例谈递推思想在概率统计中的应用 论文

例谈递推模型在概率统计中的应用本文以它们为基础，结合实例，通过数学建模，研究递推数列在概率统计的应用.关键词：数学建模；线性递推数列；概率统计2016年9月13日，教育部公布《中国学生发展核心素养》,正式确定学生发展核心素适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力.一般认为,数学素养是指当前或自然、社会生活中的地位的能力，做出数学判断的能力，以及参与数学活动的能力.而数学大核心素养的培养也是提升学生数学思维品质的重要路径.特别是数学建模，它是通过对实一种综合素养.在近几年的高考、自主招生考试、数学联赛以及各地的模考中，以概率统计问题为载体，考查数学抽象、数学建模思想的考试评价较多.解决这类问题的一种行之有效数量关系和变化规律，再运用逻辑推理，数学运算解决问题.下面从教材上的数列模型谈起.一、一阶线性递推数列模型引例“汉诺塔”问题（又称河内塔问题）是根据一个传说形成的一个问题：B,CA杆上有n个(nÎ

N*)穿孔圆盘，盘的尺寸由下到上依次变小.要求按照下列规则，将所有圆盘移至C杆： B A C①每次只能移动一个圆盘；②大盘不能叠在小盘上面.把n个穿孔圆盘从A杆移至C杆，最少需要移动多少次？思路分析 n时,需要先把A杆最上面圆盘移至BA杆下面大圆盘移至C杆，最后再把B杆圆盘移至C杆.对简单情形的分析可以为问题的解决提供思路.设将A杆上n个穿孔圆盘全部移至CanA杆上n个穿孔圆盘全部移至B杆，至少也需要移动an次.当A杆上有n个穿孔圆盘时，考虑第一步，先将A杆上面的n-1个圆盘移至B杆（至少an-1种方法），第二步，再将A杆下面大圆盘移至C杆，第三步，把B杆的n-1个圆盘移至C杆（至少an-1种方法），这样，就建立了数列递推关系，借助数列模型，可以顺利解决问题.解设A杆上有n个穿孔圆盘时,将圆盘全部移至CanA杆上n个穿孔圆盘全部移至B杆，至少也需要移动an次.当n时,把圆盘从A杆移至C1=1.当A杆上有nA杆上的上面n-1个圆盘全部移至B杆,至少需要移动an-1次，再将A杆上最后一个圆盘移C杆,至少需要1B杆上n-1个圆盘全部移至Can-1次.从而得到an=2an-1，an

an-1

ìan即有an=2(an-1，所以2n

=2n-1

，所以í

2ný为常数列，进而î þan，所以a=2n-1，即把n个穿孔圆盘从A杆移至C杆，最少需要移动2n n2n-1次.点评是an与an-1an与.一阶线性递推数列在概率统计问题的应用较为广泛，下面以具体实例，介绍一阶线性递推数列模型的应用.例1（2012年全国数学联赛试题）某情报站有B,C,D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种.设第1周使用A密码，那么第7周也使用密码A的概率为 .思路分析考虑从简单情形入手.显然，第1周使用A密码的概率为2周使用A密码的概率为3周使用A密码的概率为12周使用密码的情况相关.考虑第n周使用A3密码的概率为n-1周使用A密码的概率为1A密码的概率为1-由此可以建立数列n的递推关系.

pn-1，解设第n周使用A密码的概率为，则，，考虑第n-1周的密码使用情形，情形1：第n-1周使用A密码，其概率为1，则第n周还使用A密码的概率为0；1情形2：第n-1周不使用A密码，其概率为1-1，则第n周使用A密码的概率为3，1 1 1

1 1 1=所以1´01)´3 3-31，即有-=

=1-4 3

)(n³2)，4ì 1ü 3 1又，所以数列í-

4ý为以4为首项，以3为公比的等比数列，从而î þP-1=3

(1)n-1P=3

(1)n-1

1 3n时，P=

(1)6

1=617n ×4 4 3

n × +4 3 4

7 × +4 3 4 243周也使用密码A的概率为61.243点评复杂问题的解决一般从简单的情形入手，有一般到特殊，不仅符合认知规律，也能为,,与1进而借助数列模型解决问题.本例的关键是构建概率背景下的一阶线性递推数列模型，借助数列运算，求出概率.练习1（2022湖北八市联考）2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3比26:5惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇.（1）扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右1即使方向判断正确，也有的可能性扑不到球.不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门2将在前三次扑出点球的个数X的分布列和期望；（2）好成绩的取得离不开平时的努力训练.甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训3人中的1机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住.记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知p2.í①试证明ìí

pn-

1üý为等比数列；4î þ②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较与的大小.例2（2012年华约自主招生试题）系统中每个元件正常工作的概率都是p<p系统正常工作的概率称为系统的可靠性.(1)某系统配置有2k-1个元件，k为正整数，求该系统正常工作概率的表达式；(2)可靠性.2k--i思路分析问题(1)涉及的为伯努利概型:2k-2k--iiC2k-1i

pi(1-

p)

2k-1i=åi

C2k-1

pi(1-

p)2k-i在2k-1个元件组成的系统中增加两个元件得到2k

2ki2ki2k-i

C2k

pi(1-

p) .判断系统的可靠性是否提高，本质是比较与的大小，但此时直接比较两项大小比较困难.我们可以将新系统的可靠性在原有系统的基础上进行分析，寻找与的递推关系，新系统可分为下列三种情形:情形1:新加的两个元件恰好都不正常工作，要确保新系统正常工作，则需要原系统中至少有k个元件正常工作，此时的概率为

k-C2k--C

pk(1-

p)k-1；情形k个元件正常工作，此时的概率为；情形3:k-1个元件正常工作，其概率为k-1pk-1(1-

p)k，由此可得2k-1k k 2k-1

k-1

k-1 k 2-C2k-1p

p) ](1-p)´C2p(1-

p)-1p

p)]p整理可得：

-

=pk(1-

p)k-1Ck-1(2p-，所以2k-1当0<2k-121

时，-，系统的可靠性降低；当p=21

时，，系统的可靠性不变；当2<p时，-，系统的可靠性提高.点评问题(1)的解决很容易给问题(2)带来思路，即在计算新系统的可靠性时，往往会写成k

2kå

2k

k kkP = Ci

pi(1-

p)2ki，但在此条件下，比较P与P

的大小较为繁琐，建立P与之间的递推关系，借助递推关系去比较它们的大小，计算量会小很多.练习22020年12月16日至18日，中央经济工作会议在北京召开，会议确定，2021年要略.要加强种质资源保护和利用，加强种子库建设.要尊重科学、严格监管，有序推进生物育种产业化应用.某“种子银行”对某种珍稀名贵植物种子采取“活态保存”方法进行保存，即对种子实行定期更换和种植.通过以往的相关数据表明，该植物种子的出芽率为p<p<1)，每颗种子是否发芽相互独立.现任取该植物种子2n-1颗进行种植，若种子的出芽数X超过半数，则可认为种植成功³2).(1)当n，p=1时，求种植成功的概率及X的数学期望；2(2)现拟加种两颗该植物种子，试分析能否提高种植成功率？二、二阶线性递推数列模型上述的例子涉及的是一阶线性递推数列.我们知道，斐波那契数列的递推公式：ì1ana

，n2n³

，递推公式揭示了数列中三项之间的等量关系，属典型的二阶线性în-1

n-2, 3递推数列.构造二阶递推数列，建立数列模型，也可以辅助解决一些概率统计问题.例3（2018年全国数学联赛湖南B卷12题）棋盘上标有第0，1，2，…，100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏．若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷99100游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为．(1)求的值；1(2)证明：-2-1£n£98)；(3)求，的值.1 3思路分析易知=2，=4，再看情形，棋子欲跳到第三站，有两种情形：情形1：先在第二站，且掷硬币掷出正面；情形2：先在第一站，且掷硬币掷出反面.1 1对基本情形的分析有助于学生形成的计算思路，易得=2

+，结合2P=1,P=3，所以1 2 2 4 3

5=；依此，棋子要跳到第n+1站，有如下两种情况：8情形1：棋子先跳到第n-1站，且棋手掷硬币掷出反面；情形2：棋子先跳到第n站，且棋手掷硬币掷出正面.1 1 1由此可得：=2

+1£n£98)，即--1)，因此，当2 21£n£99

时，数列n-n-1是以1-0-

1为首项，以-2

1为公比的等比数列，故2P-P =(-1)nn n-1 21，99故=2，再借助，便可以求得.点评本题可以直接问，的值，但为了降低难度，设置了的计算以及递推关系的证明，旨在让学生从基本情形出发感知递推公式的建立过程.对的求解过程，可以辅助学生探究，，1三者之间的关系，进而建立二阶线性递推关系，这是解决本题的关键.例4（2019年全国Ⅰ卷理科）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比验．对试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只数多的药更有效.以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为a和b，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药试验开始时都赋予4分，(i2...8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0，=api-1(i2,...,7)，其中a=P(Xb=P(Xc=P(X.假设ab(ⅰ)证明:i1-2...7)为等比数列；(ⅱ)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.思路分析本题解答过程，这里不再赘述，笔者这里更关注题目中的递推关系，很多学生即便做完此题仍不得其意.首先是对理解：这里的是指在甲药累计得分为i分的前提下，i(i2,...,7)需要继续试验.先看简单情形p0，在甲得分为0分时，乙得分为8分，乙比甲多治愈4只，故此时p0，同理，甲药累计得为i(i2,...,7)分时，需要继续试验，下一轮实验则会出现以下三种情形：情形1：甲得到1分，此时甲累计得分i，那么最终认为甲药比乙药有效的概率为；情形2：甲得到0分，此时甲累计得分仍为i，那么最终认为甲药比乙药有效的概率为；情形3：甲得到-1分，此时甲累计得分i-1，那么最终认为甲药比乙药有效的概率为pi-1.从而借助全概率公式得到：=p(xpi-1+p(x+p(x(i2,...,7).点评本例需要学生具备数学抽象、数学建模、数学运算等核心素养，试题有效地降低了机械刷题的收益，对目前普遍存在的题海战术起到警示作用，是难得的好题.但因高考考试的特殊性，本题递推公式直接给出，只需要学生处理二阶线性递推数列.作为老师，需知晓题中递推关系的由来.三、高阶线性递推数列模型构建高阶线性递推数列，往往也可以辅助解决概率统计问题.例5（2011年华约自主招生15题）将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以pn表示未出现连续3次正面的概率.（1）求,p2,,p4;（2）探究数列n的递推公式，并给出证明；（3）讨论数列n的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义.思路分析n2时，此时抛硬币不足三次，未出现连续3次正面为必1 1 7然事件，故=p2n时，连续三次正面朝上的概率为88=8；接下来思考抛掷4次时，若出现连续3=3 13=p416 16nn次有两种结果，为计算pn，需要考虑第n-n-2,n-3次的情形，具体情况如下：1情形1：若第n次反面朝上，此时未连续三次出现正面朝上的概率为 p ；2n-1情形nn-1次反面朝上，此时未连续三次出现正面朝上的概率为1p ；4n-2情形nn-1次也正面朝上，此时未连续三次出现正面朝上的概率1 1 1 1为 p ；由此可得p= p8n-3 n 2n-1

pn-24

pn-3(n³4)，8+ +1 1 1同理可得pn-1=2pn-2

pn-34

pn-4(n³5)，故有8+ +p=1p 1p

1p =1p

1(1p

1p )=1p

1(p

-1p )+ + + + +n 2n-1

4n-21

8n-3

2n-1

22n-2 41

n-3

2n-1 2

n-1

8n-4即pn=pn-1-16pn-4(n³5)，所以pn-

pn-116pn-4(n³5)由此可得，当n³5时，

pn-

n-10，即数列n从第5项起单调