【高中数学】2023-2024学年北师大版必修第二册 正弦定理课件（23张）

第2课时正弦定理课标阐释

1.掌握正弦定理及其变形.(数学运算、逻辑推理)2.了解正弦定理的证明方法.(逻辑推理、数学建模)3.掌握三角形正弦面积公式及其应用.(数学运算、逻辑推理)4.能应用正弦定理解决相关问题,并能综合运用正弦定理和余弦定理解决问题.(数学运算)思维脉络

激趣诱思知识点拨“无限风光在险峰”,在充满象征色彩的诗意里,对险峰的慨叹跃然纸上,成为千古之佳句.对于难以到达的险峰应如何测出其海拔高度呢?能通过在水平飞行的飞机上测量飞机下方的险峰海拔高度吗?在本节中,我们将学习正弦定理,借助已学的三角形的边角关系解决实际问题.激趣诱思知识点拨一、正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即名师点析对正弦定理的理解1.适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立.2.结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦的连等式.3.揭示规律:正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的关系式,它描述了三角形中边与角的一种数量关系.4.主要功能:正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化.激趣诱思知识点拨微判断判断(正确的打“√”,错误的打“×”).(1)正弦定理只适用于锐角三角形.(

)(2)正弦定理不适用于直角三角形.(

)(3)在某一确定的三角形中,各边与它所对角的正弦的比是定值.(

)答案(1)×

(2)×

(3)√

激趣诱思知识点拨二、正弦定理的拓展1.正弦定理与三角形外接圆的关系以Rt△ABC斜边AB为直径作外接圆,设这个外接圆的半径为R,则2.正弦定理的变形(R为△ABC外接圆的半径)变式1:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.变式3:asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA.变式4:a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.激趣诱思知识点拨微思考正弦定理主要解决哪几类三角形问题?答案(1)已知两角和任意一边,求其他两边和一角.(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).激趣诱思知识点拨微练习在△ABC中,B=30°,C=45°,c=1,求边b的长及△ABC外接圆的半径R.激趣诱思知识点拨三、三角形解的个数1.已知三角形的两角与一边,根据正弦定理,有且只有一解.2.已知三角形的两边及其中一边的对角,根据正弦定理,可能有两解、一解或无解.在△ABC中,当已知a,b和角A时,解的情况如下:类型A为钝角A为直角A为锐角a>b一解一解一解a=b无解无解一解a<b无解无解a>bsinA两解a=bsinA一解a<bsinA无解激趣诱思知识点拨名师点析在△ABC中,当已知a,b和角A时,解的情况如下:激趣诱思知识点拨微思考对于一个已知三角形,一定有解吗?如果不是,可能有几个解?答案不一定有解,解的个数可能为0,1,2,不可能有3个或3个以上的解.激趣诱思知识点拨微练习不解三角形,判断下列三角形解的个数.(1)a=5,b=4,A=120°;(2)a=7,b=14,A=150°;(3)a=9,b=10,A=60°.解(1)因为A=120°为钝角,a=5>b=4,所以三角形有一解.(2)因为A=150°为钝角,a=7<b=14,所以三角形无解.(3)因为a=60°为锐角,a=9,bsin

A=所以a>bsin

A,所以三角形有两解.探究一探究二探究三探究四当堂检测已知两角和一边解三角形例1在△ABC中,已知B=30°,C=105°,b=4,解三角形.解因为B=30°,C=105°,所以A=180°-(B+C)=180°-(30°+105°)=45°.反思感悟

已知两角及一边解三角形的方法1.若所给边是已知两角的对边,可先由正弦定理求另一边,再由三角形的内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边.2.若所给边不是已知两角的对边,则先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边.探究一探究二探究三探究四当堂检测变式训练1在△ABC中,a=20,A=45°,B=75°,则边c的长为

.

探究一探究二探究三探究四当堂检测已知两边和其中一边的对角解三角形例2在△ABC中,已知下列条件,解三角形:探究一探究二探究三探究四当堂检测探究一探究二探究三探究四当堂检测反思感悟

已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.(2)当已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一.(3)当已知的角为小边所对的角时,不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求得两个角,要分类讨论.探究一探究二探究三探究四当堂检测延伸探究本例中,将条件改为“a=5,b=2,B=120°”,解三角形.探究一探究二探究三探究四当堂检测判断三角形的形状例3已知在△ABC中,bsinB=csinC,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.探究一探究二探究三探究四当堂检测反思感悟

判断三角形的形状,就是根据题目条件,分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方