。我们现在学的向量是二维向量，为什么称为“二维”呢？由平面向量基本定理可知，平面内任意向量都可以表示成两个基底的线性组合，即两个不共线的向量可以生成整个平面空间。这里的两个基底由任意两个不共线的向量组成。以前，我们学过轴上向量，轴上向量是一维的，即其基底由一个非零向量组成。往后，我们还会学习空间向量，即三位向量，这时的基底是三个不共面的向量。三个向量不共面这个条件类似于两个向量不共线。那，现在推而广之，维向量就是基底由个向量构成，这个向量得有类似于两个向量不共线的性质，它们展成的空间中的任意向量可以由基底的个向量的线性组合表示。举个实际例子，我们书上介绍的，研究某种商品五年来的销售情况，第一年，第一月的销售量记为，第二月的销售量记为，……，所以第一年的销售量记为，这是个12维的向量，该种商品五年来的销售情况就用五个这样的向量来描述。再举个例子，研究我班学生数学学习情况，记录每个人的数学成绩，上次月考，全班36人，学号1同学数学成绩记为，学号2同学数学成绩记为，……，所以全班学生数学成绩记为，这是个36维的向量。研究大家的学习情况，可以把大家上高中以来历次大考数学成绩记录下来，每次考试成绩是一个36维向量，这一组36维向量，可以用来分析大家的数学学习情况。类似于二维向量，维向量也可以定义加法，减法和数乘，模长。极化恒等式就是维向量的数量积可以由它诱导出的范数表示。把结论放到