《复习题一》教学设计(安徽省市级优课)x-数学教案

用放缩法证明数列中的不等式一、教学内容分析放缩法证明数列不等式是数列中的难点内容，放缩法灵活多变，技巧性要求较高，所谓“放大一点点就太大，缩小一点点又太小”，如何把握放缩的“度”，使得放缩“恰到好处”，这正是放缩法的精髓和关键所在！其实，任何事物都有其内在规律，放缩法也是“有法可依”的，放缩法证明与数列求和有关的不等式，若可直接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的，一般要先将通项放缩后再求和.问题是将通项放缩为可以求和且“不大不小”的什么样的才行呢？其实，能求和的常见数列模型并不多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项相消模型等.实际问题中，大多是等比模型或裂项相消模型.二、学情分析学生在学完数列之后，对数列求和的类型及方法已经较为熟悉，但是通过数列求和证明不等式时学生会遇到较大障碍，主要体现在一些数列不能直接求和，需要将数列通项放缩为可以求和的数列通项才能解决问题。这就增加了学生思维难度，与以往的学生比较，这届学生的特点是：参与课堂教学活动的积极性更强，思维敏捷，敢于在课堂上发表与众不同的见解，但计算能力较差，字母推理能力较弱，使用数学语言的表达能力也略显不足。三、设计思想由于这部分知识较为抽象，思维跨度较大，缺少感性认识，容易使学生陷入困境，降低学习热情。在教学时，我有意识地引导学生利用波利亚的一般解题方法处理习题，针对学生练习中产生的问题，进行点评，强调“双主作用”的发挥，引导学生主动发现问题、解决问题，主动参与教学，在轻松愉快的环境中发现、获取新知，提高教学效率。四、教学目标1.熟练掌握常规数列求和类型及方法，通过练习强化学生的计算能力和使用数学语言表达的能力。2.通过练习,培养学生思维的深刻性、创造性、科学性和批判性,提高分析、解决问题的能力；通过对问题的不断引申,精心设问,引导学生学习解题的一般方法及联想、类比、猜测、证明等合情推理方法。3．借助多媒体辅助教学,激发学习数学的兴趣。在民主、开放的课堂氛围中,培养学生敢想、敢说、勇于探索、发现、创新的精神。五、教学重点与难点教学重点：掌握常规数列求和类型及方法。熟悉常见数列通项的放缩技巧，并能利用放缩法证明简单的数列不等式。教学难点：放缩类型的积累及对放缩的“度”的合理把握。六、课前准备制作课堂使用的PPT演示课件。七、教学过程本节课我们一起来研究数列问题中一些常见的放缩类型及方法。常见的数列不等式大多与数列求和有关，其基本结构形式有如下2种：①形如（为常数）；②形如；（一）形如（为常数）例1、求证：分析：不等式左边可用等比数列前项和公式求和。故左边点评：表面是证数列不等式，实质是数列求和。变式1求证：分析：不等式左边可用“错位相减法”求和，由错位相减法得点评：表面是证数列不等式，实质是数列求和。变式2求证：分析：左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求和，如何放缩？注意到：故左边点评：将通项放缩为等比数列再求和。变式3求证：分析：左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求和，如何放缩？注意到：，故左边点评：将通项放缩为错位相减模型再求和。例2、求证：分析：左边可用裂项相消法求和，先求和再放缩。因为，所以左边点评：表面是证数列不等式，实质是数列求和。变式1求证：分析：左边不能求和，应先将通项放缩为裂项相消模型后求和。当时，不等式显然也成立。点评：因为，所以保留第一项，从第二项开始放缩。变式2求证：分析：变式2的结论比变式1强，要达目的，须将变式1放缩的“度”进行修正，如何修正？思路一：将变式1的通项从第三项才开始放缩。当时，不等式显然也成立。思路二：将通项放得比变式1更小一点。当时，不等式显然也成立。变式3求证：分析：变式3的结论比变式2更强，要达目的，须将变式2放缩的“度”进一步修正，如何修正？思路一：将变式2的通项从第三项才开始放缩。当时，不等式显然也成立。思路二：将通项放得比变式2思路二更小一点当时，不等式显然也成立。点评：对放缩方法不同，得到的结果也不同.显然，故后一个结论比前一个结论更强，也就是说如果证明了变式3，那么变式1和变式2就显然成立.对的3种放缩方法体现了三种不同“境界”，得到的三个“上界”，其中最接近（欧拉常数）牛刀小试：练习1练习2例3、分析：左边不能直接求和，考虑将通项放缩为等比模型后求和。思路：利用指数函数的单调性放缩为等比模型解：，故左边变式练习：点评：形如，在证明时可提取出利用指数函数的单调性将其放缩为等比模型。（二）、形如例4、分析：左边不能直接求和，考虑将通项放缩为裂项相消模型后求和。例5、分析：不等式形如，左、右两边的式子都是某等差数列的和，因此考虑将通项放缩为等差模型后求和.证明：点评：证明只要证明八、课堂小结：本节课我们一起研究了利用放缩法证明数列不等式，从中我们可以感受到在平时的学习中有意识地去积累总结一些常用的放缩模型和放缩方法非常必要，另外还必须在实践中不断去感悟、揣摩，逐步内化为自己个人的“修为”。正如南宋杰出的诗人陆游说得好：“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”讲的就是这个道理。九、板书设计用放缩法证明数列中的不等式用放缩法证明数列中的不等式二、形如例二、形如例4：分析思路详细解答例5：分析思路详细解答课时小结：练习1：练习2：例3：变式：一、形如例1：分析思路变式1：变式2：变式3：例2：分析思路变式1：变式2：变式3：十、教学反思本节课借助于“POWERPOINT课件”，利用五个例题及其变式,通过一题多变,层层深入的探索,以及对猜测结果的检测研究,培养学生思维的深刻性、创造性、科学性、批判性,使学生从学会一个问题的求解到掌握一类问题的解决方法,领略数学的统一美。运用“多媒体课件”辅助教学，节省了板演的时间，从而给学生留出更多的时间自悟、自练、自查，充分发挥学生的主体作用，这充分显示出“多媒体课