2024届江苏省常州市“教学研究合作联盟”高二上数学期末检测模拟试题含解析

2024届江苏省常州市“教学研究合作联盟”高二上数学期末检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线过点且与双曲线仅有一个公共点，则这样的直线有（）A.1条 B.2条C.3条 D.4条2．和的等差中项与等比中项分别为（）A.， B.2，C.， D.1，3．若，，且，则（）A. B.C. D.4．函数的最大值为（）A.32 B.27C.16 D.405．《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次渐多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（大夫爵位最高，爵位依次从高变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成等差数列，问这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若公士出28钱，则不更出的钱数为（）A.14 B.20C.18 D.166．已知命题：，命题：，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7．抛物线的焦点到准线的距离是A.2 B.4C. D.8．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点、在轴上，椭圆的面积为，且离心率为，则的标准方程为（）A. B.C. D.9．已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（）A. B.C. D.10．若函数，则单调增区间为（）A. B.C. D.11．下面三种说法中，正确说法的个数为（）①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③若，，，则A.1 B.2C.3 D.012．积分（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在数列中，若，则该数列的通项公式__________14．若点为圆上的一个动点，则点到直线距离的最大值为________15．已知是椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动，当的值最小时，的面积为_______16．数列满足，，则___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，四棱锥中，，且，（1）求证：平面平面；（2）若是等边三角形，底面是边长为3的正方形，是中点，求直线与平面所成角的正弦值.18．（12分）已知函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）设存在两个极值点，且，若，求证：.19．（12分）函数（1）求在上的单调区间；（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围20．（12分）已知等差数列前n项和为，，，若对任意的正整数n成立，求实数的取值范围.21．（12分）已知双曲线中心在原点，离心率为2，一个焦点（1）求双曲线方程；（2）设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若，求直线l的方程22．（10分）已知椭圆C：的长轴长为4，过C的一个焦点且与x轴垂直的直线被C截得的线段长为3（1）求C的方程；（2）若直线：与C交于A，B两点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，且，求m的值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据直线的斜率存在与不存在，分类讨论，结合双曲线的渐近线的性质，即可求解.【详解】当直线的斜率不存在时，直线过双曲线的右顶点，方程为，满足题意；当直线的斜率存在时，若直线与两渐近线平行，也能满足与双曲线有且仅有一个公共点.综上可得，满足条件的直线共有3条.故选：C.【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，以及双曲线的渐近线的性质，其中解答中忽视斜率不存在的情况是解答的一个易错点，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用，属于基础题.2、C【解析】根据等差中项和等比中项的概念分别求值即可.【详解】和的等差中项为，和的等比中项为.故选：C.3、A【解析】由于对数函数的存在，故需要对进行放缩，结合（需证明），可放缩为，利用等号成立可求出，进而得解.【详解】令，，故在上单调递减，在上单调递增，，故，即，当且仅当，等号成立．所以，当且仅当时，等号成立，又，所以，即，所以，又，所以，，故故选：A4、A【解析】利用导数即可求解.【详解】因为，所以当时，；当时，.所以函数在上单调递增；在上单调递增,，因此，的最大值为.故选：A5、D【解析】根据题意，建立等差数列模型，结合等差数列公式求解即可.【详解】解：根据题意，设每人所出钱数成等差数列，公差为，前项和为，则由题可得，解得，所以不更出的钱数为.故选：D.6、B【解析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】因为命题：或，命题：，所以是的必要不充分条件，故选：B7、D【解析】因为抛物线方程可化为，所以抛物线的焦点到准线的距离是，故选D.考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的几何性质.8、A【解析】设椭圆方程为，解方程组即得解.【详解】解：设椭圆方程为，由题意可知，椭圆的面积为，且、、均为正数，即，解得，因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为.故选：A.9、B【解析】设等比数列的公比为，则，由可得，可得出，利用基本不等式可求得结果.【详解】设等比数列的公比为，则，因为，则，所以，，则，当且仅当时，等号成立.故选：B.10、C【解析】求出导函数，令解不等式即可得答案.【详解】解：因为函数，所以，令，得，所以的单调增区间为，故选：C.11、A【解析】对于①，有两种情况，对于②考虑异面直线，对于③根据线面公理可判断.【详解】如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故①不正确；两条异面直线不能确定一个平面，故②不正确；若，，，可知必在交线上，则，故③正确；综上所述只有一个说法是正确的.故选：A12、B【解析】根据定积分的几何意义求值即可.【详解】由题设，定积分表示圆在x轴的上半部分，所以.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由已知可得数列是以为首项，3为公比的等比数列，结合等比数列通项公式即可得解.【详解】解：由在数列中，若，则数列是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列通项公式可得，故答案为：.【点睛】本题考查了等比数列通项公式的求法，重点考查了运算能力，属基础题.14、7【解析】根据给定条件求出圆C的圆心C到直线l的距离即可计算作答.【详解】圆的圆心，半径，点C到直线的距离，所以圆C上点P到直线l距离的最大值为.故答案为：715、【解析】根据椭圆定义得出，进而对进行化简，结合基本不等式得出的最小值，并求出的值，进而求出面积.【详解】由椭圆定义可知，，所以，，当且仅当，即时取“=”.又，所以.所以，由勾股定理可知：，所以.故答案为：.16、【解析】根据题中所给的递推式得到数列具有周期性，进而得到结果.【详解】根据题中递推式知，可知数列具有周期性，周期为3，因为故故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式，结合线面角定义进行求解即可.【小问1详解】∵，∴，，又，∴，∵，面，∴面，平面ABCD,平面平面【小问2详解】∵平面平面，交AD于点F，平面，平面平面，∴平面，以为原点，，的方向分别为轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的法向量为，则，求得法向量为，由，所以直线与平面所成角的正弦值为.18、（1）在和上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析【解析】（1）首先求出函数的导函数，再令、，分别求出函数的单调区间；（2）先求出，构造函数，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最小值，从而证明结论【小问1详解】解：当时，，所以，令，解得或，令，解得，所以函数在和上单调递增，在上单调递减；【小问2详解】解：，，，因为存在两个极值点，，所以存在两个互异的正实数根，，所以，，则，所以，所以，令，则，，，在上单调递减，，而，即，19、（1）单调递增区间为；单调递减区间为和（2）【解析】（1）求出，然后可得答案；（2）由条件可得，设，则，然后利用导数可得在上单调递增，，然后分、两种情况讨论求解即可.【小问1详解】由题可得令，得；令，得，所以f(x)的单调递增区间为；单调递减区间为和【小问2详解】由，得，即设，则设，则当时，，，所以所以即在上单调递增，则若，则，所以h(x)在上单调递增所以h(x)≥h(0)＝0恒成立，符合题意若a＞2，则，必存在正实数，满足：当时，，h(x)单调递减，此时h(x)＜h(0)＝0，不符合题意综上所述，a的取值范围是20、【解析】设等差数列的公差为，根据题意得，解方程得，，进而得，故恒成立，再结合二次函数的性质得当或4时，取得最小值，进而得答案.【详解】解：设等差数列的公差为，由已知，.联立方程组，解得，.所以，，由题意，即.令，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为，所以当或4时，取得最小值，所以实数的取值范围是.21、（1）（2）或【解析】（1）依题意设所求的双曲线方程为，则，再根据离心率求出，即可求出，从而得到双曲线方程；（2）依题意可得直线的斜率存在，设，即可得到的坐标，依题意可得或，分两种情况分别求出的坐标，再根据的双曲线上，代入曲线方程，即可求出，即可得解；【小问1详解】解：设所求的双曲线方程为（，），则，，∴，又则，∴所求的双曲线方程为【小问2详解】解：∵直线l与y轴相交于M且过焦点，∴l的斜率一定存在，则设．令得，∵且M、Q、F共线于l，∴或当时，，，∴，∵Q在双曲线上，∴，∴，当时，，代入双曲线可得：，∴综上所求直线l的方程为：或22、（1）；（2）