专题12.1 二项式定理（解析版）【高考总复习】2024年高考数学满分训练必做题：基础+提升2000题（新高考专用）

第第页专题12.1二项式定理【1542】．（2022·全国·高考真题·★★★★）若，则（

）A．40 B．41 C． D．【答案】B【分析】利用赋值法可求的值.【详解】令，则，令，则，故，故选：B.【1543】．（2015·山东·高考真题·★★★）的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（

）A．0 B． C． D．32【答案】D【分析】根据的二项展开式系数之和为求解即可【详解】的二项展开式中所有项的二项式系数之和为故选：D【1544】．（2019·全国·高考真题·★★★★）（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为A．12 B．16 C．20 D．24【答案】A【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．【详解】由题意得x3的系数为，故选A．【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．【1545】．（2011·重庆·高考真题·★★★★）（其中n∈N且n≥6）的展开式中x5与x6的系数相等，则n=A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【详解】，由题意知，所以n=7.【1546】．（2018·全国·高考真题·★★★）的展开式中的系数为A．10 B．20 C．40 D．80【答案】C【详解】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得令,则所以故选C.点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题．【1547】．（2014·福建·高考真题·★★★★★）用代表红球，代表蓝球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“”表示取出一个红球，面“”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是A．B．C．D．【答案】A【详解】试题分析：依题意所有的篮球都取出或都不取出.所以要有或不含的式子.所以符合.故选A.考点：1.新定义.2.二项式展开式.【1548】．（2016·四川·高考真题·★★★）设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为()A．－15x4 B．15x4 C．－20ix4 D．20ix4【答案】A【详解】试题分析：二项式的展开式的通项为，令，则，故展开式中含的项为，故选A.【考点】二项展开式，复数的运算【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式可以写为，则其通项为，则含的项为．【1549】．（2015·全国·高考真题·★★★★）的展开式中，的系数为A．10 B．20C．30 D．60【答案】C【详解】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选C.考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.【1550】．（2015·湖北·高考真题·★★★）已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（

）．A． B． C． D．【答案】D【详解】因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，所以二项式中奇数项的二项式系数和为．考点：二项式系数，二项式系数和．【1551】．（2014·湖南·高考真题（理）·★★★）的展开式中的系数是A． B． C．5 D．20【答案】A【详解】试题分析：根据二项式定理可得第项展开式为,则时,,所以的系数为,故选A.考点：二项式定理【1552】．（2014·湖北·高考真题·★★★★）若二项式的展开式中的系数是84，则实数A．2 B． C．1 D．【答案】C【详解】试题分析：因为，令，得，所以，解得，故选C.考点：二项式定理的通项公式，容易题.【1553】．（2008·安徽·高考真题·★★★★）设则中奇数的个数为A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根据二项式定理分别求出后可得．【详解】由可知：均为二项式系数，依次是,因为，，，，，所以中奇数只有两个，故选：A.【1554】．（2008·全国·高考真题·★★★★）的展开式中的系数是A． B． C．3 D．4【答案】B【详解】【1555】．（2022·全国·高考真题·★★★★）的展开式中的系数为________________（用数字作答）．【答案】-28【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为，所以的展开式中含的项为，的展开式中的系数为-28故答案为：-28【1556．（2022·浙江·高考真题·★★★★）已知多项式，则__________，___________．【答案】

【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令求出，再令即可得出答案．【详解】含的项为：，故；令，即，令，即，∴，故答案为：；．【1557】．（2021·天津·高考真题·★★★）在的展开式中，的系数是__________．【答案】160【分析】求出二项式的展开式通项，令的指数为6即可求出.【详解】的展开式的通项为，令，解得，所以的系数是.故答案为：160.【1558】．（2020·全国·高考真题·★★★）的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】【分析】写出二项式展开通项，即可求得常数项.【详解】其二项式展开通项：当，解得的展开式中常数项是：.故答案为：.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握的展开通项公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.【1559】．（2006·安徽·高考真题（理）·★★★）设常数，展开式中的系数为，则__________．【答案】1【详解】解：，由，所以，所以为1．【1560】．（2012·浙江·高考真题·★★★★）若将函数表示为其中，，，…，为实数，则＝______________．【答案】10【详解】法一：由等式两边对应项系数相等．即：．法二：对等式：两边连续对x求导三次得：，再运用赋值法，令得：，即【1561】．（2013·安徽·高考真题·★★★★）若的展开式中的系数为7，则实数_________.【答案】【详解】通项当时，【考点定位】二项式中参数的考察【1562】．（2018·天津·高考真题·★★★★）在二项式的展开式中，的系数为__________．【答案】.【分析】由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到的值，然后求解的系数即可.【详解】结合二项式定理的通项公式有：，令可得：，则的系数为：.【点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中和的隐含条件，即、均为非负整数，且，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．【1563】．（2018·浙江·高考真题·★★★）二项式的展开式的常数项是___________．【答案】7【详解】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果.详解：二项式的展开式的通项公式为,令得，故所求的常数项为点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出特定项的系数.【1564】．（2016·北京·高考真题·★★★）在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答)【答案】60.【详解】试题分析：因为，所以的系数为考点：二项式定理【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略（1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.（2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.【1565】．（2015·上海·高考真题·★★★★）在的展开式中，项的系数为________（结果用数值表示）．【答案】【详解】试题分析：因为，所以项只能在展开式中，即为，系数为考点：二项式定理．【1566】．（2015·福建·高考真题·★★）的展开式中，的系数等于_____________．（用数字作答）【答案】【分析】运用二项式的通项公式进行求解即可.【详解】的通项公式为：令，所以的系数等于，故答案为：【1567】．（2015·重庆·高考真题·★★★）的展开式中的系数是________（用数字作答）.【答案】【详解】二项展开式通项为，令，解得，因此的系数为.考点：二项式定理【1568】．（2011·全国·高考真题·★★★★）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为A．-40 B．-20 C．20 D．40【答案】D【详解】令x=1得a=1.故原式=．的通项，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40，故选D【1569】．（2017·全国·高考真题·★★★★）展开式中的系数为A． B．C． D．【答案】C【分析】化简已知代数式，利用二项式展开式的通项公式可以求出展开式中的系数．【详解】因为，则展开式中含的项为；展开式中含的项为，故的系数为，故选：C．【1570】．（2022·江苏·盐城中学模拟预测·★★★★）的展开式中，一次项的系数与常数项之和为（

）A．33 B．34 C．35 D．36【答案】D【分析】先求出一次项的系数与常数项，再求和即可【详解】【答因为的通项公式为，所以的展开式中，一次项的系数为，常数项为，所以一次项的系数与常数项之和为，故选：D【1571】．（2022·全国·模拟预测·★★★★）已知函数（k，n为正奇数），是的导函数，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】依题意求出，再求出函数的导函数，根据二项式系数的特征求出，即可得解；【详解】解：因为，所以，所以，则，其中，所以，所以；故选：D【1572】．（2022·安徽·合肥市第五中学模拟预测·★★★★★）杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本源”，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它上面的两个数值之和，每一行第个数组成的数列称为第斜列．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2022行第斜列与第斜列各项之和最大时，的值为（

）A．1009 B．1010 C．1011 D．1012【答案】C【分析】根据题意可得第斜列各项之和为，第斜列各项之和为，则可求出.【详解】当时，第斜列各项之和为，同理，第斜列各项之和为，所以，所以第斜列与第斜列各项之和最大时，，则.故选：C．【1573】．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测·★★★★）在二项式的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项中恰有两项相邻的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据已知求出求出二项式展开式有3项是有理项，再利用古典概型求出恰有两项有理项相邻的概率.【详解】展开式通项为，由题意．所以当时为整数，相应的项为有理项，因为二项式展开式中共有9项，其中有3项是有理项，6项是无理项，所求恰有两项有理项相邻的概率为．故选：B．【1574】．（2022·福建龙岩·模拟预测·★★★★）如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积约为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可知第行第个数的指数为二项式系数，第行数字的指数之和为二项式系数之和等于，利用等比数列求和得该“数字塔”前10层的所有数字之积，利用对数运算进行计算估计．【详解】根据题意可得，“数字塔”中第行第个数均为的形式，该“数字塔”前10层的所有数字之积根据指数运算可知，则按原位置排列即构成杨辉三角，可得为二项式系数，则第行数字的和为二项式系数之和等于∴前10层的所有数字之和该“数字塔”前10层的所有数字之积，则故选：C．【1575】．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理）·★★★★）设，则二项式的展开式中第三项的系数为（

）A． B．40 C．10 D．【答案】B【分析】根据求得a，再根据直接求得第三项的系数，可得答案.【详解】，故，展开式中的第三项的系数为,故选：B【1576】．（2022·全国·模拟预测·★★★★★）已知，设，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，可求出，再令，可求出，代入可得答案.【详解】在中，令，得，令，得，所以，故选：B．【1577】．（2022·全国·模拟预测·★★★）已知的展开式的各项系数之和为81，则（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】赋值法求解展开式的各项系数和，列出方程，求出.【详解】由题意，令得：，解得：．故选：B【1578】．（2022·广东·珠海市第三中学二模·★★★）的展开式中，的系数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】使用二项展开式的通项进行计算即可.【详解】的展开式的通项是，（）由题意，，因此，的系数是.故选：B.【1579】．（2022·福建泉州·模拟预测·★★★）的展开式中，的系数等于（

）A． B． C．10 D．45【答案】D【分析】由二项式展开式的通项公式即可求出的系数.【详解】的通项为，令，解得，所以项的系数为：.故选：D【1580】．（2022·山东聊城·三模·★★★★）的展开式中项的系数为（）A． B． C．80 D．200【答案】B【分析】先利用二项式定理求出的展开式通项，再利用多项式相乘进行求解.【详解】的展开式的通项为，因为，在中，令，得，在中，令，得，所以展开式中项的系数为.故选：B.【1581】．（2022·福建省漳州第一中学模拟预测·★★★★）已知（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为（

）A．90 B．10 C．10 D．90【答案】A【分析】由题意可得，得，然后求出二项式展开式的通项公式，由的次数为零，求出，从而可求出常数项.【详解】因为（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，所以，得，所以，则其展开式的通项公式为，令，得，所以该展开式中的常数项为，故选：A【1582】．（2022·四川广安·模拟预测·★★★）在的展开式中，常数项为（

）A．-60 B．60 C．-240 D．240【答案】D【分析】根据二项展开式通项公式指数等于0求解可得.【详解】由题知，展开式中第项，令，得，所以展开式中常数项为.故选：D【1583】．（2022·新疆·三模·★★★）若，则（

）A．270 B．135 C．135 D．270【答案】B【分析】以代替，可得，求出的系数，即可得答案【详解】，以代替，得，所以其通项公式为，令，所以，故选：B【1584】．（2023·江苏·南京市第一中学模拟预测·★★★★）的展开式中的常数项为（

）A．40 B．60 C．80 D．120【答案】A【分析】先确定的展开式的通项公式，再由求解.【详解】解：的展开式的通项公式为，而，令，得，令，得，所以的展开式中的常数项为．故选：A．【1585】．（2022·四川省泸县第一中学模拟预测·★★★★）的展开式中含的项的系数为（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】B【分析】求出展开式的通项即可分析计算作答.【详解】的展开式的通项为，则的展开式中含的项是，所以的展开式中含的项的系数为15.故选：B【1586】．（2022·江苏无锡·模拟预测·★★★★）二项式的展开式中，含项的二项式系数为（

）A．84 B．56 C．35 D．21【答案】B【分析】易知展开式中，含项的二项式系数为，再利用组合数的性质求解.【详解】解：因为二项式为，所以其展开式中，含项的二项式系数为：，，，，，.故选：B【1587】．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测·★★★★）已知的展开式二项式系数和为64，则展开式中常数项是（

）A．－8 B．4 C．30 D．60【答案】D【分析】先写出二项式的展开式的通项公式，根据特定项的特点确定，从而求出展开式中常数项.【详解】因为展开式二项式系数和为64，所以，，展开式的通项为，令，得，所以常数项为第5项，.故选：D【1588】．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测·★★★★）的展开式中的系数为（

）A． B．25 C． D．5【答案】A【分析】根据题意，借助二项展开式通项得的展开式为，分析求解．【详解】∵的展开式为，令，得，则，令，得，则，令，得，∴的展开式中的系数为.故选：A．【1589】．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测·★★★）已知，则（

）A．280 B．35 C． D．【答案】A【分析】将化为，利用展开式的通项求解即可.【详解】，令，则，展开式的通项为：，令，可得，所以.故选：A.【1590】．（2022·全国·模拟预测·★★★）二项式的展开式中的常数项为（

）A．210 B．－210 C．252 D．－252【答案】A【分析】写出展开式的通项，然后可得答案.【详解】二项式的展开式的通项为，令可得，所以常数项为，故选：A【1591】．（2022·浙江·模拟预测·★★★★）在的展开式中含和含的项的系数之和为（

）A． B． C． D．1485【答案】A【分析】由已知得，分别利用二项式展开式的通项公式求得的系数和含的项的系数，由此可求得答案.【详解】解：，则的系数为1，的系数为，所以在的展开式中含和含的项的系数之和为．故选：A．【1592】．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模·★★★★）的展开式中的系数为（

）A．80 B．24 C． D．【答案】A【分析】把给定积式化成，再分析展开式即可求解作答.【详解】依题意，，显然展开式中没有项，展开式的项为，所以的展开式中的系数为80.故选：A【1593】．（2022·江西·上高二中模拟预测（理）·★★★★）的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的常数项为（

）A． B．32 C．−64 D．64【答案】A【分析】首先写出的展开式通项，根据原式的乘积形式写出常数项即可.【详解】对于的展开式通项为，所以原式的常数项为.故选：A【1594】．（2022·河北沧州·二模·★★★★）的展开式中的常数项为（

）A． B． C．80 D．161【答案】A【分析】利用二项式展开式的原理可算出答案.【详解】，所以展开式中的常数项为故选：A【1595】．（2022·广东广州·三模·★★★）若的展开式中各项系数和为64，则展开式中的常数项为（

）A．15 B．30 C．135 D．270【答案】C【分析】先令由系数和求得，再由通项求得常数项即可.【详解】令可得，解得，则，由展开式通项，令，则，则，即常数项为135.故选：C.【1596】．（2022·江苏泰州·模拟预测·★★★★）的展开式中，项的系数为（

）A．400 B．480 C．720 D．800【答案】D【分析】由已知可得出，写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.【详解】，的展开式通项为，的展开式通项为，所以的展开式通项为，其中，，且、，令，可得或或，因此的展开式中的系数为.故选：D.【1597】．（2022·江苏淮安·模拟预测·★★★★★）已知，则的值为（

）A．64 B．84 C．94 D．54【答案】B【分析】求出展开式中的系数为，其中，从而求解出答案.【详解】展开式中的系数为，展开式中的系数为，……，展开式中的系数为，所以故选：B【1598】．（2022·广东·模拟预测·★★★★）若是一组数据的方差，则的展开式的常数项为（

）A． B．3360 C．210 D．16【答案】B【分析】根据数据信息，求解出方差的值，代入二项式中，求解二项式展开式的通项公式，求解常数项即可.【详解】解：数据0，2，0，2的平均值为1，故方差，故二项式为，其展开式的通项公式为，令，解得，故常数项为.故选：B.【1599】．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测·★★★★）若展开式中各项系数之和为，则该展开式中含的项的系数为（

）A． B．256 C．320 D．【答案】A【分析】根据系数和为81，赋值法即可得，然后根据通项即可求出第2项是含的项，即可代入求解.【详解】令，则.展开式的通项为令，所以含的项的系数为.故选：A【1600．（2022·河北唐山·三模·★★★★）的展开式中的系数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】用乘以展开式中的项，再用乘以展开式中的常数项，合同同类项即得所求【详解】的第项令，则，令，则，则的展开式中的系数为故选：C【1601】．（2022·山西吕梁·三模·★★★★）若的展开式中的系数为35，则正数（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】根据题意得，分析展开式含项仅有和，再展开求系数即可.【详解】因为展开式为：，即，所以，，，所以含的系数为，又为正数，所以.故选：B.【1602】．（2022·全国·模拟预测·★★★★）已知的展开式中的系数为，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据展开式通项，分别令和可表示出的系数，由此可构造方程求得的值.【详解】展开式的通项，当时，；当时，；，解得：.故选：A.【1603】．（2022·山西运城·模拟预测·★★★★）已知的展开式中含项的系数为20，则的展开式中的常数项为（

）A．880 B．924 C．792 D．954【答案】B【分析】先由的通项结合项的系数为20可得，再由展开式通项即可得结果.【详解】由题得的展开式中第项为，令，得，所以，所以，的展开式中第项为，令，得.故选：B.【1604】．（2022·广西北海·一模（理）·★★★★）的展开式中的系数为_____________．【答案】9【分析】利用二项式定理求指定项的系数.【详解】，展开式中的系数为．故答案为：9【1605】．（2022·四川雅安·模拟预测（理）·★★★）在的展开式中，的系数为，则______．【答案】##【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】的展开式中，含的项为，所以.故答案为：【1606】．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理）·★★★★）的展开式中的系数为______．【答案】-36【分析】根据给定条件，把式子变形成两个二项式相乘，再利用二项式定理求解作答.【详解】因，因此的展开式含的项是展开式的x一次项与展开式的常数项的积，加上展开式的x一次项与展开式的常数项的积的和，即，所以的展开式中的系数为.故答案为：【1607】．（2022·上海·模拟预测·★★★）二项式的常数项为__（用具体数值表示）．【答案】【分析】写出二项式展开式的通项公式并化简整理，令即可得到常数项，计算即得答案.【详解】二项式展开式的通项公式为：，令，则，∴常数项为.故答案为：．【1608】．（2022·广东广州·一模·★★★★）展开式中的系数为________.【答案】【分析】先得到的通项公式，再结合，计算即可得到结果.【详解】因为