2022-2023学年福建省泉州市现代中学高二上学期期中数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat19页2022-2023学年福建省泉州市现代中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．双曲线的焦点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将双曲线方程化成标准式，即可得到，，从而求出，即可得到焦点坐标；【详解】解：双曲线，即，所以，，所以，即，所以焦点坐标为；故选：B2．若点在圆的内部，则实数的取值范围是（

）A． B． C．或 D．【答案】A【分析】根据点与圆的位置关系求解即可.【详解】因为点在圆的内部，所以，即，解得.故选：A3．已知点，到直线的距离相等，则（

）A．或 B． C． D．或【答案】D【分析】根据点到直线距离公式列出方程，求出答案.【详解】由题意得：，化简得：，解得：或，故选：D.4．在四面体中，，点在棱上，且，为中点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据空间向量的线性运算可得答案.【详解】点在线段上，且，为中点，，，．

故选：B．5．长方体中，，，是的中点，是的中点.则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成的角；【详解】解：依题意，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，设异面直线与所成的角为，则故选：B6．直线与圆交于A，B两点，则线段的垂直平分线的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由圆的平面几何性质可知，过圆心与垂直的直线即为所求，根据垂直关系求出线段的垂直平分线斜率即可求解【详解】因为直线的斜率为，则线段的垂直平分线的斜率为，又圆即的圆心为，所以线段的垂直平分线方程为，化简得，故选：C7．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.【详解】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.8．已知椭圆：的中心为，过焦点的直线与交于，两点，线段的中点为，若，则椭圆的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，，利用中点坐标公式得到，再利用得到、、的方程组即可求解.【详解】设，，则，因为，所以，所以，即，解得，，，所以椭圆的方程为.故选：B.二、多选题9．已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（

）A．的倾斜角等于 B．在轴上的截距等于C．与直线垂直 D．上的点与原点的距离最小值为【答案】AC【分析】由方向向量求出直线斜率，即可求出直线方程，由倾斜角与斜率的关系可判断A；令求出轴上的截距，可判断B；由斜率与垂直关系可判断C；上的点与原点的距离最小值为原点到直线l的距离，求出点线距离即可判断D【详解】直线的方向向量为，则斜率，故直线为，即，对A，∵，，故，A对；对B，由得，B错；对C，直线斜率，由得与直线垂直，C对；对D，上的点与原点的距离最小值为原点到直线l的距离，即，D错；故选：AC10．已知圆和圆相交于，两点，下列说法正确的是（

）A．圆与圆有两条公切线B．圆与圆关于直线对称C．线段的长为D．，分别是圆和圆上的点，则的最大值为【答案】ABD【分析】根据题意，由圆的方程分析两圆的圆心和半径，由此依次分析4个选项，即可得答案．【详解】解：根据题意，圆，其圆心为，半径，圆，即，其圆心为，半径，依次分析选项：对于A，由于，，又，所以两圆相交，故有两条共切线，A正确，对于B，圆和圆的半径相等，则线段的垂直平分线为，则圆与圆关于直线对称，B正确，对于C，联立，化简可得，即的方程为，到的距离，则，C错误；对于D，，则的最大值为，D正确，故选：ABD．11．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半粗圆组成的“曲圆”．如图，在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列说法正确的有（

）

A．椭圆的长轴长为B．线段长度的取值范围是C．面积的最小值是4D．的周长为【答案】ABD【分析】结合圆的半径长可求得，结合椭圆焦点坐标可求得，由此可判断A；根据，结合的范围可判断B；设，利用结合面积公式可求得，取可判断C；结合椭圆定义可判断D.【详解】对于A，∵半圆所在圆过点，∴半圆的半径，又椭圆短轴为半圆的直径，∴，即，又，∴，即，∴椭圆长轴长为，故A正确；对于B，∵，，∴，故B正确；对于C，设，则，当时，，故C错误；对于D，由题意知：，则为椭圆的下焦点，由椭圆定义知：，又，∴的周长为，故D正确.故选：ABD.

12．如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（

）A．存在点，使得平面B．存在点，使得直线与直线所成的角为C．存在点，使得三棱锥的体积为D．不存在点，使得，其中为二面角的大小，为直线与所成的角【答案】ACD【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系（如图所示），则、、、、、、、，设，即点，其中.对于A：假设存在点，使得平面，因为，，，则，解得，故当点为线段的中点时，平面，即选项A正确；对于B：假设存在点，使得直线与直线所成的角为，，，因为，即，所以不存在点，使得直线与直线所成的角为，即选项B错误；对于C：假设存在点，使得三棱锥的体积为，，且点到平面的距离为，则，解得，所以当点为线段的靠近的四等分点时，三棱锥的体积为，即选项C正确；对于D：，，设平面的法向量为，则，取，可得，易知平面的一个法向量为，则，，，，因为，，则，因为、，且余弦函数在上单调递减，则，即不存在点，使得，即选项D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.三、填空题13．若圆与圆的交点为A，B，则．【答案】【分析】根据题目条件画出图象，利用勾股定理得到△AOC是直角三角形，且∠OCA=30°，进一步得出答案.【详解】由题可知：，，满足勾股定理：所以△AOC是直角三角形，且∠OCA=30°∴∴.故答案为：.14．函数的最小值为.【答案】【分析】将函数最小值转化为轴上一点分别到点距离的和的最小值，画图利用数形结合求解.【详解】，上式表示轴上一点分别到点距离的和，如图所示，设为点关于轴的对称点，则当点为直线与轴的交点时，点到两点距离的和最小，最小值为两点间的距离.，所以函数的最小值为.故答案为：【点睛】本题主要考查函数求最值的方法，结合所给函数表达式的特点，利用数形结合解题是常用的方法.15．已知直线与圆交于两点，为原点，且，则实数的值为.【答案】【分析】联立直线与圆，再运用韦达定理即可求解．【详解】联立，设，则，因为，所以有，解得.故答案为：四、双空题16．已知、分别为（）椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若，，则，椭圆的离心率为.【答案】【分析】由给定条件结合向量的线性运算计算得即可，在、中借助勾股定理建立a，c的关系即可作答.【详解】依题意，，于是得，即，所以；令，因，则，由椭圆定义知，，，而在中，，即，解得，显然，中，椭圆半焦距为c，有，所以椭圆的离心率为.故答案为：；.五、解答题17．已知空间中的三点，，，，．(1)当与的夹角为钝角时，求的范围；(2)求点到直线的距离．【答案】(1)(2)【分析】（1）两向量夹角为钝角时，数量积小于0且不共线，再利用向量的线性运算、数量积运算的坐标表示求解.（2）利用点到直线的距离公式进行求解.【详解】（1）由题意得，，所以，，由，解不等式，得．∵当时，两个向量的夹角为，∴的取值范围是．（2）设直线的单位方向向量为，则，∵，∴，，∴点到直线的距离．18．已知圆：，圆：，圆，圆．(1)若动圆与圆内切与圆外切.求动圆圆心的轨迹的方程；(2)若动圆与圆、圆都外切.求动圆圆心的轨迹的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，由椭圆的定义结合条件，即可得到结果；（2）根据题意，由双曲线的定义结合条件，即可得到结果.【详解】（1）设动圆的半径为，∵动圆与圆内切，与圆外切，∴，且.于是，所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆.从而，所以.故动圆圆心的轨迹的方程为．（2）圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，因为，则圆与圆外离，设圆的半径为，由题意可得，所以，，所以，圆心的轨迹是以点、分别为左右焦点的双曲线的右支，设圆心的轨迹方程为，由题意可得，则，，因此，圆心的轨迹方程为.19．已知圆C的圆心为原点，且与直线相切，直线过点．(1)求圆C的标准方程；(2)若直线与圆C相切，求直线的方程．(3)若直线被圆C所截得的弦长为，求直线的方程．【答案】(1)(2)，或(3)或【分析】（1）利用点到直线的距离求出半径，即可得到圆C的标准方程；（2）分类讨论直线斜率不存在与存在的情况，当斜率存在时，设出直线，利用点到直线距离等于半径求出斜率，即可求解；（3）分类讨论直线斜率不存在与存在的情况，利用圆的垂径定理，列出弦长公式进行求解.【详解】（1）圆心到直线的距离，所以圆的半径为，所以；（2）当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为，不相切．直线斜率存在，设直线，由，得所以切线方程为，或．（3）当直线斜率不存在时，，直线被圆所截得的弦长为，符合题意；当直线斜率存在时，设直线，由，解得：，故的方程是，即，综上所述，直线的方程为或20．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的高线所在直线方程为．(1)求顶点的坐标；(2)求直线的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，列出方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，求出点的坐标，再结合直线的斜截式，即可得到结果.【详解】（1）设顶点的坐标为，因为顶点在直线上，所以，由题意知的坐标为，因为中点在直线上，所以，即；联立方程组，解得顶点的坐标为.（2）设顶点的坐标为，因为顶点在直线上，所以，因为为高，所以，所以，解得的坐标为，设所在的直线方程为，，解得，所以，即.21．如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，，，E，F分别为棱，BC的中点，G为线段CF的中点．(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）作图，由对应比例证明，即可证明平面；（2）建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，从而得对应平面向量的坐标，求解出法向量，利用向量夹角计算公式代入计算.【详解】（1）连接，交于点，连接，由题意，四边形为平行四边形，所以，因为E为中点，∴，∴，且相似比为，∴，又∵，为，中点，∴，∴，又平面，平面，∴平面.（2）连接，因为，，所以，，建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，设平面和平面的法向量分别为，则，，所以，因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.【点睛】对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.22．已知椭圆的的焦距为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若不经过点的直线与交于两点，且直线与直线的斜率之和为0，求的