湖南省 高一数学周考试题（含答案）

试卷第=page44页，总=sectionpages44页试卷第=page11页，总=sectionpages11页湖南省益阳市高一数学周考试题姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，，则()A． B． C． D．2．已知，，，则（）A． B． C． D．3．关于直线与平面，下列说法正确的是（）A．若直线平行于平面，则平行于内的任意一条直线B．若直线与平面相交，则不平行于内的任意一条直线C．若直线不垂直于平面，则不垂直于内的任意一条直线D．若直线不垂直于平面，则过的平面不垂直于4．已知点是角终边上的一点，则（）A． B． C． D．5．函数的图象可能是()A． B．C． D．6．已知扇形的周长是，扇形面积为，扇形的圆心角的弧度数是（）A．2 B．1 C． D．37．在△中，为边上的中线，为的中点，则A． B．C． D．8．在三棱锥中，，且两两互相垂直,则三棱锥的外接球的体积为()A． B． C． D．9．将函数的图象向右平移个单位，再把所有的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则图象的一个对称中心为（）A． B． C． D．10．我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图象中的两条相邻“平行曲线”与直线相交于，两点，且.则的一个增区间为()A． B．C． D．11．已知函数是定义在上的单调函数，则对任意都有成立，则（）A． B． C． D．12．关于函数有下述四个结论：①若，则；②的图象关于点对称；③函数在上单调递增；④的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称.其中所有正确结论的编号是（）A．①②④ B．①② C．③④ D．②④二、填空题13．已知，，则在的方向上的投影为________．14．若tanα＝2，则的值为_________15．已知函数的最小正周期为，若将该函数的图像向左平移个单位后，所得图像关于原点对称，则的最小值为________.16．如图在中，已知，，，，边上的中线交于点，则的值是________.三、解答题17．（1）已知，，求；（2）化简：.18．如图，在直三棱柱中，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.19．在平面直角坐标系中，已知向量，．（1）若，求实数的值；（2）若对于平面内任意向量，都存在实数、，使得，求实数的取值范围．20．函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式.（2）若不等式，对任意恒成立，求实数的取值范围.21．已知点,,点满足,记点的轨迹为．（1）求的方程；（2）设直线与交于、两点,求的面积（为坐标原点）；（3）设是线段中垂线上的动点,过作的两条切线、,、分别为切点,判断是否存在定点,直线始终经过点,若存在,求出点的坐标,若不存在,说明理由．22．已知实数，，，若向量满足，且.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若在上为增函数.（1）求实数的取值范围；（2）若对满足题意的恒成立，求的取值范围.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第=page1212页，总=sectionpages1515页答案第=page1313页，总=sectionpages1515页参考答案1．D【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合的具体范围，然后求两个集合的交集，从而得出正确选项【详解】由解得，故.故选D.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2．A【解析】【分析】首先得出，然后利用对数函数和指数函数的性质求解即可.【详解】∵，∴，即，∴，即，∵，∴，故选：A.【点睛】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用.3．B【解析】分析：利用线面平行的性质与线面垂直的性质，对选项中命题逐一判断，即可得结果.详解：对于，若直线平行于平面，则与内的任意一条直线平行或异面，错；对于，若直线与平面相交，则不平行于内的任意一条直线，正确；对于，若直线不垂直于平面，则可垂直于内的无数条直线，错；对于，若直线不垂直于平面，则过的平面可垂直于，错，故选B.点睛：空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.4．A【解析】【分析】根据三角函数的定义求出，然后再根据诱导公式求出即可．【详解】∵点是角终边上的一点，∴，∴．故选A．【点睛】本题考查三角函数的定义和诱导公式的运用，解题的关键是根据定义求出正弦值，然后再用诱导公式求解，解题时要注意三角函数值的符号，属于基础题．5．A【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再利用特殊点的函数值符号的正负进行排除即可.【详解】由题意知，函数的定义域为，其定义域关于原点对称，因为，故为奇函数，故选项B、C排除；又，，故选项D排除；故选：A【点睛】本题考查函数图象的识别、函数奇偶性的判断；考查运算求解能力和识图能力；熟练掌握函数奇偶性的定义和性质是求解本题的关键；属于中档题.6．A【解析】【分析】设扇形的半径为，弧长为，根据题意有，解得，代入公式求解.【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，解得，，所以.故选：A【点睛】本题主要考查弧度制公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7．A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.8．A【解析】【分析】将已知三棱锥补全为一个边长为2的正方体，将求三棱锥的外接球体积转化为该正方体的外接球，由正方体体对角线长度等于其外接球直径即可求得外接球的半径，进而由球体的体积公式计算即可.【详解】在三棱锥中有两两互相垂直，且，则可将其补全为一个边长为2的正方体，显然该正方体的外接球即为三棱锥的外接球，设该外接球的半径为r，正方体的体对角线为，则故外接球的体积为.故选：A【点睛】本题考查求棱锥外接球的体积，属于简单题.9．C【解析】【分析】【详解】将函数的图象向右平移个单位，可得，在把所有的点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，令，求得，所以可得函数的一个对称中心为，故选C.10．C【解析】【分析】由题意可知函数的最小正周期，从而求出，再整体代入法求出函数的单调递增区间，从而得出答案．【详解】解：由题意可知函数的最小正周期，∴，解得，∴，由得，当时，得，故A错；当时，得，故B错、C对；当时，得，故D错；故选：C．【点睛】本题主要考查正切函数的周期性与单调性，考查数学想象能力，属于基础题．11．A【解析】【分析】由题意，设，则，得，可得，即可求解.【详解】由题意，因为在为单调函数，且，设，则，即，所以，可得或（负值舍），所以，故选A.【点睛】本题主要考查了抽象函数的函数值的计算，以及复合函数的单调性的应用问题，其中解答中合理利用换元法和函数的关系式，求得的值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.12．D【解析】【分析】①根据对称中心进行分析；②根据对称中心对应的函数值特征进行分析；③根据的单调性进行分析；④利用函数图象的平移进行分析，注意诱导公式的运用.【详解】①由知，是图象的两个对称中心，则是的整数倍（是函数的最小正周期），即，所以结论①错误；②因为，所以是的对称中心，所以结论②正确；③由解得，当时，在上单调递增，则在上单调递增，在上单调递减，所以结论③错误；④的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数为，是偶函数，所以图象关于轴对称，所以结论④正确.故选：D.【点睛】本题考查三角函数图象与性质的综合应用，难度一般.(1)的对称中心对应的函数值为，对称轴对应的函数值为；(2)分析的单调性，可令满足的单调区间，从而可求的单调区间.13．2【解析】【分析】根据向量在的方向上的投影为，结合向量的数量积的坐标运算和模的计算公式，即可求解.【详解】由题意，向量，，可得，，则在的方向上的投影为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算和模计算公式的应用，以及向量的投影的概念与计算，其中解答熟记平面向量的数量积、模及投影的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.14．【解析】15．【解析】【分析】先利用周期公式求出，再利用平移法则得到新的函数表达式，依据函数为奇函数，求出的表达式，即可求出的最小值．【详解】由得，所以，向左平移个单位后，得到，因为其图像关于原点对称，所以函数为奇函数，有，则，故的最小值为．【点睛】本题主要考查三角函数的性质以及图像变换，以及型的函数奇偶性判断条件．一般地为奇函数，则；为偶函数，则；为奇函数，则；为偶函数，则．16．【解析】【分析】用、表示向量、，然后利用平面向量数量积的运算律可求得结果.【详解】因为为的中点，所以.设，因为、、三点共线，所以，解得，则，从而，，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.17．（1）（2）【解析】【分析】（1）由同角三角函数的关系，先求余弦值，然后求正切值即可;（2）由三角函数诱导公式化简即可.【详解】解：（1），，，则；（2）.【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了诱导公式，属基础题.18．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，可知点为的中点，由中位线的性质可得，再利用线面平行的判定定理可证得平面；（2）利用等腰三角形三线合一的性质得出，由平面得出，利用线面垂直的判定定理可证得平面，进而利用面面垂直的判定定理可得出平面平面.【详解】（1）连接交于点，连接，在直三棱柱中，四边形为平行四边形.因为为对角线与的交点，所以为的中点.又因为为的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面；（2）因为，为的中点，所以.因为三棱柱是直三棱柱，所以平面.又因为平面，所以.又因为，、平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的判定，考查推理能力，属于中等题.19．（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根据向量垂直，其数量积等于0，利用向量数量积公式得到对应的等量关系式，求得结果；（2）平面内任意向量，都存在实数、，使得，其等价结果为向量和向量是两个不共线向量，根据坐标关系得到结果.【详解】（1）若，则有，即，又因为，，所以，即，解得；（2）对于平面内任意向量，都存在实数、，使得，所以向量和向量是两个不共线向量，所以，即，所以实数的取值范围是.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，平面向量基本定理，一组向量可以作为基底的条件，属于基础题目.20．（1）f(x)＝2sin(2x－)．（2）（－3，）．【解析】【分析】（1）利用，再用，求出即可；（2），得，转化成，最后求出的取值范围.【详解】（1）因为，所以，又因为，且，所以，故．（2）由（1）知，当时，，，即，又对任意，恒成立，，即，故的取值范围是．【点睛】本题属于三角函数的综合题，考查了三角函数的周期性和已知定义域，求三角函数的值域等问题，难点在于对绝对值要进行分段处理和化简.21．（1）；（2）；（3）定点的坐标为．【解析】【分析】(1)根据列出关于的方程再化简即可.(2)求解到直线的距离以及弦长,进而求得面积即可.(3)设,,,根据以及可得,满足的方程,进而求得定点即可.【详解】（1）因为,故,即,化简可得；（2）到直线的距离为,∴,从而；（3）设,,,其中,,由,可得,化简得,同理,有,将,看作方程的两组不同的解,由方程思想,可知直线的方程即,当时,,∴所求定点的坐标为．【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解,同时也考查了直线与圆方程中的定点问题,需要根据题意确定切点满足的关系式,再利用方程的思想求出直线方程,进而求得定点.属于中档题.22．（Ⅰ）或（Ⅱ）（1）（2）【解析】【分析】（Ⅰ）设，根据向量的数量积的运算，求得，进而得到和，即可得到向量的坐标；（Ⅱ）（1）根据向量的模的运算，求得，又由函数在上为增函数，得到也