第1章《有理数》知识讲练（教师版）【导图+知识点+新题拔高卷】2023-2024学年七年级数学上册章节复习讲义（浙教版）

第第页2023-2024学年浙教版数学七年级上册章节知识讲练知识点01：有理数的相关概念1．有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：易错点拨：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数表示没有3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．易错点拨：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．易错点拨：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．4．绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．数a的绝对值记作．（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•金华期末）﹣2022的绝对值是（）A．﹣2022 B．2022 C． D．解：|﹣2022|＝2022．故选：B．2．（2分）（2022秋•杭州期末）在数轴上有一点M表示的数是3，而点N与点M的距离是2个单位长度，则点N所表示数是（）A．﹣2 B．1 C．5 D．1或5解：在数轴上与表示3的点距离是2个单位长度的点所表示的数是3﹣2＝1，﹣3+2＝5．故选：D．3．（2分）（2022秋•慈溪市期末）若a、b为有理数，a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，那么a，b，﹣a，﹣b的大小关系是（）A．﹣b＜a＜b＜﹣a B．b＜﹣b＜a＜﹣a C．a＜﹣b＜b＜﹣a D．a＜b＜﹣b＜﹣a解：∵a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，∴﹣a＞0，﹣b＜0，﹣a＞b，∴a＜﹣b，∴a＜﹣b＜b＜﹣a．故选：C．4．（2分）（2022秋•长兴县期末）如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点A，B，C，D对应的数分别是数a，b，c，d，且d﹣2a＝10，那么数轴的原点应是（）A．点A B．点B C．点C D．点D解：方法1：若原点是A，则a＝0，d＝7，此时d﹣2a＝7，和已知不符，排除；若原点是点B，则a＝﹣3，d＝4，此时d﹣2a＝10，和已知相符，正确．故选B．方法2：设A点数字为a，则D点数字为a+7，d﹣2a＝10就转变成a+7﹣2a＝10解得：a＝﹣3，再观察坐标可知原点是B点．故选：B．5．（2分）（2022秋•婺城区期末）手机移动支付给生活带来便捷．如图是张老师2022年12月26日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），张老师当天微信收支的最终结果是（）A．收入19.00元 B．支出10元 C．支出3.00元 D．支出22.00元解：+19﹣10﹣12＝﹣3（元），即表示支出3元，故选：C．6．（2分）（2022秋•婺城区期末）在数轴上有间隔相等的四个点M，N，P，Q，所表示的数分别为m，n，p，q，其中有两个数互为相反数，若m的绝对值最大，则数轴的原点是（）A．点N B．点P C．点P或N，P的中点 D．点P或P，Q的中点解：∵m的绝对值最大，∴点M离原点最远，∵有两个数互为相反数，∴原点在某两点的中点，综上，原点是PQ的中点或点P，故选：D．7．（2分）（2022秋•青田县期末）在生产图纸上通常用来表示轴的加工要求，这里Φ300表示直径是300mm，+0.2和﹣0.5是指直径在（300﹣0.5）mm到（300+0.2）mm之间的产品都属于合格产品．现加工一批轴，尺寸要求是，则下面产品合格的是（）A．44.6mm B．44.8mm C．45.3mm D．45.5mm解：由题意得：合格范围为：45﹣0.3＝44.7到45+0.2＝45.2，而44.6＜44.7＜44.8＜45.2＜45.3＜45.5，故可得B合格．故选：B．8．（2分）（2023•嵊州市一模）2023的相反数是（）A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣解：2023的相反数是﹣2023．故选：B．9．（2分）（2022秋•新昌县期末）如图，数轴上依次有A，P，B，Q，C五个点，其中A，B，C三点所表示的数分别为a，b，c，且AP＝PB＝BQ＝QC．如果有a+b＜0，a+c＜0，b+c＞0，那么该数轴原点O的位置应该在（）A．点O在线段AP（不包括端点）上 B．点O在线段PB（不包括端点）上 C．点O在线段BQ（不包括端点）上 D．点O在线段QC（不包括端点）上解：因为a+b＜0，a+c＜0，b+c＞0，a＜b＜c，所以a＜0，b＜0，c＞0，＜，又因为AP＝PB＝BQ＝QC，所以数轴原点O在线段BQ（不包括端点）上．故选：C．10．（2分）（2022秋•义乌市校级期中）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣5，b，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．则数轴上点B所对应的数b为（）A．3 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3解：∵5.4÷（4+5）＝0.6（cm），∴1.8÷0.6＝3，∴﹣5+3＝﹣2，故选：C．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•温州期末）如图，数轴的单位长度为1，如果点B与点C是互为相反数，那么点A表示的数是﹣4．解：∵数轴的单位长度为1，BC＝4，点B与点C是互为相反数，∴点B表示的数是﹣2，∵点A在点B的左侧，且AB＝2，故A点表示的数是﹣4，故答案为：﹣4．12．（2分）（2022秋•嘉兴期末）用〈m〉表示大于m的最小整数，例如〈1〉＝2，〈3.2〉＝4，〈﹣3〉＝﹣2．用max{a，b}表示a，b两数中较大的数，例如max{﹣2，4}＝4，按上述规定，如果整数x满足max{x，﹣3x}＝﹣2〈x〉+11，则x的值是3或﹣9．解：∵x是整数，∴〈x〉＝x+1，若x＞﹣3x，则max{x，﹣3x}＝x，∴x＝﹣2〈x〉+11＝﹣2（x+1）+11，∴x＝3，此时符合题意．若x＜﹣3x，则max{x，﹣3x}＝﹣3x，∴﹣3x＝﹣2（x+1）+11，∴x＝﹣9．此时符合题意．∴x的值是3或﹣9．13．（2分）（2022秋•临平区月考）一电子跳蛋在数轴的点P0处，第一次向右跳1个单位长度到点P1处，第二次向左跳2个单位长度到点P2处，第三次向右跳3个单位长度到点P3处，第四次向左跳4个单位长度到点P4处，以此类推，当跳蚤第十次恰好跳到数轴原点，则点P0在数轴上表示的数为5．解：设P0所表示的数是x，由题意知，P1所表示的数是x+1，P2所表示的数是x+1﹣2，P3所表示的数是x+1﹣2+3，...，Pn所表示的数是x+1﹣2+3﹣4+...+（﹣1）n﹣1n，∴P10所表示的数的是x+1﹣2+3﹣4+...+（﹣1）10﹣1×10，∵P10＝0，即x+1﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣8+9﹣10＝0，∴x+（1﹣2）+（3﹣4）+（5﹣6）+...+（9﹣10）＝0，即x﹣5＝0，解得x＝5，故答案为：5．14．（2分）（2022秋•丽水期中）如图，将一条长为60cm的卷尺铺平放置在数轴上，使得0cm刻度线和60cm刻度线分别落在数轴上表示数﹣20和数10的点上．（1）数轴的原点O对应的是卷尺上40cm的刻度线；（2）将卷尺沿直线MN向右折叠，使得0cm刻度线与58cm刻度线重合，此时10cm刻度线在数轴上对应点表示的数是4．解：（1）∵0cm刻度线和60cm刻度线分别落在数轴上表示数﹣20和数10的点，∴数轴上的一个单位长度表示2cm，∵原点与﹣20的距离为20的单位长度，∴20×2＝40（cm），∴数轴的原点O对应的是卷尺上40cm的刻度线；故答案为：40．（2）∵0cm刻度线与58cm刻度线重合，∴直线MN过卷尺的29cm刻度线，∴10cm刻度线与29×2﹣10＝48cm刻度线重合，∴48cm刻度线在数轴上对应点表示的数是＝4．故答案为：4．15．（2分）（2022秋•义乌市校级期中）如图在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是﹣8，3，若以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A落在点B右边，且A、B两点相距1单位长，则点C表示的数是﹣2．解：设点C表示的数是x，则AC＝x﹣（﹣5）＝x+5，BC＝8﹣x，∵AB＝1，即AC﹣BC＝x+5﹣（8﹣x）＝1，解得：x＝﹣2，∴点C表示的数是﹣2．故答案为：﹣2．16．（2分）（2022秋•海曙区校级期中）等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若△ABC绕顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2020次后，点B对应的数是2020．解：∵点A、C对应的数分别为0和﹣1，∴AC＝1，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝1，∵△ABC绕顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，而2020＝1+673×3，∴△ABC连续翻转2020次后，点B对应的数为1+673×3＝2020．故答案为2020．17．（2分）（2021秋•东阳市期末）数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离满足2倍关系，则称该点是其它两个点的“友好点”，这三点满足“友好关系”．已知点A、B表示的数分别为﹣2、1，点C为数轴上一动点．（1）当点C在线段AB上，点A是B、C两点的“友好点”时，点C表示的数为﹣0.5；（2）若点C从点B出发，沿BA方向运动到点M，在运动过程中有4个时刻使A、B、C三点满足“友好关系”，设点M表示的数为m，则m的范围是﹣5＜m≤﹣3.5．解：（1）设点C表示的数为x，则AC＝x+2，AB＝1+2＝3，∵点A是B、C两点的“友好点”，∴当AB＝2AC时，则3＝2（x+2），解得x＝﹣0.5，所以点C表示的数是﹣0.5，故答案为：﹣0.5；（2）当点C在线段AB上时，若A、B、C三点满足“友好关系”，存在三个时刻，即AC＝CB或AC＝CB或AC＝2CB时，此时m＝﹣0.5或﹣1或0，∴另外一个时刻则点C在点A的左侧时，则AB＝2AC或BC＝2AC，∴m＝﹣3.5或﹣5，∵只有四个时刻，∴m的取值范围是﹣5＜m≤﹣3.5．故答案为：﹣5＜m≤﹣3.5．18．（2分）（2022秋•长兴县月考）一把刻度尺在数轴上的位置摆放如图所示，刻度尺右端点B的刻度为“0”，刻度“10cm”和“25cm“分别与数轴上表示数0和﹣2的点重合，现将该刻度尺沿数轴向右平移4个单位，如图2，使刻度尺的左端点A与数轴上表示的数1重合，则该刻度尺的长度为32.5cm．解：∵刻度尺“10cm“和“25cm”分别与数轴上表示的数0和﹣2的点重合，∴数轴上一个单位长度为（25﹣10）÷2＝7.5cm，将该刻度尺沿数轴向右平移4个单位，如图2，使刻度尺的左端点A与数轴上表示的数1重合，原点A表示的数是1﹣4＝﹣3，则点A到原点的距离为3×7.5＝22.5cm，刻度尺长为22.5+10＝32.5cm，故答案为：32.5cm．19．（2分）（2022秋•北仑区期中）如图，在数轴上点A、B表示的数分别为﹣2、4，若点M从A点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N从B点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，经过2或18秒后，M、N两点间的距离为12个单位长度．解：分两种情况，①当点N沿着数轴向右移动，则点M表示的数为（﹣2+5t），点N表示的数为（4+4t），由MN＝12得，|（﹣2+5t）﹣（4+4t）|＝12，解得，t＝﹣6（舍去），或t＝18；②当点N沿着数轴向左移动，则点M表示的数为（﹣2+5t），点N表示的数为（4﹣4t），由MN＝12得，|（﹣2+5t）﹣（4﹣4t）|＝12，解得，t＝﹣（舍去），或t＝2；故答案为：2或18．20．（2分）（2022秋•镇海区校级期中）已知a、b、c的位置如图：则化简|﹣a|﹣|c﹣b|﹣|a﹣c|＝b﹣2c．解：|﹣a|﹣|c﹣b|﹣|a﹣c|＝﹣a﹣（c﹣b）+a﹣c＝b﹣2c故答案为：b﹣2c．三．解答题（共7小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•丽水期中）某检修小组从A地出发，在东西走向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次如下．（单位：km）第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次﹣3+8﹣9+10+4﹣6﹣2（1）第7次记录时距A地有多远？（2）若每千米耗油0.25升，每升汽油6元，问检修小组工作一天回到A地需汽油费多少元？解：（1）﹣3+8﹣9+10+4﹣6﹣2＝2（km），第7次记录时距A地2km；（2）（3+8+9+10+4+6+2+2）×0.25×6＝44×0.25×6＝66（元），答：检修小组工作一天需汽油费66元．22．（6分）（2022秋•吴兴区期中）【新知理解】点C在线段AB上，若BC＝2AC或AC＝2BC，则称点C是线段AB的“优点”，线段AC，BC称作互为“优点“伴侣线段．例如，图1，线段AB的长度为6，点C在AB上，AC的长度为2，则点C是线段AB的其中一个“优点”．（1）若点C为图1中线段AB的“优点”AC＝6（AC＜BC），则AB＝18；（2）若点D也是图1中线段AB的“优点”（不同于点C），则AC＝BD（填“＝”或“≠”）【解决问题】如图2，数轴上有一点E表示的数为1，向右平移3个单位到达点F；（3）若不同的两点M，N都在线段OF上，且M，N均为线段OF的“优点”，求线段MN的长；（4）如图2，若点G在射线EF上，且线段GF与以E，F，G中某两个点为端点的线段互为“优点”伴侣线段，求点G表示的数（写出所有可能）．解：（1）∵点C为线段AB的“优点”，AC＜BC，AC＝6，∴BC＝2AC＝12，∴AB＝AC+BC＝18，故答案为：18．（2）如图，∵点D是线段AB的“优点”，∴AD＝2BD，∴AB＝AD+BD＝2BD+BD＝3BD＝18，∴BD＝6，∵AC＝6，∴AC＝BD，故答案为：＝．（3）∵点E表示的数为1，向右平移3个单位到达点F，∴点F表示的数为4，∴OF＝4，当点M在点N左侧时，则：MF＝2OM，ON＝2NF，∴OM＝NF＝OF＝，∵OF＝OM+MN+NF，∴MN＝，当点M在点N右侧时，则：2MF＝OM，2ON＝NF，∴ON＝MF＝OF＝，∵OF＝ON+MN+MF，∴MN＝，综上，线段MN的长为．（4）∵点E表示的数为1，点F表示的数为4，∴EF＝4﹣1＝3，①线段EG，GF互为“优点“伴侣线段时，有EG＝2GF或GF＝2EG，当EG＝2GF时，EF＝EG+GF＝2GF+GF＝3GF＝3，∴GF＝1，∴点G表示的数为3，当GF＝2EG时，EF＝EG+GF＝EG+2EG＝3EG＝3，∴EG＝1，∴点G表示的数为2，②线段EF，GF互为“优点“伴侣线段时，有EF＝2GF或GF＝2EF，当EF＝2GF时，GF＝1.5，∴点G表示的数为5.5，当GF＝2EF时，GF＝6，∴点G表示的数为10，综上，点G表示的数为2或3或5.5或10．23．（8分）（2021秋•武义县期末）如图，数轴上C，D两点把线段AB分成2：5：3三部分，E为AB的中点．（1）若点A，B，D所表示的数分别是﹣10，+20，x，求x的值．（2）若ED＝3cm，求线段AB的长．解：（1）∵点A，B所表示的数分别是﹣10，+20，∴AB＝30，∵C，D两点把线段AB分成2：5：3三部分，∴DB＝AB＝9，∴D所表示的数x＝20﹣9＝11，∴x的值为11．（2）∵C，D两点把线段AB分成2：5：3三部分，∴设AC＝2y，CD＝5y，DB＝3y，∵E为AB的中点，∴EB＝12AB＝5y，∵ED＝3cm，∴ED＝EB﹣DB＝5y﹣3y＝3cm，∴y＝32，∴AB＝10y＝15（cm），∴线段AB的长为15cm．24．（8分）（2022秋•宁波期中）如图，圆的半径为个单位长度．数轴上每个数字之间的距离为1个单位长度，在圆的4等分点处分别标上点A，B，C，D．先让圆周上的点A与数轴上表示—1的点重合．（1）圆的周长为多少？（2）若该圆在数轴上向右滚动2周后，则与点B重合的点表示的数为多少？（3）若将数轴按照顺时针方向绕在该圆上，（如数轴上表示—2的点与点B重合，数轴上表示—3的点与点C重合…），那么数轴上表示—2024的点与圆周上哪个点重合？解：（1）圆的周长＝2π•＝4个单位长度；（2）滚动一周后点B的对应数为2，滚动2周后点B对应的数是2+4＝6；（3）由图可知，A点对应的数是﹣1，B点对应的数是﹣2，C点对应的数是﹣3，D点对应的数是﹣4，∴每4个数为一个循环组依次循环，∵2024÷4＝506，∴表示﹣2024的点是第506个循环组的第4个数D重合．25．（10分）（2022秋•西湖区校级期中）随着手机的普及，微信的兴起，许多人抓住机会做起了“微商”，使得很多农产品也改变了原来的销售模式，实行网上销售．刚大学毕业正在创业的李勇把自家花椒也放到了网上销售，他原计划每天卖100斤的花椒，但由于受各种原因的影响，实际每天的销售量与计划量相比有出入，如表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：斤）：星期一二三四五六日与计划量的差值+5﹣4﹣6+15﹣9+22﹣7（1）根据记录的数据可知前三天共卖出295斤；（2）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售31斤；（3）若按每斤25元出售，花椒的种植成本为每斤15元，销售时每斤花椒的运费平均4元，那么李勇本周一共盈利多少元？解：（1）100×3+（+5﹣4﹣6）＝300﹣5＝295（斤），故答案为：295；（2）22﹣（﹣9）＝31（斤），故答案为：31；（3）（25﹣15﹣4）×[100×7+（+5﹣4﹣6+15﹣9+22﹣7）]＝6×（700+16）＝6×716＝4296（元），答：李勇本周一共盈利4296元．26．（10分）（2022秋•文成县期中）如图，在数轴上，点A表示﹣4，点B表示﹣1，点C表示8，P是数轴上的一个点．（1）求点A与点C的距离；（2）若PB表示点P与点B之间的距离，PC表示点P与点C之间的距离，当点P满足PB＝2PC时，请求出在数轴上点P表示的数．解：（1）AC＝|8﹣（﹣4）|＝12，∴点A与点C的距离为12；（2）设点P表示的数是x，则P