第二章波函数与薛定谔方程

第二章波函数与薛定谔方程第第页即平面单色波的波函数在动量表象中的表示形式为.2.5粒子在点的量子态为函数，试在动量表象中写出此量子态的形式.解：由坐标表象与动量表象间傅里叶变换式得函数在动量表象中量子态的形式为即量子态为函数的波函数在动量表象中表示形式为.2.6证明从单粒子薛定谔方程得出的粒子速度场是非旋的，即求证，其中，为概率密度，为概率流密度.证明：概率密度为概率流密度为根据薛定谔方程式可导出几率守恒方程，并定义几率流密度可见正比于一个标量场的对数的梯度.梯度场无旋，故是一个无旋场().2.7设粒子在复势场中运动，其中和为实数，证明粒子的概率不守恒，并求出在某一空间体积中粒子概率“丧失”或“增加”的速率.解：根据薛定谔方程及其复数共轭形式(2.7.1)(2.7.2)*(2.7.1)*(2.7.2)得(2.7.3)即，可以写为(2.7.4)其中，.上式右边不为零，这意味着粒子的几率不守恒.将上式对空间积分，则得故某一空间体积中粒子概率“丧失”或“增加”的速率为.2.8设，问是否为定态，为什么？求.解：(1)由于定态是体系能量具有确定值的状态，而题中波函数处于能量的本征态与能量的本征态的叠加状态，故不是定态；(2)时刻的波函数为.2.9计算和相应的概率流密度，并由所得结果说明这两个波函数描述的是怎样传播的波.解：由微商关系式：，，(1)的概率流密度为：，或即描述的是沿径向向外传播的球面波；(2)的概率流密度为：，即描述的是沿径向向内传播的球面波.2.10粒子在一维势场中运动，若所处的外场均匀但与时间有关，即，试用分离变量法求解一维薛定谔方程.解：由一维薛定谔波动方程，采用分离变量法求特解，令其特解可表示为，带入一维薛定谔波动方程有方程两边同时除以可得其中是既不依赖于，也不依赖于的常数.(1)此时关于时间部分为：方程两边同时对时间积分得(2)关于坐标的部分为：此二阶齐次微分方程的解为由上述两部分可知其中和均为常数，分别由归一化条件和初试条件决定.2.11粒子在无限深方势阱中()中运动，对处于定态的粒子，证明：，，，，讨论的情况，并与经典计算结果比较.解：一维无限深方势阱内()粒子的波函数为，能量本征值为.(1)(2)(3)(4)2.12考虑质量为的粒子被限制在宽度为的一维无限深势阱中运动，(1)粒子的能级和相应的波函数；(2)粒子处于基态的动量分布.解：(1)在阱内体系所满足的定态薛定谔方程是，(2.12.1)在阱外，定态薛定谔方程为，(2.12.2)(2.12.2)式中，.根据波函数所满足的连续性和有限性条件，只有当时，(2.12.2)式才能成立，所以有，(2.12.3)该条件为解(2.12.1)式时所需的边界条件.为书写简便，引入记号(2.12.4)则(2.12.1)式简写为，它的解是，(2.12.5)根据的连续性，由(2.12.3)式，代入(2.12.5)，有，.由此得到，.(2.12.6)和不能同时为零，否则到处为零，这在物理上是没有意义的.因此，我们得到两组解：(1)，(2.12.7)(2)，(2.12.8)由此可求得，(2.12.9)对于第一组解，为奇数；对于第二组解，为偶数.对应于恒为零的解，等于负整数时解与等于相应正整数时解线性相关（仅差一负号），都不取.由(2.12.4)式和(2.12.9)式，得到体系的能量为，为正整数.(2.12.10)将(2.12.7)式、(2.12.8)式依次代入(2.12.5)式中，并考虑(2.12.9)及(2.12.3)两式，得到一组解的波函数为(2.12.11)另一组解的波函数为(2.12.12)由归一化条件可得常数；(2)粒子处于基态时，体系的能量为，波函数为，对应于动量空间的波函数为：其中积分项采用两次分部积分求出：(=1\*ROMANI)(=2\*ROMANII)结合(=1\*ROMANI)、(=2\*ROMANII)两式可得即.粒子处于基态的动量分布为2.14粒子在如图所示的势阱中运动，设粒子处于第个束缚态，相应的能级为，如，求粒子在阱外出现的概率.解：的情况下粒子处于束缚态：在阱外，定态波动方程为令考虑到束缚态边界条件（处，），方程应取如下形式的解常数与由归一化条件确定（由于势场具有对称性）.在阱内，定态波动方程表示为令波函数偶宇称态的解为，奇宇称态的解为.偶宇称态，波函数及其微商在处是连续的；两式相比可得到能级公式为.如，，带入关系式得由于，所以，，粒子出现在阱外的概率远小于粒子出现在阱内的概率粒子出现在阱外的概率为.2.16利用厄米多项式的递推关系，，求证，，并由此证明态下，，，.证明：(1)谐振子波函数，其中，.关于Hermite多项式有递推关系在上式两边乘以得()由此即得(2)由，代入()的变形式得(3)(4)由(1)得再乘以得(5)(6)2.17质量为的粒子处于势阱中，求粒子的可能能量.提示：利用谐振子波函数的奇偶性.解：线性谐振子对应于本正函数，的本征值为.题中区域，粒子的波函数满足.区域粒子的波函数满足边界条件，，由波函数的连续性可知.由谐振子波函数的奇偶性条件，我们得知只有当取奇数时连续性条件才被满足，故此时粒子的可能能量值为