2023-2024学年广东省江门市江海区礼乐中学高二上数学期末统考试题含解析

2023-2024学年广东省江门市江海区礼乐中学高二上数学期末统考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，那么函数在x＝π处的瞬时变化率为（）A. B.0C. D.2．已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（）A.A，B，D B.A，B，CC.B，C，D D.A，C，D3．若数列的前n项和(n∈N*)，则=（）A.20 B.30C.40 D.504．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（）A. B.C. D.5．已知分别是双曲线的左、右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为（）A.6 B.7C. D.56．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A.3699块 B.3474块C.3402块 D.3339块7．曲线在点处的切线方程是A. B.C. D.8．已知集合，，若，则＝（）A.{1，2，3} B.{1，2，3，4}C.{0，1，2} D.{0，1，2，3}9．若直线a不平行于平面，则下列结论正确的是（）A.内的所有直线均与直线a异面 B.直线a与平面有公共点C.内不存在与a平行的直线 D.内的直线均与a相交10．在中，已知角A，B，C所对的边为a，b，c，，，，则（）A. B.C. D.111．圆与圆的位置关系是（）A.内含 B.相交C.外切 D.外离12．已知直线和互相垂直，则实数的值为（）A. B.C.或 D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知几何体如图所示，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，点M在DG上，若直线MB与平面BEF所成的角为45°，则___________.14．已知函数有零点，则的取值范围是___________.15．已知平面向量均为非零向量，且满足，记向量在向量上投影向量为，则k=______．(用数字作答)16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的长为5，若，那么△的周长是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在半径为6m的圆形O为圆心铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面不计剪裁和拼接损耗，设矩形的边长|AB|xm，圆柱的体积为Vm3.（1）写出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大最大体积是多少?18．（12分）“既要金山银山，又要绿水青山”.滨江风景区在一个直径为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）.在点与圆弧上的一点（不同于A，B两点）之间设计为直线段小路，在直线段小路的两侧（注意是两侧）种植绿化带；再从点到点设计为沿弧的弧形小路，在弧形小路的内侧（注意是一侧）种植绿化带（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）.（1）设(弧度)，将绿化带总长度表示为的函数；（2）试确定的值，使得绿化带总长度最大.(弧度公式：，其中为弧所对的圆心角)19．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，是的中点，，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20．（12分）已知双曲线与椭圆有公共焦点，且它的一条渐近线方程为.（1）求椭圆的焦点坐标；（2）求双曲线的标准方程21．（12分）已知函数.（1）求曲线在点处的切线的方程.（2）若直线为曲线切线，且经过坐标原点，求直线的方程及切点坐标.22．（10分）如图所示，在正方体中，点，，分别是，，的中点（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的大小

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】利用导数运算法则求出，根据导数的定义即可得到结论【详解】由题设，，所以，函数在x＝π处瞬时变化率为，故选：A2、A【解析】由已知，分别表示出选项对应的向量，然后利用平面向量共线定理进行判断即可完成求解.【详解】因，，，选项A，，，若A，B，D三点共线，则，即，解得，故该选项正确；选项B，，，若A，B，C三点共线，则，即，解得不存，故该选项错误；选项C，，，若B，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；选项D，，，若A，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；故选：A.3、B【解析】由前项和公式直接作差可得.【详解】数列的前n项和(n∈N*)，所以.故选：B.4、C【解析】利用导函数的图象，判断导函数的符号，得到函数的单调性以及函数的极值点，然后判断选项即可【详解】解：由题意可知：和时，，函数是增函数，时，，函数是减函数；是函数的极大值点，是函数的极小值点；所以函数的图象只能是故选：C5、A【解析】由双曲线的定义及三角形的几何性质可求解.【详解】如图，圆的圆心为，半径为1，，，当，，三点共线时，最小，最小值为，而，所以故选：A6、C【解析】第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到.【详解】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，，设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，因为下层比中层多729块，所以，即即，解得，所以.故选：C【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.7、D【解析】先求导数，得切线的斜率，再根据点斜式得切线方程.【详解】，选D.点睛】本题考查导数几何意义以及直线点斜式方程，考查基本求解能力，属基础题.8、D【解析】根据题意，解不等式求出集合，由，得，进而求出，从而可求出集合，最后根据并集的运算即可得出答案.【详解】解：由题可知，，而，即，解得：，又由于，得，因为，则，所以，解得：，所以，所以.故选：D.【点睛】本题考查集合的交集的定义和并集运算，属于基础题.9、B【解析】根据题意可得直线a与平面相交或在平面内，结合线面的位置关系依次判断选项即可.【详解】若直线a不平行与平面，则直线a与平面相交或在平面内.A：内的所有直线均与直线a异面错误，也可能相交，故A错误；B：直线a与平面相交或直线a在平面内都有公共点，故B正确；C：平面内不存在与a平行的直线，错误，当直线a在平面内就存在与a平行的直线，故C错误；D：平面内的直线均与a相交，错误，也可能异面，故D错误.故选：B10、B【解析】利用正弦定理求解.【详解】在中，由正弦定理得，解得，故选：B.11、C【解析】分别求出两圆的圆心、半径，再求出两圆的圆心距即可判断作答.【详解】圆的圆心，半径，圆，即的圆心，半径，则，即有，所以圆与圆外切.故选：C12、B【解析】由两直线垂直可得出关于实数的等式，求解即可.【详解】由已知可得，解得.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】把该几何体补成一个正方体，如图，利用正方体的性质证明面面垂直得出直线MB与平面BEF所成的角，然后计算可得【详解】把该几何体补成一个正方体，如图，，连接，由平面，平面，得，同理，又正方形中，，，平面，所以平面，而平面，所以平面平面，所以平面内的直线在平面上的射影是，即是直线MB与平面BEF所成的角，，，，故答案为：14、【解析】利用导数可求得函数的最小值，要使函数有零点，只要，求得函数的最小值，即可得解.【详解】解：，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以，因为函数有零点，所以，解得.故答案为：.15、##1.5【解析】由两边平方可得，，，设，向量是以向量为邻边的平行四边形、有共同起点的对角线，，由余弦定理可得，向量在向量上投影向量为，化简可得答案.【详解】因为，所以，，两边平方整理得，，两边平方整理得，即，可得，，设，所以向量是以向量为邻边的平行四边形、有共同起点的对角线，如图，即，因为，，平行四边形即为的菱形，所以，由余弦定理可得，可得，，向量在向量上投影向量为，即.故答案为：.16、16【解析】利用椭圆的定义可知，又△的周长，即可求焦点三角形的周长.【详解】由椭圆定义知：，所以△的周长为.故答案为：16.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）时，最大值为m3.【解析】(1)连接，在中，由，利用勾股定理可得，设圆柱底面半径为，求出．利用(其中即可得出；(2)利用导数，求出V的单调性，即可得出结论【小问1详解】连接，在中，，，设圆柱底面半径为，则，即，，其中【小问2详解】由及，得，列表如下：，0↗极大值↘∴当时，有极大值，也是最大值为m318、（1）；（2）.【解析】（1）在直角三角形中，求出，在扇形中利用弧长公式求出弧的长度，则可得函数；（2）利用导数可求得结果.【详解】（1）如图，连接在直角三角形中，所以由于则弧的长为（2）由（1）可知，令得，因为所以，当单调递增，当单调递减，所以当时，使得绿化带总长度最大.【点睛】关键点点睛：仔细审题，注意题目中的关键词“两侧”和“一侧”是解题关键.19、（1）证明见解析（2）【解析】（1）建立空间直角坐标系，分别求出向量和，证明即可；（2）先求出和平面的法向量，然后利用公式求出，则直线与平面所成角的正弦值即为.【小问1详解】证明：∵，，∴△≌△,∴,设，在△中，由余弦定理得，即，则,即，，连接交于点，分别以，为轴、轴，过作轴，建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，的中点，则，，∵，∴.【小问2详解】由（1）可知，，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，即，则，记直线与平面所成角为，.20、（1）；（2）.【解析】（1）由椭圆方程及其参数关系求出参数c，即可得焦点坐标.（2）由渐近线及焦点坐标，可设双曲线方程为，再由双曲线参数关系求出参数，即可得双曲线标准方程.【小问1详解】由题设，，又，所以椭圆的焦点坐标为.【小问2详解】由题设，令双曲线为，由（1）知：，可得，所以双曲线的标准方程为.21、(1)；(2)直线的方程为，切点坐标为.【解析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式得结果，（2）设切点，根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，再根据切线过坐标原点解得结果.【详解】（1）.所以在点处的切线的斜率，∴切线的方程为；（2）设切点为，则直线的斜率为，所以直线的方程为：，所以又直线过点，∴，整理，得，∴，∴，的斜率，∴直线的方程为，切点坐标为.【点睛】本题考查导数几何意义以及利用导数求切线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.2