北京市海淀区首都师范大学附属育新学校2023年数学高二上期末达标检测试题含解析

北京市海淀区首都师范大学附属育新学校2023年数学高二上期末达标检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在正方体中，下列几种说法不正确的是A. B.B1C与BD所成的角为60°C.二面角的平面角为 D.与平面ABCD所成的角为2．方程所表示的曲线为（）A.射线 B.直线C.射线或直线 D.无法确定3．双曲线的渐近线方程和离心率分别是A. B.C. D.4．现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重（）斤A.6 B.7C.9 D.155．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数的值是A. B.C. D.6．观察数列，（），，（）的特点，则括号中应填入的适当的数为（）A. B.C. D.7．现有4本不同的书全部分给甲、乙、丙3人，每人至少一本，则不同的分法有（）A.12种 B.24种C.36种 D.48种8．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，若，则椭圆的离心率的取值范围是（）A. B.C. D.9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为双曲线在第一象限上的点，直线，分别交双曲线的左，右支于另一点，，若，且，则双曲线的离心率为（）A. B.3C.2 D.10．“”是“直线和直线垂直”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件11．在正方体中中，，若点P在侧面（不含边界）内运动，，且点P到底面的距离为3，则异面直线与所成角的余弦值是（）A. B.C. D.12．若双曲线一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．椭圆的离心率是______14．将车行的30辆大巴车编号为01，02，…，30，采用系统抽样方法抽取一个容量为3的样本，且在某组随机抽得的一个号码为08，则剩下的两个号码依次是__________（按号码从小到大排列）15．直线与圆相交于A，B两点，则______16．若数列满足，则称为“追梦数列”.已知数列为“追梦数列”，且，则数列的通项公式__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，是边长为的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，点为线段的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18．（12分）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线l与圆A相交于M，N两点（1）求圆A的方程（2）当时，求直线l方程19．（12分）已知函数，（1）求的单调区间；（2）当时，求证：在上恒成立20．（12分）求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）已知椭圆的焦点在x轴上且一个顶点为，离心率为；（2）求一个焦点为，渐近线方程为的双曲线的标准方程；（3）抛物线，过其焦点斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，且线段AB的中点的纵坐标为2.21．（12分）已知集合，．若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围22．（10分）设等差数列的各项均为整数，且满足对任意正整数，总存在正整数，使得，则称这样的数列具有性质（1）若数列的通项公式为，数列是否具有性质？并说明理由；（2）若，求出具有性质的数列公差的所有可能值；（3）对于给定的，具有性质的数列是有限个，还是可以无穷多个？(直接写出结论)

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】在正方体中，利用线面关系逐一判断即可.【详解】解：对于A，连接AC，则AC⊥BD，A1C1∥AC，∴A1C1⊥BD，故A正确；对于B，∵B1C∥D，即B1C与BD所成的角为∠DB，连接△DB为等边三角形，∴B1C与BD所成的角为60°，故B正确；对于C，∵BC⊥平面A1ABB1，A1B⊂平面A1ABB1，∴BC⊥A1B，∵AB⊥BC，平面A1BC∩平面BCD＝BC，A1B⊂平面A1BC，AB⊂平面BCD，∴∠ABA1是二面角A1﹣BC﹣D的平面角，∵△A1AB是等腰直角三角形，∴∠ABA1＝45°，故C正确；对于D，∵C1C⊥平面ABCD，AC1∩平面ABCD＝A，∴∠C1AC是AC1与平面ABCD所成的角，∵AC≠C1C，∴∠C1AC≠45°，故D错误故选D【点睛】本题考查了线面的空间位置关系及空间角，做出图形分析是关键,考查推理能力与空间想象能力2、C【解析】将方程化为或，由此可得所求曲线.【详解】由得：或，即或，方程所表示的曲线为射线或直线.故选：C.3、A【解析】先根据双曲线的标准方程，求得其特征参数的值，再利用双曲线渐近线方程公式和离心率定义分别计算即可.【详解】双曲线的，双曲线的渐近线方程为，离心率为，故选A.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线及离心率，属于简单题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解4、D【解析】设该等差数列为，其公差为，根据题意和等差数列的性质可得，进而求出结果.【详解】设该等差数列为，其公差为，由题意知，，由，解得，所以.故选：D5、C【解析】由方程表示双曲线知，又双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，所以，即，所以故选C.考点：双曲线的标准方程与简单几何性质.6、D【解析】利用观察法可得，即得.【详解】由题可得数列的通项公式为，∴.故选：D7、C【解析】先把4本书按2，1，1分为3组，再全排列求解.【详解】先把4本书按2，1，1分为3组，再全排列，则有种分法，故选：C8、B【解析】根据题意得到，根据，化简得到，进而得到离心率的不等式，即可求解.【详解】由题意，椭圆的左顶点为，上顶点为，所以，，因为，可得，即，又由，可得，可得，解得，又因为椭圆的离心率，所以，即椭圆的离心率为.故选：B.【点睛】求解椭圆或双曲线离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.9、D【解析】由双曲线的定义可设，，由平面几何知识可得四边形为平行四边形，三角形，用余弦定理，可得，的方程，再由离心率公式可得所求值【详解】由双曲线的定义可得，由，可得，，结合双曲线性质可以得到，而，结合四边形对角线平分，可得四边形为平行四边形，结合，故，对三角形，用余弦定理，得到，结合，可得，，，代入上式子中，得到，即，结合离心率满足，即可得出，故选：D【点睛】本题考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.10、A【解析】根据直线垂直求出值即可得答案.【详解】解：若直线和直线垂直，则，解得或，则“”是“直线和直线垂直”的充分非必要条件.故选：A.11、A【解析】如图建立空间直角坐标系，先由，且点P到底面的距离为3，确定点P的位置，然后利用空间向量求解即可【详解】如图，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，所以，所以，因为,所以平面，因为平面平面，点P在侧面（不含边界）内运动，，所以，因为点P到底面的距离为3，所以，所以，因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，故选：A12、A【解析】根据（为弦长，为圆半径，为圆心到直线的距离），求解出的关系式，结合求解出离心率的值.【详解】取的一条渐近线，因为（为弦长，为圆半径，为圆心到直线的距离），其中，所以，所以，所以，所以，所以，故选：A.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用几何法表示出圆的半径、圆心到直线的距离、半弦长之间的关系.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】求出、、的值，即可得出椭圆的离心率.【详解】在椭圆中，，，，因此，椭圆的离心率是.故答案为：.14、18，28【解析】根据等距抽样的性质确定剩下的两个号码即可.【详解】由于从30辆大巴车中抽取3辆车，故分组间距为10，又第一组的号码为08，所以其它两个号码依次是18，28故答案为：18，28.15、6【解析】利用弦心距、半径与弦长的几何关系，结合点线距离公式即可求弦长.【详解】由题设，圆心为，则圆心到直线距离为，又圆的半径为，故.故答案为：16、##【解析】根据题意，由“追梦数列”的定义可得“追梦数列”是公比为的等比数列，进而可得若数列为“追梦数列”，则为公比为3的等比数列，进而由等比数列的通项公式可得答案【详解】根据题意，“追梦数列”满足，即，则数列是公比为的等比数列.若数列为“追梦数列”，则.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）取的中点，连接，，证明两两垂直，如图建系，求出的坐标以及平面的一个法向量，证明结合面，即可求证；（2）求出的坐标以及平面的法向量，根据空间向量夹角公式计算即可求解.【小问1详解】如图：取的中点，连接，，因为是边长为等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，可得，，因为面面，面面，，面，所以平面，因为面，所以，可得两两垂直，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，设平面的一个法向量，由，可得，令，则，所以，因为，所以，因为面，所以平面.【小问2详解】，，，设平面的一个法向量，由，令，，，所以，设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.18、（1）；（2）或.【解析】（1）利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；（2）根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程【详解】（1）由题意知到直线的距离为圆A半径r，所以，所以圆A的方程为（2）设的中点为Q，则由垂径定理可知，且，在中由勾股定理易知，设动直线l方程为：或，显然符合题意由到直线l距离为1知得所以或为所求直线方程【点睛】本题考查圆的标准方程及直线与圆的相交弦长问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题19、（1）单调减区间为，单调增区间为；（2）证明见解析.【解析】（1）求得，根据其正负，即可判断函数单调性从而求得函数单调区间；（2）根据题意，转化目标不等式为，分别构造函数，，利用导数研究其单调性，即可证明.【小问1详解】因为，故可得，又为单调增函数，令，解得，故当时，；当时，，故的单调减区间为，单调增区间为.【小问2详解】当时，，要证，即证，又，则只需证，即证，令，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得最大值；令，，又为单调增函数，且时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故当时，取得最小值.则，且当时，同时取得最小值和最大值，故，即，也即时恒成立.【点睛】本题考察利用导数求函数的单调区间，以及利用导数研究恒成立问题；处理本题的关键是合理转化目标式，属中档题.20、（1）（2）（3）【解析】（1）设椭圆的标准方程为，根据题意，进而结合求解即可得答案；（2）设双曲线的方程为，进而结合题意得，，再结合解方程即可得答案；、（3）根据题意设直线的方程为，进而与抛物线联立方程并消去得，再结合韦达定理得，进而得答案.【小问1详解】解：根据题意，设椭圆的标准方程为，因为顶点为，离心率为，所以，所以，所以椭圆的方程为【小问2详解】解：因为双曲线的一个焦点为，设双曲线的方程为，因为渐近线方程为，所以，因为所以，所以双曲线的标准方程为【小问3详解】解：由题知抛物线的焦点为，因为过抛物线焦点斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，所以直线的方程为，所以联立方程，消去得，设，所以，因为线段AB的中点的纵坐标为2，所以，解得.所以抛物线的标准方程为.21、【解析】由题设A是的真子集，结合已知集合的描述列不等式求a的范围.【详解】由“”是“”的充分不必要条件，即A是的真子集，又，，所以，可得，则实数a的取值范围为22、（1）数列具有性质，理由见解析；（2），；（3）有限个.【解析】（1）由题意，由性质定义，即可知是否具有性质.（2）由题设，存在，结合已知得且，则，由性质的定义只需保证为整数即可确定公差的所有可能值；（3）根据（2