山西省临汾市洪洞县向明中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试卷

班级:姓名:考号：班级:姓名:考号：目标大学：数学试卷（A卷）考试时间：120分钟；考试分数：150分；命题人：解慧明一、单选题★1．有下列说法:①若，则与，共面；②若与，共面，则=x+y；③若=x+y，则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则=x+y.其中正确的是（

）A．①②③④B．①③④C．①③D．②④★2．在空间直角坐标系中，若点关于z轴的对称点的坐标为，则的值为（

）A．3B．5C．7D．9★3．已知向量，，若与互相垂直，则的值为（

）A．－1B．2 C．D．1★4．在空间直角坐标系中，，则的值是（

）A．B．C．D．★★5．如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则=（

） B．C．D．★★6．已知是空间的一个单位正交基底，且，则与夹角的正弦值为（

）A． B． C． D．★7．已知，，与共线，则（

）A．1B． C．2D．3★★8．在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为正方形，，，则异面直线PA与BD所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．二、多选题★★9．以下关于向量的说法正确的有（

）A．若＝，则＝B．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆C．若＝－且＝－，则=D．若与共线，与共线，则与共线★★10．已知向量，则与共线的单位向量（

）A．B． C． D．★★11．若，，是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是A．，， B．，，C．，， D．，，★★12．如图，平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（

）(第12题)（第16题）（第17题）A．B．C．向量与的夹角是.D．异面直线与所成的角的余弦值为.三、填空题★13．已知两个向量，若，则m的值为.★14．已知，，则向量与的夹角为.★15．已知向量＝（1，4，3），＝（﹣2，t，﹣6），若，则实数t的值为.★★16．已知线段垂直于三角形所在的平面，且，为垂足，为的中点，则的长为.四、解答题★17．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标．18．已知，，．求：★(1)；★(2)．19．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点．★(1)求证：平面；★★(2)试在棱上找一点，使平面，并证明你的结论．20．在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，为中点．★（1）求证：；★★（2）求异面直线与所成角的余弦值．21．已知在平行六面体中，，，，且.★（1）求的长；★★（2）求与夹角的余弦值.22．如图所示，在四棱锥中，为等腰直角三角形，且，四边形ABCD为直角梯形，满足，，，．★★(1)若点F为DC的中点，求；★★(2)若点E为PB的中点，点M为AB上一点，当时，求的值．参考答案：1．C【来源】6.1.3共面向量定理（1）【分析】利用空间向量共面定理逐一判断即可.【详解】若，共线，由=x+y知一定与，共面，若，不共线，则满足共面定理，与，共面，①对；同理③对；若与，共面，且，共线，则不一定有=x+y，故②不对；同理④不对，故选：C.2．A【来源】山东省潍坊市诸城第一中学2022-2023学年高二下学期2月月考数学试题【分析】根据给定条件，求出点M关于z轴对称点坐标，再列式计算作答,【详解】依题意，点关于z轴的对称点，于是得，解得，所以.故选：A3．B【来源】江苏省宿迁市沭阳塘沟高级中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题【分析】根据与互相垂直，可得，再根据数量积的坐标运算即可得解.【详解】解：因为与互相垂直，所以，即，解得.故选：B.4．D【来源】广东省佛山市南海区桂华中学2022-2023学年高二上学期第一次阶段测试数学试题【分析】先求坐标，再根据向量数列积公式求解即可．【详解】由题意得，所以故选：D5．A【来源】山东省烟台市龙口市龙口第一中学东校2023-2024学年高二上学期开学数学试题【分析】根据空间向量的加减法运算法则，直接写出向量的表达式，即可得答案.【详解】=,故选：A.6．C【来源】新疆乌鲁木齐市第八中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题【分析】设与夹角为，先利用向量的夹角公式求出，再利用同角三角函数的关系可求出的值.【详解】设与夹角为，，因为是空间的一个单位正交基底，且，所以，所以，因为，所以，故选：C7．A【来源】1.1.1空间向量及其线性运算（分层作业）（题型分类基础练能力提升综合练）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）【分析】利用空间向量共线性质求参数的值.【详解】因为，共线，则，∴，∴，故选：A．8．D【来源】突破1.1空间向量及其运算（课时训练）【分析】由题意建立空间直角坐标系，求出的坐标，由两向量所成角的余弦值求解．【详解】解：由题意，建立如图的空间坐标系，底面为正方形，，，底面，点，，，，则，，．异面直线与所成角的余弦值为．故选：．【点睛】本题考查利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．9．AC【来源】模块三专题1空间向及其运算A基础卷（人教B）【分析】根据向量的基本概念和性质即可逐项判断.【详解】若＝，则和的大小相等，方向相同，故A正确；将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球，故B错误；若＝－，＝－，则＝－=，故C正确；若与共线，与共线，则当时，无法判断与的关系，故D错误.故选：AC.10．AC【来源】辽宁省大连市第八中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题【分析】直接利用向量求出向量的模，进一步求出单位向量．【详解】解：由于向量，所以根据单位向量的关系式，可得或．故选：．11．ABD【来源】突破1.2空间向量基本定理（课时训练）【解析】根据空间向量的共面定理，一组不共面的向量构成空间的一个基底，对选项中的向量进行判断即可．【详解】解：对于中、、，中、、，中、、，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底；对于，、、，满足，是共面向量，不能构成空间的一个基底．故选：ABD．【点睛】本题考查了空间向量共面的判断与应用问题，属于基础题．12．AB【来源】1.1.2空间向量的数量积运算精讲（4大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）【分析】根据题意，引入基向量，分别用基向量表示，利用向量求长度的计算公式，计算可得A正确；利用向量证垂直的结论，计算可得B正确；利用向量求夹角公式，计算可得CD错误.【详解】设，因为各条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，所以，因为，所以，，故A正确；由，所以，所以，故B正确；因为，且，所以，所以其夹角为，故C错误；因为，，，，所以，故D错误.故选：AB.13．【来源】山西省名校联考2022-2023学年高二上学期期末数学试题【分析】根据向量垂直的坐标表示列式计算求解即可.【详解】因为，所以，解得.故答案为：.14．/【来源】1.3.2空间向量运算的坐标表示（AB分层训练）-【冲刺满分】2023-2024学年高二数学重难点突破分层训练同步精讲练（人教A版2019选择性必修第一册）【分析】运用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】，故答案为：15．﹣8【来源】练习10空间向量及其运算-2020-2021学年【补习教材·寒假作业】高二数学（苏教版）【解析】利用空间向量共线定理直接求解即可．【详解】∵向量＝（1，4，3），＝（﹣2，t，﹣6），，∴，解得t＝﹣8，∴实数t的值为﹣8．故答案为：﹣8．16．【来源】3.3空间向量的坐标表示（作业）（夯实基础能力提升）-【教材配套课件作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件（沪教版2020选修第一册）【分析】则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设求得，即可求出的长.【详解】因为线段垂直于三角形所在的平面，且，则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，因为在上，所以可设，先设，所以，，，所以，，，因为，所以，解得：，，，则的长为.故答案为：.17．＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)．【来源】1.3空间向量及其运算的坐标表示（精讲）-2023-2024学年高二数学《一隅三反》系列（人教A版2019选择性必修第一册）【分析】以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C­xyz，利用空间向量坐标表示公式进行求解即可.【详解】由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C­xyz，如图所示．则B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)，∴＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)．18．(1)(2)【来源】第02讲空间向量的坐标表示-【帮课堂】2021-2022学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第二册）【分析】(1)根据向量的加减运算法则，即可得；（2）根据数乘与向量的加减运算法则，即可得．(1)解：，；(2)解：．19．(1)证明见解析；(2)为棱的中点时，平面，证明见解析.【来源】山东省东营市广饶县第一中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题【分析】（1）以D为坐标原点建立空间直角坐标系，借助空间位置关系的向量证明求解作答.（2）设出点M的坐标，利用空间向量垂直的坐标表示计算作答.【详解】（1）以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，于是得，因此，平行于平面BEF，又平面BEF，所以AG//平面BEF.（2）依题意，设，，则，因平面BEF，，则当且时，DM⊥平面BEF，由（1）知，，解得，所以当，即M为棱的中点时，DM⊥平面BEF.20．（1）详见解析；（2）．【来源】宁夏银川三沙源上游学校2020-2021学年高二下学期第一次月考数学（理）试题【分析】（1）以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，计算得，即可证明结论；（2）先求出，再利用向量夹角公式即可得出.【详解】（1）由题意在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，．因为为中点，所以，所以，，所以，所以．（2）由（1）得，，，，，所以与所成角的余弦值为．【点睛】本题考查了异面直线所成的角、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．21．（1）；（2）.【来源】课时1.2空间向量基本定理-2021-2022学年高二数学同步练习和分类专题教案（人教A版2019选择性必修第一册）【分析】(1)根据的模与夹角，利用数量积公式先求的值，再根据求得结果；（2）由先平方，再开平方即可.【详解】（1）由题意得||=||=||=1，·=·=·=，∵=-=-，=-，∴·=·(-)=-+=.（2）∵=-=(+)-，∴==2+2+2+·-·-·=，∴||=.22．（1）；（2）.【来源】专练03专题强化训练一空间向量的运算及应用-2021-2022学年高二数学上册同步课后专练（人版A版选择性必修第一册）【解析】（1）由空间向量的加法法则可得，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值，由此可求得的长；（2）计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值，即可得解.【详解】（1）由题可知，，那么，因此，的长为；（2）由题知，，则，，所以，.【点睛】本题考查利用空间向量法计算线段长，同时也考查了利用空间向量法计算向量夹角的余弦值，解题的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.2