高二数学（江苏,理科）（新高三）暑期作业复习方法策略讲-第讲基本初等函数复习全国通用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第3讲基本初等函数复习抓基本——概念、图象、性质指数函数、对数函数、幂函数都是重要的基本初等函数，复习时要牢牢抓住基本初等函数的概念、图象、性质，明晰概念，掌握并能灵活运用图象与性质解决指数型、对数型等问题．一次函数、二次函数、反比例函数、绝对值函数，常常与指、对、幂函数复合，指、对、幂函数之间也常常复合，这些函数通过换元后往往转化为关于新元的基本初等函数，充分体现化归的思想方法,这种化复杂为简单，化陌生为熟悉,是解决问题的基本思想．1．与根式类比理解对数概念与符号，利用指数的运算性质,理解对数的运算性质．对数是难点,可将对数与根式类比进行复习．设xn＝a，根式是已知指数n、幂a求底数x的运算，用符号“eq\r(n,）”表示这种运算，运算的结果为eq\r（n，a)。对数来源于指数，如果ax＝N，求指数x的运算即为对数运算，用符号“log”表示这种已知底数、幂求指数的运算，“logaN”表示运算的结果．显然ax＝N与x＝logaN是等价关系，对指互化是基本方法．反映到运算上，对数的运算性质与指数的运算性质也是等价的．如logaM＋logaN＝loga(MN），就能从aman＝am＋n变出来,由aman＝am＋n知，m＋n＝loga(aman），记am＝M，an＝N，于是m＝logaM，n＝logaN,所以有logaM＋logaN＝loga（MN)．同样，由eq\f(am,an)＝am－n可得logaM－logaN＝logaeq\f（M，N)，由(am）n＝amn可得nlogaM＝logaMn.换底公式及推论也要掌握和运用．在对数计算时，要明确对数变形的方向，使之能利用对数的运算性质逐步运算下去，直至化简出结果．【温故知新1】化简:（lg2）2＋lg2·lg50＋lg25.说明：利用对数的运算性质进行变形，使之能利用对数的运算性质逐步运算下去，这就是对数化简求值时对数变形的方向与目的（指数运算也是如此）．如方法一,对(lg2）2＋lg2·lg50提取公因式lg2,出现lg2＋lg50，能继续变下去．如果先将（lg2)2变形为lg2lg2，就难往下继续了．【温故知新2】化简：eq\f(\r（a3b2\r（3，ab2）），（a\f(1，4)b\f（1，2)）4a－\f（1,3）b\f(1,3))(a>0，b〉0）．说明：(1）指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．2．结合运算理解函数性质,利用图象记忆性质．(1)结合指数运算理解指数函数性质．指数运算推广到实数，故定义域为R；因为a0＝1，故图象过定点(0，1）;a〉1时,当x>0且x越大时，显然ax越大,向上无界；当x〈0且x越小时，显然ax＝eq\f（1，a－x）越小,且能无限接近于0，故值域为(0，＋∞)，同时也反映出在R上是增函数等．(2)结合对数运算、对数函数与指数函数的联系理解对数函数性质．同底的指数函数与对数函数互为反函数,其图象关于直线y＝x对称,可将二者对比着复习．(3)指、对、幂函数的增长速度不同．指数函数的增长速度大于幂函数，幂函数大于对数函数．3．牢固树立分类讨论、数形结合意识,自觉运用化归转化思想．指、对函数的图象与性质，分底数a>1和0<a<1两种情形，当指、对函数的底数与1的大小不确定时，一定要分类讨论．图形是思维的依托,数形结合也是解决指、对、幂函数的重要思想方法．与指、对、幂函数有关的复合函数,研究它们的值域、最值、单调性等，常常使用换元的方法,将它们转化为基本初等函数．例1设a＝log36,b＝log510,c＝log714,则a、b、c的大小关系为______________．解后反思一般利用函数的单调性比较函数值的大小．(1）对于同底的对数(指数)，直接利用相应的对数(指数)函数的单调性进行比较．（2)对于同真数不同底数的对数,利用换底公式转化为同底的对数，再结合不等式的性质比较大小．也可以利用函数图象比较大小，在同一坐标系中作出y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的图象(利用y＝1定特殊点),如图，便可看出x＝3时对数的大小．对于指数相同底数不同的指数大小比较，同样能利用指数函数图象比较大小．（3)真数、底数均不相同的对数大小比较,一般选择一个数与之比较，看能否利用不等式的传递性比较大小．也可选择一个对数，与其中一个同底，与另一个同真,转化为上述两种情形，看能否利用不等式的传递性比较大小．指数、底数均不相同的指数也能按照类似方法比较大小．“穷则变,变则通"，将对数变形，洞察其内在的联系,是迅速解决问题的关键．例2函数y＝eq\f（ex＋e－x,ex－e－x)的图象大致为________．解后反思函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3）从函数的奇偶性,判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点,排除不合要求的图象．例3已知函数f（x)＝loga（1＋x）＋loga(1－x)(a>0且a≠1）．（1)求f(x)的定义域；(2)求f（x)的值域；(3）求f(x）的单调区间．解后反思1．在求对数型函数的定义域时，不要对解析式变形．如将f(x）变形为f(x）＝loga(1＋x)（1－x)］＝loga(1－x2），然后令1－x2>0，也能解出正确结果，但算理是错误的，前后不是等价变形．如g(x)＝loga（x＋1)＋loga（x＋2)，变形后g(x）＝loga（x＋1)（x＋2）］，由（x＋1）(x＋2)〉0解得的结果则是错误的．2．解析式较为复杂的函数值域、最值、单调性等,常常使用换元的方法，将它们转化为最基本的函数模型,其中复合函数的单调性根据“同增异减”的原则确定．解决这些问题时,不要忽略定义域．总结感悟1．比较两个数值的大小，如果具有可比性，直接比较大小；若不具有可比性，选择合适的中间值，利用不等式的传递性比较大小．2．识别函数图象，往往运用排除法．从解析式、定义域、最值、奇偶性、单调性、有界性、渐进性、极端情形、特殊值(点)等不同角度入手，找到矛盾，排除干扰图象．3．解析式较为复杂的函数值域、最值、单调性等问题,常常使用换元法，将它们转化为最基本的函数模型．其中复合函数的单调性根据“同增异减"的原则确定．解决这些问题时，不要忽略定义域．【误区警示】在画指、对函数有关的函数图象时，要注意有界性．如函数f（x)＝1－3x，要注意到它是有界的，直线y＝1是渐近线．A级1．对数函数的图象过点M（16，4),则此对数函数的解析式为____________．2．若10a＝5，10b＝2，则a＋b＝________．3．函数y＝eq\f(xax，｜x｜）(0〈a〈1）的图象的大致形状是________．4．(2016·全国Ⅲ改编)已知a＝2eq\f(4,3),b＝3eq\f(2,3),c＝25eq\f（1，3），则a，b,c的大小关系为________．5．函数y＝8－23－x（x≥0)的值域是________．6．设a>1，函数f(x)＝logax在区间a，2a]上的最大值与最小值之差为eq\f(1，2），则a＝________．B级7．若loga（a2＋1）〈loga2a〈0,则a的取值范围是________．8．（2016·全国Ⅰ改编)函数y＝2x2－e｜x|在－2，2]的图象大致为________（填序号)．9．函数f(x)＝2x|log0.5x｜－1的零点个数为________．10．已知函数f(x）＝loga（x2＋2x－3)，若f(2)〉0,则此函数的单调递增区间是________．11．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，a≠1）在区间－1，1］上的最大值是14，则a的值为________．12．已知函数f(x)＝2a－eq\f(1，3x＋1）（a∈R）．(1）若函数f(x）为奇函数，求a的值；（2）判断函数f（x)在R上的单调性,并证明．

第3讲基本初等函数复习抓基本-—概念、图象、性质复习指导【温故知新1】解方法一(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25＝lg2（lg2＋lg50）＋lg25＝lg2lg(2×50）＋lg25＝lg2lg100＋lg25＝2lg2＋lg25＝lg22＋lg25＝lg（4×25）＝2.方法二(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25＝（lg2)2＋lg2·lgeq\f（100，2)＋lg25＝(lg2)2＋lg2·(lg100－lg2）＋lg25＝(lg2）2＋lg2·(2－lg2）＋lg25＝(lg2)2＋2lg2－（lg2）2＋lg25＝2lg2＋lg25＝lg22＋lg25＝lg(4×25）＝2.【温故知新2】解原式＝eq\f（（a3b2a\s\up6(\f（1，3))b\s\up6（\f（2，3）））\s\up6(\f(1，2)),ab2a－\f(1，3)b\s\up6(\f（1,3）））＝aeq\f（3,2）＋eq\f(1，6）－1＋eq\f（1，3)b1＋eq\f(1,3）－2－eq\f(1，3）＝ab－1.题型分析例1a>b〉c解析设a＝log36＝1＋log32＝1＋eq\f（1，log23），b＝log510＝1＋log52＝1＋eq\f(1，log25），c＝log714＝1＋log72＝1＋eq\f(1,log27)，显然a〉b>c.例2①解析函数有意义,需使ex－e－x≠0，其定义域为{x|x≠0｝，排除④。又因为y＝eq\f(ex＋e－x,ex－e－x)＝eq\f(e2x＋1，e2x－1）＝1＋eq\f（2，e2x－1)，所以当x>0时函数为减函数．例3解(1）欲使f（x）有意义，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋x〉0，，1－x>0,）)得－1<x<1，即函数f(x）的定义域为（－1，1)；(2)f（x）＝loga（1＋x)(1－x)＝loga(1－x2)，令t＝1－x2∈（0,1］，则y＝logat,t∈（0，1］．当a〉1时，y∈（－∞，0]；0<a<1时,y∈0，＋∞)．即当a〉1时，f(x)的值域为(－∞，0]，0<a〈1时，f（x）的值域为0，＋∞)．(3）令t＝1－x2,则函数f（x）由y＝logat,及t＝1－x2复合而成．t＝1－x2在（－1，0）上是增函数,在(0，1)上是减函数．故a>1时，由y＝logat是增函数,知f(x)在（－1，0)上是增函数，在（0,1)上是减函数；0〈a〈1时,由y＝logat是减函数，知f(x）在（0，1）上是增函数，在（－1，0)上是减函数．线下作业1．y＝log2x解析由于对数函数的图象过点M（16，4）,所以4＝loga16，得a＝2。所以对数函数的解析式为y＝log2x.2．1解析∵a＝lg5，b＝lg2，∴a＋b＝lg5＋lg2＝lg10＝1。3．b<a<c解析a＝2eq\f(4，3)＝eq\r（3,16），b＝3eq\f(2，3）＝eq\r（3,9）,c＝25eq\f(1，3)＝eq\r(3，25）,所以b＜a＜c。4．④解析c＝log46＝log226＝eq\f（1，2）log26＝log2eq\r（6）〉1,注意到2〉1，3＝eq\r（9)>eq\r（6），于是log23>log2eq\r（6)＝log46〉1，而b＝log32〈1，∴a>c〉b。5．0，8)解析∵x≥0，∴－x≤0，∴3－x≤3，∴0〈23－x≤23＝8，∴0≤8－23－x<8，∴函数y＝8－23－x的值域为0，8）．6．4解析∵a>1，∴f(x)＝logax在a，2a］上递增，∴loga(2a）－logaa＝eq\f(1,2)，即loga2＝eq\f（1，2）,∴aeq\s\up6(\f(1，2)）＝2，a＝4.7．(eq\f(1,2),1)解析由题意得a〉0，故必有a2＋1〉2a，又loga(a2＋1）<loga2a〈0，所以0〈a〈1，同时2a>1，所以a>eq\f（1,2）。综上，a∈(eq\f(1，2),1）．8．④解析f（2)＝8－e2〉8－2.82〉0，排除①；f（2)＝8－e2<8－2.72<1，排除②；在x>0时，f(x)＝2x2－ex，f′（x）＝4x－ex，当x∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4）))时，f′(x)<eq\f（1,4）×4－e0＝0，因此f(x）在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，\f（1,4))）上单调递减,排除③,故填④。9．2解析当0〈x〈1时,f（x)＝2xlog0.5x－1，令f（x）＝0，则log0.5x＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，2)））eq\s\up12(x）由y＝log0.5x,y＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，2））)eq\s\up12（x)的图象知，在（0，1）内有一个交点，即f(x)在（0，1)上有一个零点．当x〉1时，f(x)＝－2xlog0.5x－1＝2xlog2x－1，令f（x)＝0得log2x＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，2））)eq\s\up12（x），由y＝log2x，y＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，2)））eq\s\up12(x)的图象知在（1，＋∞)上有一个交点，即f(x)在（1,＋∞)上有一个零点．10．(1，＋∞）解析∵f（2)＝loga5>0＝loga1，∴a>1。由x2＋2x－3>0，得函数f（x）的定义域为（－∞,－3)∪（1,＋∞)．设u＝x2＋2x－3，则u在(1,＋∞)上为增函数．又y＝logau（a〉1）在(1,＋∞）上也为增函数，∴函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)．11.eq\f(1,3）或3解析令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝（t＋1)2－2。当a〉