回归分析模型

回归分析模型一、什么是回归分析自然界中许多变量间都存在着某种相互联系和相互制约的关系，这种关系一般有两类，一类是确定性关系，也称之为函数关系。如中变量与的关系就是确定性关系。另一类是不确定性关系，也称之为相关关系或统计关系。这种变量间的关系尚无法表示成精确的函数关系，如人的身高与体重间的关系；商品的销售量与价格间的关系；树高与生长时间的关系等等均属于这类关系。所谓回归分析是指通过试验和观测，去寻找隐藏在变量间的统计关系的一种数学方法。设我们要研究变量与之间的统计关系，希望找出的值是如何随的变化而变化的规律，这时称为因变量，为自变量。通常被认为是非随机变量，它是可以精确测量或严格控制的；是一个随机变量，它是可观测的，但存在测量误差。于是与的关系可表示为.〔１〕其中是一切随机因素影响的总和，有时也简称为随机误差。通常假设满足.由〔１〕式得到，〔２〕〔２〕式称为理论回归方程。由于的函数形式未知，或者的函数形式，但其中含有未知参数，即，其中为未知参数。故理论回归方程一般无法直接写出。为了得到理论回归方程的近似表达式，通常先对的函数形式作出假定，然后通过观测得到关于的组独立观测数据。利用这些观测数据来估计出中的未知参数，得到经验回归方程〔３〕〔３〕式又称为回归方程，称为对的回归函数。当是线性函数时，〔３〕式称为线性回归方程，而获得线性回归方程的方法称为线性回归分析。假设所进行的线性回归分析中自变量是一元的，那么称之为一元线性回归分析；假设自变量是多元的，那么称之为多元线性回归分析。回归分析在数学建模中的应用非常广泛，其主要作用有：〔１〕根据所给的数据，在误差尽可能小的条件下，建立因变量与自变量之间的回归方程，并利用此方程对变量进行预测或控制。〔２〕判断自变量中，哪些变量对的影响是显著的，哪些变量的影响是不显著的。〔３〕估计多项式插值函数的系数。二、一元线性回归分析一元线性回归分析是指获得一元线性回归方程的方法。1．数学模型的建立设变量与之间存在统计关系，通过观测得到关于的对独立观测数据.〔４〕在平面直角坐标系中，描出每对观测数据所对应的点，得到的图称为散点图。假设散点图呈直线状，那么可以假定变量与之间有如下关系.〔５〕其中为随机变量，为非随机变量，称为回归系数。为随机变量，称为随机误差，它可以理解为中无法用表示的其它各种随机因素造成的误差。我们的问题是要用来估计的均值，即.且假定，是与无关的待定常数。因此，变量的对独立观测数据应满足〔６〕其中为待估参数，为个相互独立的且服从同一正态分布的随机变量。〔６〕式称为一元线性回归的数学模型。2．参数的最小二乘估计为了得到回归方程，〔７〕我们需要利用观测数据来估计参数，而估计参数的原那么是使〔误差平方和〕尽可能地小。又因为，〔８〕所以和的估计值和应为方程组〔９〕的解。记，那么方程组〔９〕化为〔10〕方程组〔10〕称为正规方程组。由于，所以方程组〔10〕有唯一解，其解为.〔11〕假设记那么〔11〕可化为，.〔12〕所求回归方程为.〔13〕这种以误差平方和达最小为原那么的参数估计方法称为最小二乘估计。例１考察硫酸铜(CuSO4)在100克水中的溶解量与温度间的关系时，作了9组独立试验，结果见表3－1。试寻找隐藏在变量与之间的统计关系。表3－１温度〔０Ｃ〕01020304050607080溶解量(g)14.017.521.226.129.233.340.048.054.8图3－1解以变量的9组独立观测数据为点的坐标，在平面直角坐标系中作散点图，见图3－１。由图3－１可见变量与之间大致呈线性关系，因此我们设图3－1.(14〕其中和为待估参数，为随机误差，且设。利用公式〔12〕对参数和进行估计，计算结果如下..所求回归方程为.〔15〕至于回归方程〔15〕是否真实地反映了变量与之间的统计关系，这还需对其进行显著性检验。3．回归方程的显著性检验由前面的讨论可知，变量与之间存在线性统计关系是依据散点图做出的假设。这只是一种直观判断，并不可靠。一旦变量与之间不存在线性统计关系，那么我们所确定的回归方程将毫无意义。因此，在建立了回归方程后，我们必须对变量与之间是否真正存在线性统计关系进行检验，这就是所谓的回归方程显著性检验。对回归方程〔13〕进行显著性检验，就是要检验假设当为真时，模型〔６〕不成立，即与之间不存在线性统计关系；当不真时，模型〔６〕成立，即与之间存在线性统计关系。为了检验假设，需要建立检验统计量。在建立检验统计量之前，首先对引起数据波动的主要因素进行分析。归纳起来引起数据波动的主要因素有两个：〔１〕由自变量取值的不同引起的变化，称为回归因素。〔２〕其它一切随机因素〔包括试验误差〕的影响，称为误差因素。为了检验两方面的影响哪一个是主要的，需要把它们从的总离差中分解出来，这就是所谓的总离差平方和的分解。观测值的总离差.可以证明，其中是回归方程在处的函数值，即称为理论值，并且其平均值也是。记，〔16〕那么是描述，，的离散程度的平方和，的大小反映了的变化对波动的影响，因此称为回归平方和，其自由度为1〔因为自变量的个数是1〕。而是反映其它一切随机因素〔包括试验误差〕对波动的影响，称为剩余平方和〔或残差平方和〕，其自由度为的自由度减去1，即。由回归平方和及剩余平方和的意义可知，与之间是否存在线性统计关系，取决于及在中所占的比例大小，或者看的大小，这个比值越大，说明对的线性影响越大。可以证明，且与相互独立。而在假设成立的条件下，有.因此，由分布的定义知，在成立的条件下，.〔17〕有了检验统计量，在给定的显著性水平下，假设的拒绝域为.假设假设被拒绝，那么回归方程〔13〕的回归效果是显著的，这说明变量与之间存在显著的线性统计关系；否那么回归方程〔13〕的回归效果是不显著的，这说明变量与之间不存在显著的线性统计关系。回归平方和与剩余平方和也可采用下述简便公式计算〔=〕，.〔18〕例２对例1中的回归方程〔15〕进行显著性检验。解假设.我们有，且，,.查表知。因此,回归方程〔15〕的回归效果是极显著的，即例1中变量与之间存在着极显著的线性统计关系。4．应用回归方程进行预报当所建立的回归方程通过了显著性检验后，可应用该回归方程进行预报。如在例1中，我们可以应用回归方程〔15〕预报水温为25ｏＣ时，硫酸铜的溶解量。因为，所以当水温为25ｏＣ时，硫酸铜的溶解量为24.1克。三、多元线性回归分析多元线性回归分析的理论与一元线性回归分析的理论是相似的，只不过自变量由一元扩展到了多元，因此在计算上相对要复杂一些。下面将多元线性回归分析简要地做一个介绍。数学模型的建立假设变量与变量之间有如下关系〔19〕其中为随机变量，为非随机变量，称为回归系数。为随机变量，称为随机误差，它可以理解为中无法用表示的其它各种随机因素造成的误差。我们的问题是要用来估计的均值，即.且假定，，，是与无关的待定常数。为了估计，对变量进行次独立试验〔或观测〕，得到的组独立观测数据为.〔20〕而变量的组独立观测数据应满足〔21〕其中为待估参数，为个相互独立且服从同一正态分布的随机变量，〔21〕式称为多元线性回归的数学模型。假设记，，，.那么〔21〕式的矩阵形式为.〔22〕2．参数的最小二乘估计与一元线性回归的理论相同，也以使得误差平方和最小为原那么，对理论回归方程〔23〕的参数进行估计。因为，所以的估计值应为方程组〔24〕的解。方程组〔24〕称为正规方程组，其有唯一解。方程组〔24〕的矩阵形式为．假设记回归方程〔23〕中待估参数的估计值为,,那么．〔25〕所求回归方程为．〔26〕方程组〔24〕也可以写为〔27〕其中；；；.假设记〔28〕那么＝，．3．回归方程的显著性检验〔1〕总离差平方和的分解＋，其中,称为理论值，并且其平均值也是．假设记，.那么称为回归平方和，它反映了自变量的变化所引起的的波动，其自由度为〔因为自变量的个数为〕；而称为剩余平方和〔或残差平方和〕，它反映了其它一切随机因素〔包括试验误差〕对波动的影响，其自由度为的自由度减去，即．〔２〕显著性检验对回归方程的显著性检验是指检验假设.〔29〕可以证明，且和相互独立．当假设成立时，可以证明．因此，由分布的定义知，在成立的条件下，.〔30〕有了检验统计量，在给定的显著性水平下，假设的拒绝域为．假设假设没有被拒绝，那么回归方程〔26〕的回归效果是不显著的，这说明变量与变量之间不存在显著的线性统计关系，回归方程〔26〕没有任何实际意义；假设假设被拒绝，那么回归方程〔26〕的回归效果是显著的，这说明变量与变量之间存在显著的线性统计关系．4．回归系数的显著性检验前面对回归方程的显著性检验，是对回归方程中全部自变量的总体回归效果进行检验．但总体回归效果显著并不说明每个自变量对因变量的影响都是显著的，即可能有某个自变量对的影响并不显著，或者能被其它的自变量的作用所代替．因此，对这种自变量我们希望能从回归方程中剔除，从而建立更简单的回归方程．显然假设自变量对因变量的影响不显著，那么它的回归系数就应取值为零．因此，检验每个自变量是否对影响显著，就是检验假设．〔31〕可以证明，在假设成立的条件下，统计量.(32)其中为〔28〕式中矩阵的主对角线上第个元素。有了检验统计量，在给定的显著性水平下，假设的拒绝域为．假设假设被拒绝，那么对有显著影响；否那么对没有显著影响，应在回归方程中被剔除，并且对变量与变量之间的线性统计关系需要重新进行线性回归分析，再建立新的回归方程．这个过程只有到了回归方程中所有的自变量对的影响都显著时才能停止．例3某养猪场估计猪的毛重，测得14头猪的体长(cm)、胸围〔cm〕与体重(kg)的数据见表3－２．试建立与的回归方程．表3－２序号1234567891011121314x141455152596269727880909298103x24958627162747174798485949195y2839414443505157636670768084解假设与之间有如下关系，故所求回归方程为．应用方程组〔27〕进行参数估计．经计算得,，，，.故，，．所求回归方程为．(33)对回归方程进行显著性检验，经计算得.故．查表知，因此，回归方程〔33〕的回归效果极显著。对回归系数进行显著性检验，经计算得，．查表知，因此，和对的影响都显著，和都应保存在回归方程〔33〕中。肥料施用量的优化为了研究红豆杉播种苗木、、、四种肥料的最正确施用量，采用4因素5水平回归最优混合设计416-B方案进行了田间小区试验，具体试验设计见表1，根据专业经验确定的四种肥料的试验设计上下限见表2。试验小区面积2，3次重复，小区随机排列。4月24日播种，6月中旬定苗400株/，肥料做底肥于播种前一次施入。10月12日每小区随机取苗50株，鲜时测量地径、苗高，70℃烘干后测量苗木全株生物量。将50株苗的测量结果折合成小区产苗，结果见表3。播种前苗床土壤和种子按苗圃规程处理，所施用的肥料品种：肥为尿素〔〕、肥为普通过磷酸钙〔〕、肥为硫酸钾〔〕、肥为沸石。表1试验设计及实施方案处理序号编码〔g/〕编码〔g/〕编码〔g/〕编码沸石〔g/〕1013.3408.34013.341.73266.72013.3408.34013.34-0.26928.33-14.56-12.84-14.560.60445.14122.12-12.84-14.560.60445.15-14.56113.84-14.560.60445.16122.12113.84-14.560.60445.17-14.56-12.84122.120.60445.18122.12-12.84122.120.60445.19-14.56113.84122.120.60445.110122.12113.84122.120.60445.1111.51826.6708.34013.34-1.05013.412-1.518008.34013.34-1.05013.413013.341.51816.69013.34-1.05013.414013.34-1.5180013.34-1.05013.415013.3408.341.51826.67-1.05013.416013.3408.34-1.5180-1.05013.4表2、、、四种肥料的试验设计上下限肥料设计上限〔〕设计下限〔〕000沸石表3试验测量结果处理序号全株生物量〔g/〕地径〔cm〕苗高〔cm〕1183.19183.21183.230.3390.3380.33726.9626.9526.942166.11166.09166.070.3100.3090.30826.8726.8626.853158.31158.34158.350.2920.2930.29425.0725.0925.114169.31169.32169.340.3140.3130.31226.9726.9827.015153.38153.36153.340.2900.2890.28825.1325.1525.176166.43166.42166.400.3120.3100.30926.9326.9126.897157.80157.78157.760.2930.2920.29126.2726.2826.298172.22172.20172.180.3200.3190.31827.7627.7827.799150.12150.10150.080.2790.2780.27726.0225.9925.8910166.07166.09166.110.3070.3090.31027.4127.3927.3811144.04144.02144.010.2680.2670.26527.8927.8827.8612136.71136.69136.670.2520.2530.25424.9324.9524.9713152.33152.32152.310.2810.2820.28326.4526.4726.4914160.86160.88160.890.2990.2980.29726.9426.9226.9115151.12151.14151.150.2760.2770.27915.2315.2515.2716156.87156.89156.910.2880.2890.29126.5226.5026.49对照区134.39134.41134.430.2480.2490.25023.9323.9223.91注：对照区为不施肥试验小区。I级红豆杉播种苗木质量标准：苗木要充分木质化〔全株生物量越重越好〕、苗木通直、色泽正常、无病虫害、无机械损伤、顶芽饱满，另外还需满足壮苗指标标准的要求。壮苗指标标准见表4。表4I级质量红豆杉播种苗木壮苗指标标准壮苗指标地径(cm)苗高(cm)根系长(cm)侧根数(根)量化标准>0.3>2515--207由于根系长和侧根数是起苗时对苗木根系的修剪要求，所以在确定红豆杉播种苗木四种肥料最正确施用量时，可以只考虑苗木的木质化程度、地径和苗高等三项指标，它们是反映苗圃施肥水平的主要指标，其中苗木的木质化程度用苗木全株生物量重来描述。问题：要求根据所给数据和信息建立数学模型，确定红豆杉播种苗木四种肥料的单位面积〔g/〕最正确施用量。数学建模一、肥料效应函数模型的建立1.相关关系模型用表示苗木全株生物量〔〕，用表示地径()，用表示苗高()；用表示施用量()，用表示施用量()，用表示施用量()，用表示沸石施用量()，那么根据4因素5水平回归最优混合设计的统计分析方法，四种肥料单位面积施用量与三项观测指标间的相关关系可表示为〔1〕其中为随机误差，且。式(1)称为变量与变量()间的相关关系模型。2.参数估计根据4因素5水平回归最优混合设计的统计分析方法，运用MATLAB数学软件对模型(1)中的未知参数进行估计。3.计算程序和计算结果令分别等于，，那么模型(5-1)线性化为：〔2〕其中的含义与模型(1)中相同。对模型〔2〕中未知参数〔〕进行估计的计算程序和计算结果如下：>>X=[13.348.3413.3466.7;13.348.3413.3428.3;4.562.844.5645.1;22.122.844.5645.1;4.5613.844.5645.1;22.1213.844.5645.1;4.562.8422.1245.1;22.122.8422.1245.1;4.5613.8422.1245.1;22.1213.8422.1245.1;26.678.3413.3413.4;08.3413.3413.4;13.3416.6913.3413.4;13.34013.3413.4;13.348.3426.6713.4;13.348.34013.4]X=13.34008.340013.340066.7000%各试验小区四种肥料的施用量13.34008.340013.340028.30004.56002.84004.560045.100022.12002.84004.560045.10004.560013.84004.560045.100022.120013.84004.560045.10004.56002.840022.120045.100022.12002.840022.120045.10004.560013.840022.120045.100022.120013.840022.120045.100026.67008.340013.340013.400008.340013.340013.400013.340016.690013.340013.400013.3400013.340013.400013.34008.340026.670013.400013.34008.3400013.4000>>formatlong>>Z=[];%空数组，用来装入的观测值，即的观测值。>>Z(:,1)=X(:,1);Z(:,2)=X(:,2);Z(:,3)=X(:,3);Z(:,4)=X(:,4);Z(:,5)=X(:,1).^2;Z(:,6)=X(:,2).^2;Z(:,7)=X(:,3).^2;Z(:,8)=X(:,4).^2;Z(:,9)=X(:,1).*X(:,2);Z(:,10)=X(:,1).*X(:,3);Z(:,11)=X(:,1).*X(:,4);Z(:,12)=X(:,2).*X(:,3);Z(:,13)=X(:,2).*X(:,4);Z(:,14)=X(:,3).*X(:,4)Z=1.0e+003*Columns1through4Columns5through80.020793600000000.008065600000000.020793600000002.034010000000000.489294400000000.008065600000000.020793600000002.034010000000000.020793600000000.008065600000000.489294400000002.034010000000000.489294400000000.008065600000000.489294400000002.03401000000000Columns9through120.062820800000000.489294400000000.997612000000000.06282080000000Columns13through140.556278000000000.889778000000000.236022000000000.37752200000000>>X0=[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]';>>X=[X0,Z];>>y1=[183.21;166.09;158.34;169.32;153.36;166.42;157.78;172.20;150.10;166.09;144.02;136.69;152.32;160.88;151.14;156.89]%--全株生物量的观测值y1=1.0e+002*1.660900000000001.583400000000001.693200000000001.533600000000001.664200000000001.577800000000001.722000000000001.660900000000001.440200000000001.366900000000001.523200000000001.608800000000001.56890000000000>>y2=[0.338;0.309;0.293;0.313;0.289;0.310;0.292;0.319;0.278;0.309;0.267;0.253;0.282;0.298;0.277;0.289]%--地径的观测值y2=0.338000000000000.309000000000000.293000000000000.289000000000000.292000000000000.278000000000000.309000000000000.267000000000000.253000000000000.282000000000000.298000000000000.277000000000000.28900000000000>>y3=[26.95;26.86;25.09;26.98;25.15;26.91;26.28;27.78;25.99;27.39;27.88;24.95;26.47;26.92;15.25;26.50]%--苗高的观测值y3=26.9500000000000026.8600000000000025.0900000000000026.9800000000000026.2800000000000027.7800000000000025.9900000000000027.3900000000000027.8800000000000024.9500000000000026.4700000000000026.9200000000000015.2500000000000026.50000000000000>>a=X\[y1,y2,y3]%分别以、及为因变量的三个经验回归方程的参数估计结果a=1.0e+002*1.347882874190980.002454102389150.276419288873580.002400404264690.00000548915716-0.00291420520559-0.00030591316840-0.00000067569484-0.000259209656750.00000008378480-0.00000003442955-0.000016909025700.000094481259060.00000012942638-0.000005953613580.000006300486870.000000079934780.00000361344079>>symsvar_listvar_props>>vpa(a,8)ans=r[134.78829,.24541024,27.641929][2.7105385,.49254521e-2,-.18897118e-2][.24004043,.54891572e-3,-.29142052][.50644742,.12030528e-2,.10183803][.14552184,.49487994e-3,-.30473591e-1][-.10739583,-.19688475e-3,.52486994e-2][-.40942186e-1,-.71918196e-4,.17417263e-1][-.30591317e-1,-.67569484e-4,-.25920966e-1][.83784804e-5,-.34429547e-5,-.16909026e-2][.94481259e-2,.12942638e-4,-.59536136e-3][.10329051e-1,.27565756e-4,-.12161363e-2][.15818064e-1,.27964914e-4,-.52561659e-3][-.15298198e-1,-.44004970e-4,-.17343135e-2][.63004869e-3,.79934777e-5,.36134408e-3][.62404763e-2,.11071329e-4,.14801439e-1]4.经验回归方程根据3中的计算结果分别得到以苗木全株生物量、地径及苗高为因变量的经验回归方程：(3)〔4〕(5)5.回归效果的显著性检验根据4因素5水平回归最优混合设计无重复试验的统计分析方法，用测定法对经验回归方程(3)、(4)、(5)的回归效果进行显著性检验。测定法计算公式：=(6)其中为因变量的第个观测值，为预测值，为试验处理数。在显著水平的条件下，查分布表可得值。假设<，那么经验回归方程回归效果显著，否那么不显著。6.计算程序和计算结果本程序中的是由的观测值组成的的矩阵，且，X的含义与上个程序相同；=Y=是由的预测值组成的矩阵。运用MATLAB的数组运算是对数组中相应元素作运算的性质，编写了求(=A)值的计算程序，计算程序与结果如下：>>Y=X*aY=%，，组成的数组1.0e+002*1.660900000000000.003090000000000.268600000000001.582762500000000.002933750000000.250937500000001.578437500000000.002916250000000.262762500000001.500362500000000.002783750000000.259937500000001.440200000000000.002670000000000.278800000000001.366900000000000.002530000000000.249500000000001.523200000000000.002820000000000.264700000000001.608800000000000.002980000000000.269200000000001.568900000000000.002890000000000.26500000000000>>y=[y1,y2,y3]%的观测值组成的数组y=1.0e+002*1.660900000000000.003090000000000.268600000000001.583400000000000.002930000000000.250900000000001.577800000000000.002920000000000.262800000000001.660900000000000.003090000000000.273900000000001.440200000000000.002670000000000.278800000000001.366900000000000.002530000000000.249500000000001.523200000000000.002820000000000.264700000000001.608800000000000.002980000000000.269200000000001.568900000000000.002890000000000.26500000000000>>A=sum(((y-Y).^2)./Y)%值A=1.0e-003*>>abs(Y-y)./y%相对偏差，，的值ans=000.000000000000000000.00000000000000000000.000000000000000.000000000000000000.000000000000000.000000000000000.00000000000000000.0000000000000007.显著性检验的结果经验回归方程(3)、(4)、(5)的直观拟合效果见表1、表2。表1的观测值和预测值的比照表试验序号1183.21183.210.3380.33826.9526.952166.09166.090.3090.30926.8626.863158.34158.280.2930.29325.0925.094169.32169.380.3130.31326.9826.985153.36153.420.2890.28925.1525.156166.42166.360.3100.31026.9126.917157.78157.840.2920.29226.2826.288172.20172.140.3190.31927.7827.789150.10150.040.2780.27825.9925.9910166.09166.150.3090.30927.3927.3911144.02144.020.2670.26727.8827.8812136.69136.690.2530.25324.9524.9513152.32152.320.2820.28226.4726.4714160.88160.880.2980.29826.9226.9215151.14151.140.2770.27715.2515.2516156.89156.890.2890.28926.5026.50表2的观测值和预测值的相对偏差试验序号10002000345678910110001200013000140001500016000由6中的计算结果知＝(7)即经验回归方程(3)的值为，经验回归方程(4)的值为，经验回归方程(5)的值为。查分布表知，显然各经验回归方程的值均小于，因此各经验回归方程的回归效果均显著。8.肥料效应函数模型根据前面的讨论得到所要建立的肥料效应函数模型如下：(8)(9)〔10〕肥料效应函数模型(8)、(9)、(10)是有意义的，可作为进一步优化分析的根底。二、优化分析1.优化分析模型的建立依据I级红豆杉播种苗木质量标准的两方面质量要求和四种肥料的试验设计上下限，只考虑苗木的木质化程度、地径和苗高三项指标，苗木的木质化程度用苗木全株生物量来描述，把地径和苗高两个目标转化为约束条件，运用最优化理论中的非线性有约束优化方法建立红豆杉播种苗木营养施肥优化模型如下：：(11)其中模型(11)是非线性有约束优化模型，其最优解即为红豆杉播种苗木四种肥料的单位面积最正确施用量。模型(11)的含义是：四种肥料的单位面积施用量在满足试验设计上下限和地径、苗高壮苗指标要求的前提下，使苗木全株生物量到达最大。2.四种肥料最正确施用量确实定〔1〕计算程序运用MATLAB数学软件对模型(6-1)求解的程序如下：function[x,f_opt,c,d]=fwj1ff=optimset;ff.LargeScale='off';ff.Display='iter';ff.TolFun=1e-30;ff.TolX=1e-15;ff.TolCon=1e-20;formatlongglobalaa=[1.347882874190980.002454102389150.276419288873580.002400404264690.00000548915716-0.00291420520559-0.00030591316840-0.00000067569484-0.000259209656750.00000008378480-0.00000003442955-0.000016909025700.000094481259060.00000012942638-0.000005953613580.000006300486870.000000079934780.00000361344079a=[100*a;0-0.3-25];x0=[13.34;8.34;13.34;66.7];xm=[0;0;0;13.4];xM=[26.67;16.69;26.67;66.7];A=[];B=[];Aeq=[];Beq=[];[x,f_opt,c,d]=fmincon(@opt_fun2,x0,A,B,Aeq,Beq,xm,xM,@opt_con2,ff);f_opt=-f_opt;%%-------------------------------------------------------------%%-------------------------------------------------------------function[c,ceq]=opt_con2(x)globalaceq=[];c=[-a(:,2)';-a(:,3)']*[1;x;x.^2;x(1)*x(2:4);x(2)*x(3:4);x(3)*x(4);1];%%-------------------------------------------------------------%%-------------------------------------------------------------functiony=opt_fun2(x)globalay=-a(:,1)'*[1;x;x.^2;x(1)*x(2:4);x(2)*x(3:4);x(3)*x(4);1];〔2〕计算结果程序的运算结果如下：>>[x,f_opt,c,d]=fwj1maxLinesearchDirectionalFirst-orderIterF-countf(x)constraintsteplengthderivativeoptimalityProcedure05-183.210110-184.55401-1.20.874215-187.09401-0.0937