2022年中考数学总复习习题-4.6解直角三角形及其应用

4.6解直角三角形及其应用1.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么sinα的值是 (C)A.35 B.3C.45 D.2.在Rt△ABC中,∠ABC=90°.若AC=100,sinA=35,则AB的长是 (DA.5003 B.C.60 D.803.(2020·广东深圳)如图,为了测量一条河流的宽度,某测量员在河岸边相距200米的P,Q两点分别测定对岸一棵树T的位置,T在P的正北方向,且T在Q的北偏西70°方向,则河宽(PT的长)可以表示为 (B)A.200tan70°米 B.200tan70°C.200sin70°米 D.200sin70°4.(2021·浙江湖州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,AB=2,则sinB的值是

12.5.(2021·江苏扬州改编)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,过点D作DE⊥BC,垂足为E,连接CD.若CD=5,DE=3,则sin∠ACD=

45.6.(2021·辽宁本溪)如图,由边长为1的小正方形组成的网格中,点A,B,C都在格点上,以AB为直径的圆经过点C和点D,则tan∠ADC=

32.【解析】连接AC,BC.∵AB为直径,∴∠ACB=90°.在Rt△ABC中,tan∠ABC=ACBC7.(2021·海南)如图,在某信号塔AB的正前方有一斜坡CD,坡角∠CDK=30°,斜坡的顶端C与塔底B的距离BC=8米,小明在斜坡上的点E处测得塔顶A的仰角∠AEN=60°,CE=4米,且BC∥NE∥KD,AB⊥BC(点A,B,C,D,E,K,N在同一平面内).(1)填空:∠BCD=150°,∠AEC=30°;

(2)求信号塔的高度AB.(结果保留根号)解:(2)过点C作CG⊥EN,垂足为G,延长AB交EN于点F.易知四边形BCGF为矩形.∵EN∥DK,∴∠CEG=∠CDK=30°.在Rt△CEG中,∵CE=4,∴BF=CG=12∴EF=BC+EG=8+23.设AB=x,则AF=x+2,在Rt△AEF中,∵∠AEN=60°,∴AF=3EF解得x=4+83.答:信号塔的高度AB为(4+83)米.8.(2020·山东聊城)如图,在Rt△ABC中,AB=2,∠C=30°,将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB'C',使点B的对应点B'落在AC上,在B'C'上取点D,使B'D=2,求点D到BC的距离.解:设DE⊥BC于点E,交AC于点F,∴∠B'DF=∠C=30°,∴DF=2B'F.在Rt△B'DF中,设B'F=x,∴DF=2x,根据勾股定理,得x2+22=(2x)2,解得x=23∴DF=43由旋转的性质知AB'=AB=2.在Rt△ABC中,∠C=30°,∴AC=2AB=4,∴CF=AC-AB'-B'F=2-23∴DE=DF+EF=4339.(2021·浙江金华)如图是一架人字梯,已知AB=AC=2米,AC与地面BC的夹角为α,则两梯脚之间的距离BC为 (A)A.4cosα米 B.4sinα米C.4tanα米 D.4cos10.(2020·湖南湘西州)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上,矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上,矩形的边AB=a,BC=b,∠DAO=x,则点C到x轴的距离等于 (A)A.acosx+bsinx B.acosx+bcosxC.asinx+bcosx D.asinx+bsinx【解析】过点C作CE⊥y轴于点E.∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=a,AD=BC=b,∠ADC=90°,∴∠CDE+∠ADO=90°.∵∠AOD=90°,∴∠DAO+∠ADO=90°,∴∠CDE=∠DAO=x.∵sin∠DAO=ODAD,cos∠CDE=DECD,∴OD=AD·sin∠DAO=bsinx,DE=CD·cos∠CDE=acosx,∴OE=DE+OD=acosx+bsinx,即点C到x轴的距离等于a11.(2020·上海)如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,∠DAB=90°,AB=8,CD=5,BC=35,连接BD,求∠DBC的正切值.解:过点C作CE⊥AB于点E,CH⊥BD于点H.∵AB∥DC,∠DAB=90°,∴∠ADC=90°.∴四边形ADCE是矩形,∴AD=CE,AE=CD=5,∴BE=AB-AE=3.在Rt△BEC中,CE=BC∴AD=6.在Rt△ABD中,BD=AB2∵CD∥AB,∴∠CDB=∠ABD.又∵∠CHD=∠DAB=90°,∴△CDH∽△DBA,∴CHAD∴CH6=510∴在Rt△CHB中,BH=BC∴tan∠DBC=CHBH12.(2021·四川泸州)如图,A,B是海面上位于东西方向的两个观测点,有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号,此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上,同时位于观测点B的北偏西60°方向上,且测得C点与观测点A的距离为252海里.(1)求观测点B与C之间的距离;(2)有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处,在接到海轮的求救信号后立即前往营救,其航行速度为42海里/小时,求救援船到达C点需要的最少时间.解:(1)过点C作CE⊥AB于点E.根据题意,得∠ACE=∠CAE=45°,AC=252,∴AE=CE=25.∵∠CBE=30°,∴BC=2CE=50海里.答:观测点B与C之间的距离为50海里.(2)过点C作CF⊥BD,交DB延长线于点F.∵CF⊥DB,FB⊥EB,CE⊥AB,∴四边形CEBF是矩形,∴FB=CE=25,CF=BE=253,∴DF=BD+BF=55.在Rt△DCF中,根据勾股定理,得CD=CF2+∴70÷42=53(小时)答:救援船到达C点需要的最少时间是53小时13.(2021·合肥包河区一模)如图,某大楼上树立一块高为3米的广告牌CD.数学活动课上,立新老师带领小燕和小娟同学测量楼DH的高.测角仪支架高AE=BF=1.2米,小燕在点E处测得广告牌的顶点C的仰角为22°,小娟在点F处测得广告牌的底部点D的仰角为45°,AB=45米.请你根据两位同学测得的数据,求出楼DH的高.(结果取整数,参考数据:sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,tan22°≈0.40)解:延长EF交CH于点G.则∠CGF=90°,∠DFG=45°,∴DG=FG.设DG=x,则CG=CD+DG=x+3,EG=FG+EF=x+45.在Rt△CEG中,tan∠CEG=CGEG∴tan22°=x+3x+45≈0.4,解得经检验,x=25是原方程的根,∴DH=DG+GH=25+1.2≈26(米).答:楼DH的高约为26米.14.[创新思维]如图,在坡度为i=1∶2.4的斜坡CB上有一座建成的基站塔AB,小芮在坡脚点C测得塔顶点A的仰角为45°,然后她沿坡面CB行走13米到达点D处,在点D处测得塔顶点A的仰角为53°.点A,B,C,D,N均在同一平面内,参考数据:sin53°≈45,cos53°≈35,tan53°≈4(1)求D处的竖直高度;(2)求基站塔AB的高.解:(1)过点D作DM⊥CN,垂足为M.∵斜坡CB的坡度为i=1∶2.4,∴DMCM设DM=5k,则CM=12k.在Rt△CDM中,CD=DM2+CM2∴DM=5米.答:D处的竖直高度为5米.(2)过点C,D作AB的垂线,分别交AB的延长线于点E,F,易知四边形DMEF为矩形,∴DF∥CE,DF=ME,EF=DM,∴∠BDF=∠DCM,∴BFDF设D