二次根式全章复习

二次根式全章复习二次根式的定义:二次根式的性质:a(a≥0)-a(a≤0)==∣a∣第二节课学习了二次根式的乘法和一种化简方法a≥0,b≥01.将被开方数尽可能分解成几个平方数。2.应用化简二次根式的步骤：根式运算的结果中，被开方数应不含能开得尽方的因数或因式。运算的结果应该是最简二次根式或整式。3.将平方项应用化简.把公式逆运用二次根式的除法公式：利用这个等式也可以化简一些二次根式。复习回顾二次根式三个概念两个性质两个公式四种运算最简二次根式同类二次根式有理化因式1、2、加、减、乘、除二、知识结构2、1、

②a都是非负数.

式子，，与算术平方根的共同点:S94S225+S一般地，形如（a≥0）的式子叫做二次根式．a①都是形如的式子，a其中a为整式或分式，a叫做被开方式．1.判断下列各式是否是二次根式.2.

下列各式一定是二次根式的是（）.A.B.C.D.C×√()()()()××由2x-1≥0，得即当x取大于或等于的实数时，式子 有意义．2112-x例1x取什么实数时，二次根式 有意义？12-x解：二次根式 有意义的条件是2x-1≥0．12-x例题讲解21x≥并且它的平方等于,a即).0(0aa≥≥总是一个非负数所以,)0(aa≥的算术平方根表示因为)0(，aaa≥即)0()(2≥=aaa1.数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）.

A.a>0B.a≥0C.a<0D.a=02.下列各式中，是二次根式的有____________________.

144-220m+3ab2+a21521b-、、、、、.C15b2+a2、220m+、3.a取什么实数时，下列各式有意义？;2)1(+a;)2(2a.1)3(aa≥－2a为任意实数a＞0例2

计算：解：;)16)(1(2)16)(1(2;)73)(2(2)73)(2(2;)85.0)(3(2-)85.0)(3(2-).5()5)(4(2-≥+aa=16；;6379)7(322=×==×;85.0)85.0(2==)5)(4(+a2.)5(-≥a=a＋5例题讲解4.计算：;)12)(1(2;)54)(2(2;)6.3)(3(2-)1)(4(2+x212803.6x2+1把式子)0()(2≥=aaa反过来，就得到).0()(2≥=aaa5.把下列非负数写成一个数的平方的形式:

（1）5（2）3.4

（3）（4）x（x≥0）16课堂小结②a都是非负数.

1.形如（a≥0）的式子叫做二次根式．a①都是形如

的式子，a其中a为整式或分式，a叫做被开方式．特点：)；0(0aa≥≥的算术平方根表示2.因为)0(，所以aaa≥);0()(2≥=aaa).0()(2≥=aaa练习1、化简例题

化简：练习：（模仿有助于创新）2.计算：（1）（2）（3）（4）1.

化简：

（1）（4）（3）（2）达标反馈:练习2一个直角三角形的两条直角边分别长与，求这个直角三角形的面积。练习3

（综合练习）1、的成立的条件是（）2、如果：求的值：二次根式计算、化简的结果符合什么要求？（1）被开方数不含分母；

分母不含根号；根号内不含小数（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.最简二次根式复习回顾

若两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式。

在进行根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，从而实现分母有理化。计算或化简：

①②_______③④在直角坐标系中，点P（1，）到原点的距离是_________32复习巩固能力冲浪2.若方程，则x_______

1.(04浙江)若数轴上表示数x的点在原点的左边，则化简|3x+x2|的结果是（）

A.-4xB.4xC.-2xD.2xC3.一个台阶如图，阶梯每一层高15cm，宽25cm，长60cm.一只蚂蚁从A点爬到B点最短路程是多少？251515256060AB解：B151525256060A解:(1)∵|2-a|≥0,b-2≥0

而|2-a|+b-2=0√√拓展1(1)求a2-22a+2+b2的值。设a、b为实数,且|2-a|+b-2=0√(2)若满足上式的a,b为等腰三角形的两边,求这个等腰三角形的面积.解:若a为腰,b为底,此时底边上的高为若a为底,b为腰,此时底边上的高为∴三角形的面积为∴三角形的面积为ABPDC若点P为线段CD上动点。已知△ABP的一边AB=（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，①则AD=____BC=____12（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使

三角形的三边为拓展2ABPDC若点P为线段CD上动点。已知△ABP的一边AB=（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，①则AD=____BC=____12（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使

三角形的三边为拓展2ABPDC若点P为线段CD上动点。已知△ABP的一边AB=（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，①则AD=____BC=____12（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使

三角形的三边为拓展2ABPDC若点P为线段CD上动点。已知△ABP的一边AB=（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，①则AD=____BC=____12（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使

三角形的三边为拓展2ABPDC若点P为线段CD上动点。已知△ABP的一边AB=（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，①则AD=____BC=____12（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使

三角形的三边为拓展2ABPDC若点P为线段CD上动点。已知△ABP的一边AB=（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，①则AD=____BC=____12（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使

三角形的三边为拓展2ABPDC若点P为线段CD上动点。已知△ABP的一边AB=（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，①则AD=____BC=____12（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使

三角形的三边为拓展3②

设DP=a,请用含a的代数式表示AP，BP。则AP=__________，BP=__________。③

当a=1时，则PA+PB=______,当a=3,则PA+PB=______④

PA+PB是否存在一个最小值？(2)比较大小,并说明理由.

继续拓展解：∵(2×5)2=2×5=10

且4+6＞0,2×

5＞

0练例6、实数a、b在数轴上对应点的位置如下图所示：

分析：体现数形结合的思想，进一步巩固二次根式的定义、性质，由于a＜0，b＞0，且｜a｜＞｜b｜．练习1、当+有意义时，求x的取值范围.2.设a、b、c为实数，且+｜b+1｜+=0求：a2004+b2003+c2的值.结果：43、已知：｜a+b+4｜+=0，

求：a2+b2的值.4、已知a,b,c在数轴上的位置如下：求：代数式-｜a+b｜++｜b+c｜的值.结果：10结果：-a5、已知y=2+3+,求：+的值.(安徽省中考题)6、若｜x-y+2｜与互为相反数，则x=________，y=________.(徐州市中考题)结果：5

如图所示的值表示正方形的面积，则正方形的边长是b-3表示一些正数的算术平方根．a叫被开方数，你认为所得的各代数式有哪些共同特点？称为二次根号求下列二次根式中字母的取值范围：解：（1）由题意得：即当时，有意义.求二次根式中字母的取值范围的基本依据：①被开方数不小于零；②分母中有字母时，要保证分母不为零。（2）(3)为任意实数

1、x取何值时,下列二次根式有意义?快速口答(7)(8)x,y取怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？2.已知a,b为实数，且满足

，你能求出a及a+b

的值吗？若=0，则=_____。3、已知有意义,那A(a,)在

象限.二∵由题意知a＜0∴点A(－,＋)试试你的反应

?(1)(2)若满足上式的a,b为等腰三角形的两边,求这个等腰三角形的面积.设a.b为实数,且求

的值(2)若a为腰,b为底,此时底边上的高为若a为底,b为腰,此时底边上的高为拓展1细心观察图形,认真分析,思考下列问题.11111111S1S2S3S4S5S6OA2A3A4A5A6A7A1（1）你能求出哪些线段的长？OA2=___OA3=___……OAn=___S1=___S2=___……Sn=___拓展21111111S1S2S3S4S5S6OA2A3A4A5A6A7A1（2）请计算S1=S2=…Sn=ABPDC若点P为线段CD上动点。拓展题3：

已知△ABP的一边AB=（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，①则AD=____BC=____12（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使三角形的三边为ABPDC若点P为线段CD上动点。拓展题：

已知△ABP的一边AB=（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，①则AD=____BC=____12（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使三角形的三边为ABPDC拓展题3:已知△ABP的一边AB=（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，

若点P为线段CD上动点。①则AD=____BC=____（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使三角形的三边为12ABPDC拓展题3:已知△ABP的一边AB=（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，

若点P为线段CD上动点。①则AD=____BC=____（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使三角形的三边为12ABPDC拓展题3:已知△ABP的一边AB=（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，

若点P为线段CD上动点。①则AD=____BC=____（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使三角形的三边为12ABPDC拓展题:已知△ABP的一边AB=（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，

若点P为线段CD上动点。①则AD=____BC=____（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使三角形的三边为12ABPDC拓展题:已知△ABP的一边AB=（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，

若点P为线段CD上动点。①则AD=____BC=____（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使三角形的三边为12ABPDC拓展题:已知△ABP的一边AB=（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，

若点P为线段CD上动点。①则AD=____BC=____（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使三角形的三边为12ABPDC

已知△ABP的一边AB=拓展题:（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使三角形的三边为（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，

若点P为线段CD上动点。①则AD=____BC=____12ABPDC

已知△ABP的一边AB=（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使三角形的三边为（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，

若点P为线段CD上动点。设DP=a，请用含a的代数式

表示AP，BP。AP=_____，BP=_____

。当a=3,则PA+PB=____拓展题:①则AD=____BC=____12②②当a=1时，则PA+PB=____,③拓展题:

PA+PB是否存在一个最小值？④

当时；

当时；填空:

你有什么发现？请与同学交流一般地,二次根式有下面的性质:

当时；22550025

当时；(7)

数在数轴上的位置如图,则0-2-11(8)如图,

是直角坐标系中一点,求点P到原点的距离.02一、比较两个数的大小。例1.比较和的大小。性质：当a>0,b>0时,如果,那么a>b。解：1.平方法。分析：>>>>例2.比较和的大小。2.差值法性质：如果a-b>0,那么a>b;如果a-b<0,那么a<b.解：∵例3.比较和的大小。3.比值法：解:∵性质：当a>0,b>0时，如果,那么a>b;如果，那么a<b。性质：当a>0,b>0时，如果a>b,那么。4.倒数法：例4.比较和的大小。解：∵二、解含有二次根的方程（组）例5.解方程解：去括号，得：移项，得：合并同类项，得：系数化为1，得：例6.解方程解：另解：例7.解方程组①②解：化简②，得：③③X2+①,得：把代入③，得：例8.解方程解：方程化简，得：小结：1、比较两个含有二次根式的数的大小的方法：（1）平方法（2）差值法（3）比值法（4）倒数法2、应用解方程（组）的基本方法和二次根式的性质解含有二次根式的方程（组）4。什么叫无理数？什么叫实数？实数与数轴的点有什么关系？

无限不循环小数叫做无理数。有理数和无理数统称为实数。实数与数轴上的点一一对应。5。二次根式有哪些性质？6。什么是最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。7。什么是同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。例5计算:解：（1）原式（2）原式观察题目的特点是否能应用乘法公式基础训练（1）填空：根式中可以与合并的二次根式有

个

；

（2）选择：下列计算正确的是（）3C（3）选择：下列计算正确的是（）C比较根式的大小.提高题解:137146++146+=（）26+2+14=20+2√84√84∵（

）137+2=20+2910146+0137+又∵解：因为，又因为两个非负数的和为0，注：即算术平方根非负性的应用．例2.已知，求的值．所以，解得

．故

．解：因为，例3.已知，在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，求的值．[分析]题中只给出了a、x、y的一个方程，却要求出分式的值，所以必须充分利用隐含条件．所以原式．注：中即被开方数非负性和性质的应用．代入原方程得：，所以．所以．由(1)、(3)得，由(2)、(4)得，又a、x、y是两两不同的实数，解法1：因为，所以，即，例4.当时，求的值．整理得（凑），原式[分析]直接把x的值代入太麻烦，利用把 中的根号去掉，问题就好解决一点了．解法2.因为，所以，即，整理得（降次），原式例4.当时，求的值．例5.已知实数a、b满足，，求s的取值范围．解：因为，所以，解得：，所以．利用和的性质．练习1.已知，求代数式的值．解：原式两边同乘以，得：练习2.设实数x、y、z满足：求x、y、z的值．利用进行配方：解：移项：所以，解得．练习3.求适合下列关系式的m的值．解：因为，解得：，代入原式得：，所以，联立(1)、(4)得：．(3)

2

(2)得：，3.(2005.青岛)有意义的条件是______2.（2005.吉林）当

_____时，

有意义。

4.求下列二次根式中字母的取值范围解：①②≤3a=4说明：二次根式被开方数大于等于0，所以求二次根式中字母的取值范围常转化为不等式(组)

解得2.(2005.湖北黄冈市)已知x,y为实数,且

,则

的值为()A.3B.-3C.1D.-1题型2:二次根式的非负性的应用D1.已知：

,求的值.解得解：由题意，得题