中考复习讲义10-平行线与相交线

教学内容平行线与相交线【中考回顾】（2015，河南）如图，直线a，b被直线e，d所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为（）[来dcbaA.55°B.60°dcbaA【解析】本题考查了平行线的判定和相交线与平行线性质求角度.∵∠1＝∠2，∴a∥b．∴∠5＝∠3=125°，∴∠4＝180°－∠5=180°－125°=55°．[（2014，河南）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°C【解析】考点：垂线，角平分线，对顶角，邻补角的性质．分析：由射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，得出∠MOC=35°，由ON⊥OM，得出∠CON=∠MON﹣∠MOC得出答案．（2013，河南）将一副直角三角板和如图放置（其中），使点落在边上，且，则的度数为15°【解析】有图形可知：。因为，所以,∴（2011，河南）.如图，直线a，b被c所截，a∥b，若∠1=35°，则∠2的大小为【】（A）35°（B）145°（C）55°（D）125°答案：B（2010，河南）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的段直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为______________．答案：75°（2009，河南）如图，AB//CD,CE平分∠ACD，若∠1=250，那么∠2的度数是.答案：100°【知识梳理】知识点一、相交线1.对顶角、邻补角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表：图形顶点边的关系大小关系对顶角112∠1与∠2有公共顶点∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线对顶角相等即∠1=∠2邻补角有公共顶点∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线.邻补角互补即∠3+∠4=180°2.垂线及性质（1）垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作：AB⊥CD，垂足为O.要点诠释：要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直.（2）垂线的性质：垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记).垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.知识点二：平行线的性质和判定1.“三线八角”模型如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图2.同位角、内错角、同旁内角的定义在“三线八角”中，如上图（1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.（2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角.（3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.注意：(1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角.(2)“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．3．平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.4．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．考情分析：（1）考查对顶角和邻补角的性质（2）考查平行线的判定及性质的应用;（3）考查一些与平行线有关的开放性问题。会出现在中招试卷的填空、选择和大题的综合运用。【典型例题】要点一：三线八角模型例1、如图，已知直线a、b被直线c所截，那么∠1的同位角是（）A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5考点：同位角、内错角、同旁内角．分析：根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角可得答案．解答：解：∠1的同位角是∠2，故选：A．点评：此题主要考查了同位角，关键是掌握同位角的边构成“F“形．练习1、如图，CF是△ABC的外角∠ACM的平分线，且CF∥AB，∠ACF=50°，则∠B的度数为（）A． 80° B． 40° C． 60° D． 50°考点：平行线的性质；角平分线的定义．分析：根据角平分线的定义可得∠FCM=∠ACF，再根据两直线平行，同位角相等可得∠B=∠FCM．解答：∵CF是∠ACM的平分线，∴∠FCM=∠ACF=50°，∵CF∥AB，∴∠B=∠FCM=50°．故选D．点评：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．如图，AB∥CD，AE交CD于C，∠A=34°，∠DEC=90°，则∠D的度数为（）A．17°B．34°C．56°D．124°考点：平行线的性质；直角三角形的性质分析：根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠A，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．解答：解：∵AB∥CD，∴∠DCE=∠A=34°，∵∠DEC=90°，∴∠D=90°﹣∠DCE=90°﹣34°=56°．故选C．点评：本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．要点二：三角板类型例2、将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．已知∠1=30°，则∠2的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°考点：平行线的性质．专题：计算题．分析：根据平行线的性质得∠2=∠3，再根据互余得到∠1=60°，所以∠2=60°．解答：解：∵a∥b，∴∠2=∠3，∵∠1+∠3=90°，∴∠1=90°﹣30°=60°，∴∠2=60°．故选D．点评：本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．练习1、如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，如果∠1=27°，那么∠2的度数为（）A．53°B．55°C．57°D．60°考点：平行线的性质．分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠3．解答：解：由三角形的外角性质，∠3=30°+∠1=30°+27°=57°，∵矩形的对边平行，∴∠2=∠3=57°．故选C．点评：本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．2、如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．30°考点：平行线的性质．分析：根据两直线平行，内错角相等求出∠3，再求解即可．解答：解：∵直尺的两边平行，∠1=20°，∴∠3=∠1=20°，∴∠2=45°﹣20°=25°．故选C．点评：本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．【课后作业】1.如图，已知AB∥CD，与∠1是同位角的角是（）A．∠2B．∠3C．∠4D．∠52．下列图形中，∠2大于∠1的是（）A．]B．C．D．3．如图，∠A0B的两边0A，0B均为平面反光镜，∠A0B=40°．在0B上有一点P，从P点射出一束光线经0A上的Q点反射后，反射光线QR恰好与0B平行，则∠QPB的度数是（） A．60° B． 80° C． 100° D． 120°4．如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1=110°，则∠2等于（） A．65° B．70° C．75° D． 80°5.如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1=60°，则∠2的度数是（）A．50°B．45°C．35°D．30°6．如图，AB∥ED，AG平分∠BAC，∠ECF=70°，则∠FAG的度数是（）第1题图 A．155° B． 145° C． 110° D． 35°7．如图，AB∥CD，∠A=45°，∠C=28°，则∠AEC的大小为（） A．17° B． 62° C． 63° D． 73°8．如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=30°，则∠2的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．30°9．如图，直线AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于点E、F，过点F作FG⊥FE，交直线AB于点G，若∠1=42°，则∠2的大小是（） A．56° B． 48° C． 46° D． 40°10．如图，AB∥CD，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是（）A．∠1=∠3B．∠2+∠3=180°C．∠2+∠4＜180°D．∠3+∠5=180°11.如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=30°，则∠C为（）A．30°B．60°C．80°D．120°如图，直线l∥m∥n，等边△ABC的顶点B、C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹的角为25°，则∠α的度数为（）A．25°B．45°C．35°D．30°二、填空题1.直线l1∥l2，一块含45