环境污染与经济增长的长期关系一个微观模型

环境污染与经济增长的长期关系一个微观模型

1991年，格罗斯曼和克里格尔通过分析了42个国家的污染物数据，发现污染与经济增长之间的长期关系呈u型。同年,帕纳尤(Panayotou)进一步证实了这一结论,并将其命名为环境库兹涅茨曲线。目前大多数研究都是基于环境质量与收入以及其他变量的回归上,没有对结果本身作出理论解释,这为该关系为何呈倒U型留下了讨论的空间。本文通过一个微观静态模型来分析经济增长和环境污染之间的关系,指出研究倒U型曲线并不需要动态理论,也不需要已有的经济增长理论、多重均衡理论、放松管制理论、公共部门理论,甚至不需要外部性理论。消费和环境污染之间的技术联系就可以直接解释环境库兹涅茨曲线。一、环境库兹涅茨曲线的确定假设经济体只有一个人。该单一个体模型较为简单,便于展开分析,且不需要考虑外部性,因此任何政策手段都可以达到帕累托最优。假设在该经济体中,个体通过两种产品来获得自身效用。一种是正常商品的消费,带来正效用,用C来表示,另一种是环境污染,导致负效用,用P来表示。效用P的函数为:U=U(C,P)(1)式中,UC>0,UP<0,且U对于C和-P是拟凹的,对于单一个体来说,没有必要区分环境污染P是由公共部门还是私人部门造成的。对于C和P之间的技术联系,一般而言,可将环境污染看做消费的副产品。进一步说,假设消费者可以通过消耗一定的资源来减缓甚至杜绝环境污染,这种资源消耗用E表示,反映环境治理。环境污染是消费的正函数,是环境治理的负函数,即:P=P(C,E)(2)式中,PC>0,PE<0。最后假定国民财富M是既定的,它可以被使用在C和E上,为进一步简化,定义C和E的相对成本为1,资源约束为C+E=M。考虑一个简单的特例:U=C-zP(3)P=C-CαEβ(4)式(3)中的效用函数是线性的,由C和P组成,且z>0表示环境污染不变的边际负效应。式(4)中的环境污染由两个部分组成,一部分是C,表示没有治理前的环境污染总量,与消费成比例;另一部分CαEβ表示环境治理。式(4)表示消费等量地带来环境污染,但是用于环境污染治理的资源消耗是标准的凹函数。1当z=1时,个人的最大化效用为CαEβ,并满足条件C+E=M,用科布-道格拉斯生产函数的求解方法来计算消费和环境污染治理程度两者的值,得到如下结果:C*=αα+βΜE*=βα+βΜ(5)C∗=αα+βME∗=βα+βM(5)则最优的环境污染量为:Ρ*(Μ)=αα+βΜ-(αα+β)α(βα+β)βΜα+β(6)P∗(M)=αα+βM−(αα+β)α(βα+β)βMα+β(6)对式(6)一阶求导,得到环境库兹涅茨曲线的斜率:∂Ρ*∂Μ=αα+β-(α+β)(αα+β)α(βα+β)βΜα+β-1(7)∂P∗∂M=αα+β−(α+β)(αα+β)α(βα+β)βMα+β−1(7)其符号依赖变量α和β。如果α+β=1,则环境污染治理遵循规模报酬不变规律,∂P*/∂M是常数。给定0≤α,β≤1时,当0.5<α≤1,∂P*/∂M>0,P*随着M的增大而上升,没有库兹涅茨曲线中的下降部分,如图1(a)所示。当0≤α<0.5时,∂P*/∂M<0,P*随着M的增大而下降,如图1(b)所示。当α=0.5时,∂P*/∂M=0,如图1(c)所示。当α+β≠1时,对式(6)进行二阶求导:∂2Ρ*∂Μ2=-(α+β-1)(α+β)(αα+β)α(βα+β)βΜα+β-2(8)∂2P∗∂M2=−(α+β−1)(α+β)(αα+β)α(βα+β)βMα+β−2(8)因此,当α+β<1时,环境污染治理表现为规模报酬递减,P*(M)图形是凸的,如图1(d)所示。同样的,当α+β>1时,环境污染治理表现为规模报酬递增,P*(M)如图1(e)所示是凹的,这种情况与环境库兹涅茨曲线的描述相一致。当z≠1时,其数学形式比较复杂,但是基本结论保持不变。只有在环境污染治理遵循规模报酬递增规律,即α+β>1时,国民收入与环境污染之间关系才表现为倒U型。求解一阶导数,重新得出结果为:C*=αα+βΜ+1-zz(α+β)Cα-1(Μ-C)β-1=αα+βΜ+B(1-z)z(9)C∗=αα+βM+1−zz(α+β)Cα−1(M−C)β−1=αα+βM+B(1−z)z(9)如果z<1,则式(9)中的C*大于式(5)中的C*,且大于任意国民收入相对应的环境污染。如果z>1,人们从环境污染中所获得的负效应较大,因此C*和P*则要小一些。尽管C*和P*的绝对值随着z的改变而改变,但倒U型曲线的性质是不变的。综上所述,倒U型的关系不依赖于消费,也不依赖于国民收入的变化,它仅仅由消费和环境污染之间的技术联系所决定。这种联系一方面表现为消费会带来环境污染,另一方面则表现为治理环境污染的资源消耗可以改善环境状况。当环境治理是规模报酬递增时,可以同时达到高收入个体所要求的两个目的——高消费和低污染。二、消费可能性边界中的小环境因素考虑上文模型的一般形式:式中A(·)是递增的生产函数,当消费量即污染量C一定时,随治污资源消耗E的增加而减少。在一般情况下,可以定义收入—污染曲线为倒U型的相关弱充分条件。定理:假设效用函数U(C,P)关于C和-P是拟凹的,C和-P都是正常品。假设存在一个值θ使得:limC→ΜR(C)=∂U(C,Ρ)/∂C∂U(C,Ρ)/∂Ρ≥θ＞-∞(11)limC→MR(C)=∂U(C,P)/∂C∂U(C,P)/∂P≥θ＞−∞(11)若式(11)成立,同时式(10)中存在一个污染治理函数A(C,M-C),且该函数为凹函数,齐次度(均匀度)k均大于1,对于所有x,A(0,x)=A(x,0)=0。那么在一定收入水平下产出的实际污染中,对任何效用和污染治理的组合,最优污染量最终会因为收入的无限扩大而减少到0。首先必须明确,这个结论实际上是对环境库兹涅茨曲线的一种描述。根据定义,当M=0时,消费和污染都是0。这个结论表示当M很大时,最优污染量也将是0。对于任何既定效用和污染治理能力导致的一定收入水平下的实际污染中,最优污染量一定是从0开始增长并最终下降到0,这和经验事实是相符的。这可以根据在污染等于0且M趋近于无限大时的治理污染能力决定的消费—污染生产可能性边界的斜率和由偏好决定的消费—污染无差异曲线的斜率得到证明。如果无差异曲线在零污染点时超出了可能性边界内的组合,角解P=0将会是M足够大时的最优解。因为人们习惯于正面思考问题,因此令L=-P,即“缺少”污染,把缺少污染当“好商品”来看待,这样L<0代表污染,L=0代表没有污染,L>0代表“比自然状况更加清洁”的环境状况(如果可能出现的话)。接下来我们就能利用A(C,E)的齐次度k来定义所有与M相关的变量,让c=C/M,λ=L/M,则有λ(c)=A(c,1-c)Mk-1-c,为了简化符号,令α(c)=A(c,1-c)。因为A(c,1-c)被假定为凹的,α(c)对于一些ˉcc¯有一个唯一的最大值,为了使这个模型更有探讨价值,假定0<ˉcc¯<1。根据这些定义,消费可能性边界为:λ(c,M)=α(c)Mk-1-c(12)边界的形状在图2可以看到,一个临界值将是边界的斜率∂λ/∂c=∂α/∂cMk-1-1,而且∂L/∂C和∂λ/∂c是相等的。现在需要找到当λ=L=0时消费可能性边界的斜率。对于任何c>ˉcc¯,找到一个M使得λ=L=0,我们称这个消费水平为ˉΜM¯¯¯¯(c),由0≡c-a(c)ˉΜk-10≡c−a(c)M¯¯¯¯k−1或ˉΜ(c)=[c/a(c)]1/(k-1)M¯¯¯¯(c)=[c/a(c)]1/(k−1)内生定义。所以当定义Μ=ˉΜ‚L=0M=M¯¯¯¯‚L=0,且当M>ˉΜM¯¯¯¯时,图2中的消费可能性边界在向上移动,在c原有的水平上L≥0。这就是环境“比自然状态更加洁净”的状态。设S为消费可能性边界在给定c>ˉcc¯时与L=0相交时的斜率,则有:S(c)≡∂λ∂c|ˉΜ(c)=∂L∂C|ˉΜ(c)=a′(c)[ˉΜ(c)]k-1-1=a′(c)ca(c)-1＜0(13)S(c)≡∂λ∂c∣∣M¯¯¯¯(c)=∂L∂C∣∣M¯¯¯¯(c)=a′(c)[M¯¯¯¯(c)]k−1−1=a′(c)ca(c)−1＜0(13)根据ˉcc¯的定义,当c>ˉcc¯时a′(c)<0,消费可能性组合的斜率S在c>ˉcc¯时必须是负的。当c增加时这个斜率的变化,区别于式(13),有:∂S∂c=a″(c)ca+a′(c)[a(c)-a′(c)⋅c(a(c))2]＜0(14)∂S∂c=a′′(c)ca+a′(c)[a(c)−a′(c)⋅c(a(c))2]＜0(14)由于a(c)是凹函数,且当c>ˉcc¯时∂S/∂c<0,可知当c趋近于1时,a(c)趋近于0。因此,对于有限的a′和a″,有:limc→1∂S∂c=-∞(15)limc→1∂S∂c=−∞(15)当把c从ˉcc¯增加到1时,在每个情况下选择一个相应的ˉΜM¯¯¯¯(c)使得λ=L=0,沿着图2中加粗的线段,消费可能性约束在(c,λ)=(1,0)的斜率变得极其陡峭。这是需要证明无差异曲线并未随之变得同样陡峭,而且最优结果将是在没有污染L=0时的一个角解。为解决偏好方面的问题,需要论证MRS在(c,λ)=(1,0)这一点上,当M增加时不存在一条负无穷大的渐进线。首先,定义V(c,λ;M)≡U(cM,-λM),也即在(c,λ)时的效用,同时保持收入不变,就如图2所示。其次定义:R(c)≡-∂V(c,0)/∂c∂V(c,0)/∂λ(16)R(c)≡−∂V(c,0)/∂c∂V(c,0)/∂λ(16)当边际替代率沿着图2中加粗的线段估值时,R(c)可以理解为当λ=0、污染较少时表示对c的边际支付意愿,C和-P保证了dR/dc≤0。当M趋向于无穷时,无差异曲线与消费可能性边界不相交的唯一条件就是MRS有一条趋近于负无穷的渐进线,就像边界的斜率一样。因此,我们证明了这个定理:只要limc→1R(c)limc→1R(c)是有限的,即只要式(11)的平衡成立,污染量总会随着收入的增加回归到零。当然,用偏好方面的充分条件进行推导的说服力是很弱的。式(11)要求用污染表示的边际消费支付意愿没有趋于无穷,与之相对的就是当收入趋向于无限大时为治理最后一点污染的边际支付意愿没有趋向于0。人们在观念上一般把污染治理看做是一种正常品,意味着这种假设是自然的而且容易满足的。三、定成本的确定正如前面所看到的,分析的关键在于环境污染治理A(C,E)是否遵循规模报酬递增规律。在给定的条件下,如果将环境污染及其治理加倍,环境改善的状况是否也会加倍?答案是肯定的。在一般情况下,环境污染治理的边际成本比较小,而固定成本却非常大。小的经济体不是很富裕,污染量也比较小,这使得污染治理的固定成本很难获得补偿,因此往往采取低固定成本和高边际成本的污染治理方法。而对于一个大国来说,有大量的厂商存在,可以分担治理污染的成本,这使得低边际成本和高固定成本的污染治理更为有效。因此,环境污染治理A(C,E)是规模报酬递增的充分条件。这个例子说明,随着经济的增长和大企业增多,在环境污染方面的大规模投资越来越值得。尽管这方面的投资还难以建立模型,但是可以将大规模投资纳入到污染治理函数中,这同样可以说明A(C,E)是规模报酬递增的,符合充分条件关系。在有一定的污染治理能力或者是可以对污染进行大量投资的情况下,由于规模报酬递增,污染治理将使得国民收入和环境污染之间的关系呈现倒U型。四、三因素添加量和c+在单一个体的消费者模型中,忽略了环境问题的外部效应,但是外部性并不影响国民收入和环境污染之间的倒U型关系。也就是说,在N>1的条件下,也可以建立模型,将外部性纳入模型中,即:Ui=Ci-Ρ(i=1‚2‚⋯‚Ν)Ρ=C-CαEβ(C=∑Ci,E=∑iEi)Μi=Ci+Ei(α,βiε(0,1))(17)消费者的数量i=1,2,…,N,假设消费者都是追求效用最大化的,而且他们之间的消费相互独立,互不影响。求一阶导数,得出最优结果:C*=αα+βΜi+[αα+β∑j≠iΜj-∑j≠iCj](18)如果所有的消费者都按照这种方式最大化其效用,则纳什均衡为:C*=αα+βΜi(i=1‚2‚⋯‚Ν)(19)在存在多个自由个体的情况下,与式(6)单一个体模型中的结论一样,只有当α+β>1时,国民收入和环境污染之间的关系曲线才是凹的,呈倒U型。在多个消费者模型中,行为决策自由化,很难达到帕累托最优。为了说明这个问题,假设为增大全体总效用,存在一个中央计划者。max∑iUi=∑iCi-ΝΡ(20)这个集中的效用公式和式(3)是一样的,只是在这里C被∑iCi替代,z被N所替代。因此,接下来的结论都将类似,包括在式(9)中得到的最优消费量C*。用N替换z以后,与社会最优状态相比,消费者将会消费更多,为改善环境的资源消耗投入也会较小。增加消费者的数量并不会改变关于环境库兹涅茨曲线形状的结论,该曲线形状依赖治理环境污染的技术关系,与污染者的数量无关,与消费和环境质量的相对边际效用无关。增加消费者数量只是使得收入—污染曲线向下移动,增大z的数值,但不会改变倒U型的形状。五、未来研究结果第一,它为研究环境库兹涅茨曲线倒U型关系提供了一种解释。一些经济学家利用集体决策、外部性和经济增长等错综复杂的政治经济模型来解释这一倒U型曲线。而笔者认为那些复杂的因素是产生这种状况的充分不必要条件,这种关系实际上是由环境污染治理的自然技术特征所决定的。第二,