高三北师大版数学（理）一轮课时检测 5.4 平面向量的应用 含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精5。4平面向量的应用一、选择题1。如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是（）．A.B.2C。答案A2．△ABC的三个内角成等差数列，且(eq\o（AB,\s\up16（→）)＋eq\o（AC，\s\up16（→)））·eq\o（BC,\s\up16(→))＝0，则△ABC一定是（）．A．等腰直角三角形 B．非等腰直角三角形C．等边三角形 D．钝角三角形解析△ABC中BC边的中线又是BC边的高，故△ABC为等腰三角形，又A,B，C成等差数列，故B＝eq\f（π,3）。答案C3。半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点,若P为半径OC的中点，则（eq\o(PA，\s\up6（→）)＋eq\o(PB，\s\up6（→))）·eq\o(PC，\s\up6（→））的值是(）A．－2B．－1C．2D．无法确定,与C点位置有关解析（eq\o（PA，\s\up6(→)）＋eq\o（PB,\s\up6（→)))·eq\o（PC,\s\up6（→））＝2eq\o(PO,\s\up6（→））·eq\o（PC，\s\up6(→）)＝－2。答案A4．已知点A（－2，0)、B（3,0）,动点P(x，y）满足eq\o（PA,\s\up16（→))·eq\o（PB,\s\up16（→))＝x2，则点P的轨迹是（)．A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线解析eq\o（PA，\s\up16(→））＝(－2－x，－y），eq\o（PB,\s\up16(→))＝（3－x，－y）,∴eq\o（PA,\s\up16（→)）·eq\o（PB,\s\up16（→））＝（－2－x，－y）·(3－x，－y）＝（－2－x）（3－x）＋y2＝x2。即y2＝x＋6.答案D5．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点，且eq\o(AM,\s\up16（→）)＝xeq\o(AB,\s\up16（→)），eq\o(AN,\s\up16(→)）＝yeq\o（AC，\s\up16(→）)，则eq\f(x·y,x＋y）的值为(）．A．3 B.eq\f(1，3) C．2 D.eq\f(1，2）解析(特例法）利用等边三角形，过重心作平行于底边BC的直线，易得eq\f（x·y,x＋y)＝eq\f(1，3)。答案B【点评】本题采用特殊点法，因为过点G的直线有无数条,其中包含平行于底边BC的直线，所以\f(xy,x＋y)的值不随M、N的位置变化而变化。6．已知点O，N，P在△ABC所在的平面内，且｜eq\o(OA，\s\up16（→))|＝|eq\o（OB，\s\up16(→)）｜＝|eq\o（OC，\s\up16（→))|,eq\o（NA，\s\up16(→））＋eq\o(NB，\s\up16（→）)＋eq\o(NC，\s\up16(→)）＝0，eq\o(PA，\s\up16(→)）·eq\o(PB,\s\up16（→)）＝eq\o（PB，\s\up16(→）)·eq\o（PC,\s\up16（→）)＝eq\o(PC，\s\up16(→)）·eq\o（PA，\s\up16(→））,则点O，N，P依次是△ABC的()．A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心解析因为｜eq\o（OA，\s\up16(→)）｜＝|eq\o（OB，\s\up16（→）)｜＝｜eq\o(OC,\s\up16(→）)｜，所以点O到三角形的三个顶点的距离相等，所以O为三角形ABC的外心；由eq\o(NA,\s\up16(→)）＋eq\o（NB,\s\up16（→））＋eq\o（NC，\s\up16(→）)＝0，得eq\o（NA,\s\up16(→))＋eq\o（NB,\s\up16(→))＝－eq\o（NC,\s\up16(→））＝eq\o(CN,\s\up16(→）)，由中线的性质可知点N在三角形AB边的中线上，同理可得点N在其他边的中线上，所以点N为三角形ABC的重心；由eq\o(PA，\s\up16（→））·eq\o(PB，\s\up16(→)）＝eq\o（PB,\s\up16(→）)·eq\o（PC，\s\up16（→）)＝eq\o（PC,\s\up16（→））·eq\o(PA，\s\up16(→)）得，eq\o(PA,\s\up16(→））·eq\o(PB,\s\up16（→）)－eq\o(PB，\s\up16(→)）·eq\o（PC,\s\up16(→）)＝eq\o（PB,\s\up16（→）)·eq\o(CA,\s\up16(→）)＝0，则点P在AC边的垂线上,同理可得点P在其他边的垂线上，所以点P为三角形ABC的垂心．答案C7.已知平面上三点A、B、C满足｜｜＝6，｜|＝8，|｜＝10,则·＋·＋·的值等于（）A．100 B．96C．－100 D．－96解析：∵||＝6，｜｜＝8，｜｜＝10，62＋82＝102。∴△ABC为Rt△.即·＝0.·＋·＋·＝(＋）＝·＝－｜|2＝－100。答案：C二、填空题8.如图,在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P,且=.答案189。△ABO三顶点坐标为A(1,0)，B(0，2)，O（0，0），P(x，y）是坐标平面内一点，满足eq\o（AP，\s\up6（→））·eq\o(OA,\s\up6(→））≤0,eq\o(BP,\s\up6（→））·eq\o(OB，\s\up6（→)）≥0,则eq\o(OP，\s\up6(→））·eq\o（AB，\s\up6(→））的最小值为________．解析∵eq\o（AP,\s\up6（→）)·eq\o(OA，\s\up6(→))＝（x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0,∴x≤1,∴－x≥－1，∵eq\o（BP，\s\up6（→））·eq\o(OB，\s\up6(→))＝(x，y－2）·（0,2）＝2(y－2）≥0，∴y≥2。∴eq\o（OP,\s\up6(→）)·eq\o(AB，\s\up6(→)）＝（x,y）·（－1，2）＝2y－x≥3.答案310．已知平面向量a，b满足｜a|＝1,|b|＝2，a与b的夹角为eq\f（π,3）。以a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________．解析∵|a＋b｜2－｜a－b|2＝4a·b＝4｜a｜|b|coseq\f(π，3）＝4＞0，∴|a＋b｜＞｜a－b｜，又|a－b｜2＝a2＋b2－2a·b＝3,∴|a－b|＝eq\r（3）。答案eq\r(3)11．在等腰直角三角形ABC中，D是斜边BC的中点，如果AB的长为2,则(＋）·的值为________．解析:|｜2＝|｜2＋|｜2＝8,｜｜＝eq\f(1，2)｜|，＋＝2，（＋）·＝2·＝eq\f(1，2)|｜2＝4.答案：412．若等边△ABC的边长为2eq\r(3)，平面内一点M满足eq\o（CM,\s\up16（→))＝eq\f(1,6）eq\o（CB,\s\up16(→）)＋eq\f(2，3)eq\o(CA，\s\up16(→)），则eq\o(MA，\s\up16(→））·eq\o（MB,\s\up16(→））＝________.解析（构造法)∵等边三角形的边长为2eq\r（3)，∴如图建立直角坐标系，∴eq\o(CB,\s\up16（→)）＝(eq\r（3）,－3)，eq\o(CA,\s\up16（→））＝(－eq\r(3)，－3)，∴eq\o(CM,\s\up16（→））＝eq\f（1,6）eq\o(CB，\s\up16（→）)＋eq\f（2，3)eq\o（CA，\s\up16（→)）＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(\r（3)，2），－\f（5，2)))。∴eq\o(OM，\s\up16(→))＝eq\o（OC,\s\up16(→））＋eq\o(CM，\s\up16(→））＝（0,3）＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(\r（3），2)，－\f(5,2）))＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(\r（3)，2）,\f(1,2）)).∴eq\o(MA,\s\up16（→))·eq\o(MB,\s\up16（→)）＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（\r（3)，2)，－\f(1，2)))·eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（3\r（3），2)，－\f（1,2）)）＝－2.答案－2【点评】本题构造直角坐标系，通过坐标运算容易理解和运算．三、解答题13．已知A(2,0），B(0，2），C(cosθ，sinθ)，O为坐标原点(1)·＝－eq\f(1,3)，求sin2θ的值．(2)若|＋｜＝eq\r(7)，且θ∈（－π,0），求与的夹角．解析：（1）＝(cosθ，sinθ）－(2，0)＝(cosθ－2，sinθ）＝（cosθ，sinθ）－（0,2)＝(cosθ，sinθ－2)．·＝cosθ(cosθ－2）＋sinθ（sinθ－2）＝cos2θ－2cosθ＋sin2θ－2sinθ＝1－2(sinθ＋cosθ）＝－eq\f（1，3).∴sinθ＋cosθ＝eq\f（2，3)，∴1＋2sinθcosθ＝eq\f（4，9)，∴sin2θ＝eq\f（4，9)－1＝－eq\f（5,9）.（2)∵＝（2,0）,＝（cosθ,sinθ)，∴＋＝(2＋cosθ,sinθ)，∴|＋｜＝eq\r（2＋cosθ2＋sin2θ)＝eq\r(7）。即4＋4cosθ＋cos2θ＋sin2θ＝7。∴4cosθ＝2，即cosθ＝eq\f（1，2）.∵－π〈θ<0，∴θ＝－eq\f(π，3）.又∵＝（0,2),＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,2),－\f(\r(3），2））),∴cos〈，>＝eq\f(｜·｜，｜｜·｜|)＝eq\f（0－\r（3)，2）＝－eq\f(\r（3),2).∴〈，〉＝eq\f(5π，6）.14．在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若eq\o（AB，\s\up16（→))·eq\o(AC，\s\up16(→)）＝eq\o(BA,\s\up16（→))·eq\o（BC，\s\up16(→)）＝k(k∈R)．(1)判断△ABC的形状;(2)若c＝eq\r(2),求k的值．解析（1）∵eq\o（AB,\s\up16(→)）·eq\o(AC,\s\up16(→)）＝cbcosA，eq\o（BA，\s\up16（→))·eq\o(BC,\s\up16（→)）＝cacosB，又eq\o(AB，\s\up16(→）)·eq\o（AC，\s\up16（→))＝eq\o（BA，\s\up16(→））·eq\o(BC，\s\up16（→))，∴bccosA＝accosB，∴sinBcosA＝sinAcosB，即sinAcosB－sinBcosA＝0，∴sin（A－B）＝0，∵－π＜A－B＜π，∴A＝B，即△ABC为等腰三角形．（2）由(1）知，eq\o（AB,\s\up16(→)）·eq\o(AC,\s\up16（→））＝bccosA＝bc·eq\f（b2＋c2－a2,2bc）＝eq\f(c2，2)＝k，∵c＝eq\r(2），∴k＝1.15．已知向量a＝(cosx，sinx），b＝（－cosx，cosx），c＝（－1，0）．(1)若x＝eq\f（π，6）,求向量a与c的夹角；(2)当x∈eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f（π，2),\f(9π，8)）)时，求函数f（x）＝2a·b＋1的最大值，并求此时x的值．解析(1）设a与c夹角为θ，当x＝eq\f(π,6)时，a＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（\r(3)，2），\f(1,2)))，cosθ＝eq\f（a·c,｜a｜｜c｜)＝eq\f（\f(\r(3)，2)×－1＋\f(1，2）×0,\r(\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(\r(3）,2）））2＋\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，2）)）2)×\r（－12＋02))＝－eq\f（\r（3），2）。∵θ∈[0，π］，∴θ＝eq\f(5π,6）。（2）f（x）＝2a·b＋1＝2(－cos2x＋sinxcosx）＋1＝2sinxcosx－（2cos2x－1)＝sin2x－cos2x＝eq\r(2）sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)）)，∵x∈eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(π，2），\f(9π，8)))，∴2x－eq\f(π，4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（\f（3π，4），2π）），故sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x－\f（π,4))）∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f（\r（2）,2）))，∴当2x－eq\f(π，4）＝eq\f（3π，4），即x＝eq\f（π，2）时，f(x）max＝1。16．已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\r（3）sin\f(x，4），1))，n＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(cos\f(x，4),cos2\f(x,4))）.(1)若m·n＝1，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（2π，3)－x))的值；(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A,B，C的对边分别是a,b，c，且满足（2a－c）cosB＝bcosC，求函数f（A解析（1)m·n＝eq\r（3）sineq\f（x,4）·coseq\f（x,4）＋cos2eq\f(x，4)＝eq\f(\r（3），2）sineq\f（x,2）＋eq\f(1＋cos\f（x，2）,2)＝sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（x，2）＋\f（π,6）))＋eq\f(1,2)，∵m·n＝1,∴sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（x，2)＋\f（π，6）））＝eq\f（1,2)。coseq\b\lc\（\rc\）(