第二十五章 概率初步（知识归纳+题型突破）（五大题型96题）（解析版）-（人教版）

第二十一章一元二次方程（知识归纳+题型突破）1.能描述简单随机事件的特征(可能结果的个数有限，每一个可能结果出现的概率相等)；2.能用列表、画树状图等方法求出简单随机事件所有可能的结果以及指定随机事件发生的所有可能结果；3.能计算简单随机事件的概率;知道经历大量重复试验，随机事件发生的频率具有稳定性；4.能用频率估计概率，体会数据的随机性以及概率与统计的关系；5.能综合运用统计与概率的思维方法解决简单的实际问题.知识点一：概率1.概率及公式定义：表示一个事件发生的可能性大小的数．概率公式：P(A)＝(m表示试验中事件A出现的次数，n表示所有等可能出现的结果的次数)．2.事件的类型及其概率事件类型概率确定性事件1或0必然事件1不可能事件0不确定性事件(随机事件)0<P(A)<1知识点二：随机事件概率的计算1.随机事件概率的计算方法(1)一步完成：直接列举法，运用概率公式计算；(2)两步完成：列表法、画树状图法；(3)两步以上：画树状图法2.几何概率的计算方法求出阴影区域面积与总面积之比即为该事件发生的概率.知识点三：用频率可以估计概率一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p＝.题型一随机事件与可能性【例1】（2023春·山东青岛·七年级统考期末）下列事件中，判断正确有（

）①在地球上抛出的篮球会下落，是必然事件；②郑一枚图钉，针尖朝上，是不可能事件；③从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是黑桃5，是随机事件；④若，则一定有，是必然事件．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．【详解】解：①在地球上抛出的篮球会下落，是必然事件，正确，符合题意；②掷一枚图钉，针尖朝上，是随机事件，原说法错误，不符合题意；③从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是黑桃5，是随机事件，正确，符合题意；④若，则，是随机事件，原说法错误，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键．例2（2023春·四川成都·七年级统考期末）转动转盘，当转盘停止转动时，指针落在红色区域的可能性最大的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】找出哪幅图中红色区域所占的份数最多，即可得出结果．【详解】解：在转盘中的4等份中，A中红色区域为1份，B中红色区域为1份，C中红色区域为2份，D中红色区域为3份，当转盘停止转动时，D中指针指向红色区域的可能性最大，故选：D．【点睛】本题主要考查了判断事件发生的可能性的大小，找出题中红色区域所占的份数最多的选项是解题的关键．巩固训练：1．（2023春·山东青岛·七年级统考期末）下列事件属于必然事件的是（

）A．随机掷一枚质地均匀的骰子一次，掷出的点数是1B．车辆随机经过一个路口，遇到红灯C．任意画一个三角形，其内角和是D．有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形【答案】C【分析】根据事件的分类进行判断即可．【详解】解：A．随机掷一枚质地均匀的骰子一次，掷出的点数是1是随机事件，故A不符合题意；B．车辆随机经过一个路口，遇到红灯是随机事件，故B不符合题意；C．任意画一个三角形，其内角和是是必然事件，故C符合题意；D．有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形是随机事件，故D不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了是事件的分类，解题的关键是熟练掌握必然事件、随机事件的定义．2．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）下列事件是必然事件的是（

）A．经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯 B．掷一次骰子，向上的一面是6点C．购买一张彩票，中奖 D．如果a、b都是实数，那么【答案】D【分析】根据必然事件的定义进行逐一判断即可：在一定条件下，一定会发生的事件是必然事件．【详解】解：A、经过城市中某一有交通信号灯的路口，可能遇到红灯，也可能不遇到红灯，不是必然事件，不符合题意；B、掷一次骰子，向上的一面可能是6点，也可能不是6点，不是必然事件，不符合题意；C、购买一张彩票，可能中奖，也可能不中奖，不是必然事件，不符合题意；D、如果a、b都是实数，那么，是必然事件，符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了事件的分类，熟知必然事件的定义是解题的关键．3．（2023·重庆·九年级统考学业考试）下列事件，是随机事件的是（

）A．一个三角形的内角和为181度 B．掷一次骰子，向上一面点数大于0C．3人分成两组一定有2人分在一组 D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯【答案】D【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【详解】A、一个三角形的内角和为181度，是不可能事件，不符合题意；B、掷一次骰子，向上一面点数大于0，是必然事件，不符合题意；C、3人分成两组一定有2人分在一组，是必然事件，不符合题意；D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．（2023春·山东济南·七年级校联考期中）“三角形的外角大于任何一个和它不相邻的一个内角”这一事件是（）A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．以上都不是【答案】B【分析】根据三角形的外角大于任何一个和它不相邻的一个内角，以及必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答．【详解】解：三角形的外角大于任何一个和它不相邻的一个内角是必然事件，故选：B．【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理、必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5．（2023春·广西南宁·九年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）下列事件是必然事件的是（

）A．抛一枚硬币，反面朝上 B．经过某一有交通信号灯的路口，恰好遇到绿灯C．内错角相等，两直线平行 D．打开电视，正在播放3月15日消费者权益日晚会【答案】C【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．【详解】A、抛一枚硬币，反面朝上，是随机事件，故A不符合题意；B、经过某一有交通信号灯的路口，恰好遇到绿灯，是随机事件，故B不符合题意；C、内错角相等，两直线平行，是必然事件，故C符合题意；D、打开电视，正在播放3月15日消费者权益日晚会，是随机事件，故D不符合题意；故选：C．【点睛】考查了随机事件,解决本题要正确理解必然事件,不可能事件,随机事件的概念,理解概念是解决基础题的主要方法．用到的知识点为:必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件．6．（2023秋·浙江·九年级专题练习）下列成语或词语所反映的事件中，发生的可能性大小最小的是（）A．守株待兔 B．旭日东升 C．瓜熟蒂落 D．夕阳西下【答案】A【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案；【详解】解：A．守株待兔所反映的事件可能发生也可能不发生，是不确定事件，符合题意；B．旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；C．瓜熟蒂落，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；D．夕阳西下，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待，一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间7．（2021春·广东江门·九年级校考开学考试）下列说法正确的是（

）A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件B．“概率为0.001的事件”是不可能事件C．“同位角相等，两直线平行”是必然事件D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次【答案】C【分析】根据事件分类和事件发生的可能性进行判断即可．【详解】解：A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，故选项错误，不符合题意；B．“概率为0.001的事件”是随机事件，故选项错误，不符合题意；C．“同位角相等，两直线平行”是必然事件，故选项正确，符合题意；D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的不一定是5次，故选项错误，不符合题意．故选：C．【点睛】此题主要考查了事件的分类和事件发生的可能性，熟练掌握事件的分类是解题的关键．8．（2023春·山东菏泽·七年级统考期末）某天气预报软件显示“菏泽市东明县明天的降水概率为”，对这条信息的下列说法中，正确的是（

）A．东明县明天将有的时间下雨 B．东明县明天下雨的可能性较小C．东明县明天下雨的可能性较大 D．东明县明天将有的地区下雨【答案】C【分析】根据概率反映随机事件出现的可能性大小，即可进行解答.【详解】解：菏泽市东明县明天的降水概率为，表明东明县明天下雨的可能性较大，故选：C.【点睛】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键.9．（2023春·七年级单元测试）某娱乐设施每次能够容纳4人一组进场游玩，甲、乙、丙、丁排队等候，甲前面有若干人，乙排在甲后面，中间隔着2人，丙排在乙后面，中间隔着1人，丁排在丙后面，中间隔着1人，丁后面也有若干人．下列说法：①如果甲和乙同一组，那么丙和丁也同一组；②如果甲和乙不同一组，那么丙和丁也不同一组；③如果丙和丁同一组，那么甲和乙也同一组；④如果丙和丁不同一组，那么甲和乙也不同一组．正确的个数为(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据题意，列出这8个人的位置，然后根据题意逐项分析即可求解．【详解】解：依题意，设中间隔着的人用代替，则排序为：甲，，，乙，，丙，，丁①若分组为(甲，，，乙)，(，丙，，丁)，故①正确；②若分组为……甲)，(，，乙，)，(丙，，丁，……，故②错误，③由②可知③错误，④依题意，分组为：甲，)，(，乙，，丙)，(，丁，……，或甲，，，(乙，，丙，)，(丁，……，故④正确，故选：B．【点睛】本题考查了推理，列举法求试验结果，根据题意举出反例或列举是解题的关键．10．（2023春·天津红桥·九年级开学考试）一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件是必然事件的是（

）A．至少有1个球是黑球 B．至少有1个球是白球C．至少有2个球是黑球 D．至少有2个球是白球【答案】A【分析】根据题意列举所有可能，即可求解．【详解】解：一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，可以是3个黑球，2个黑球和1个白球，1个黑球和2个白球，∴至少有1个球是黑球，故选：A．【点睛】本题考查了必然事件的定义，根据题意列举所有可能是解题的关键．11．（2023春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）成语“水中捞月”反映的事件是事件（填必然、不可能或随机）．【答案】不可能【分析】根据事件的分类，进行判断即可．【详解】解：成语“水中捞月”反映的事件是不可能事件；故答案为：不可能．【点睛】本题考查事件的分类．解题的关键是掌握必然事件是一定条件下，一定会发生的事件，不可能事件是一定条件下，一定不会发生的事件，随机事件是一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．12．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）排队时，小亮和2位同学站成一横排，其中小亮“站在中间”的可能性小亮“站在两边”的可能性（填“大于”、“小于”或“等于”）．【答案】小于【分析】先求出小亮“站在中间”的可能性和“站在两边”的可能性，再进行对比即可求解．【详解】解：3人站成一排，小亮“站在中间”的可能性为：，小亮“站在两边”的可能性为：，∵故小亮“站在中间”的可能性小于小亮“站在两边”的可能性，故答案为：小于．【点睛】本题考查了可能可能性大小的判断，熟练掌握事件可能性的计算是解题的关键．13．（2023春·江苏常州·八年级校考期中）一只不透明的口袋中装有3只黄色乒乓球和5只白色乒乓球（除颜色外都相同），搅匀后从中任意摸出一只乒乓球，摸到（填写“黄”或“白”）色乒乓球的可能性大．【答案】白【分析】用个体分别除以总数，算出可能性再进行比较．【详解】解：∵袋中共8个乒乓球，3只黄色乒乓球和5只白色乒乓球，∴摸到黄色乒乓球的可能性为，摸到白色乒乓球可能性为．∵∴白色可能性大．故答案为：白．【点睛】本题考查了可能性的比较，掌握可能性的求法是解题关键．14．（2023秋·九年级课前预习）现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙两位同学轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下面所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最小的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是6，甲先填，（1）请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果；（2）满足条件的填法有种．6【答案】【分析】根据填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，可知，甲每次都会选最大的数字；再根据乙选择数字的方法判断满足条件的填法即可．【详解】解：甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，表中第一个数字是，甲先填，第二个数字为，第四个数字为，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．第三个数字可以为，，，，，第五个数字可以为，，，，且不能与第三个数字相同，即第三个数字有种选法，第五个数字有种选法，满足条件的填法有种，表中空白处可以为．故答案为：，【点睛】本题考查平均数，中位数的定义，列举法，解题的关键是理解甲选数字的方法，乙选数字的方法，根据其选数字的方法知道其所选数字．15．（2023·广西·模拟预测）如图，一只小虫沿着图示的六边形构成的格子从长桥畔爬行到古樟旁，标记有箭头的边只能按箭头方向爬行，且小虫爬行同一条边最多一次，则共有种不同的爬行路径．【答案】64【分析】根据题意，将路线分为5个步骤，分析每一步有几种走法，即可进行解答．【详解】解：由图可知：第一步有2种走法，第二步有2种走法，第三步有4种走法，第四步有2种走法，第五步有2种走法；共有：（种），故答案为：64．【点睛】本题主要考查了学生的数据分析能力，解题的关键是正确理解题意，用列举法分析出每一步有几种走法．16．（2022·贵州六盘水·统考中考真题）将一副去掉大小王的扑克牌平均分发给甲、乙、丙、丁四人，已知甲有5张红桃牌，乙有4张红桃牌，那么丁的红桃牌有种不同的情况．【答案】5【分析】先求出红桃牌的总张数为13张，再减去甲、乙红桃牌的张数可得剩下的红桃牌的张数，由此即可得．【详解】解：一副牌去掉大小王后剩下张牌，则红桃牌的总张数为（张），甲有5张红桃牌，乙有4张红桃牌，剩下的红桃牌的张数为（张），所以丁的红桃牌的张数的所有可能情况为：0张、1张、2张、3张、4张，共有5种不同的情况，故答案为：5．【点睛】本题考查了列举所有可能的结果，理解一副牌中红桃牌的总张数是解题关键．17．（2023春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）有甲、乙、丙三个不透明的布袋，在甲袋中放有8个红球，在乙袋中放有4个红球，4个黄球，在丙袋中放有8个黄球，这些球除颜色外，其它都相同，从三个袋中任意摸出一球，哪一个可以使“摸到红球”是必然发生的？哪一个可以使“摸到红球”是不可能发生的？哪一个可以使“摸到红球”是随机发生的？【答案】甲，丙，乙【分析】根据随机事件，必然事件和不可能事件的概念，求解即可，在一定条件下，一定发生的事件叫必然事件，有可能发生有可能不发生的事件叫随机事件，不可能发生的事件叫不可能事件．【详解】解：由题意可得：甲袋中只有红球，“摸到红球”事件是必然事件，乙袋中既有红球又有黄球，“摸到红球”事件可能发生，也可能不发生，为随机事件，丙袋中没有红球，“摸到红球”事件不可能发生，为不可能事件，则甲可以使“摸到红球”是必然发生的，丙可以使“摸到红球”是不可能发生的，乙可以使“摸到红球”是随机发生的【点睛】此题考查了随机事件，必然事件和不可能事件的判断，解题的关键是理解随机事件，必然事件和不可能事件的概念．18．（2023春·陕西西安·七年级校考期末）甲袋中放着22个红球和7个黑球，乙袋中放着42个白球和16个黑球，三种球除颜色外没有任何区别，将两袋中的球搅匀，从两个袋中各任取一个球，哪个袋中取出黑球的可能性大？【答案】乙袋中取出黑球的可能性大【分析】分别计算两个袋子中取出球的可能性的大小，然后比较即可得到答案．【详解】解：甲袋中取出黑球的可能性为：；乙袋中取出黑球的可能性为：；，乙袋中取出黑球的可能性大．【点睛】本题考查了可能性的大小，解题关键是了解如何球可能性的大小．19．（2023春·上海·八年级专题练习）盒中装有红球、黄球各100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案．(1)摸到红球是不可能的；(2)摸到红球是必然的；(3)摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）不放红球即可．（2）都放红球即可．（3）根据可能性的程度确定红球比例即可．【详解】（1）解：盒中只有100个黄球，摸出1个红球；（2）解：盒中只有100个红球，摸出1个红球；（3）解：盒中有99个红球、1个黄球，摸到红球；盒中有50个红球，50个黄球，摸出1个红球；盒中有99个黄球，1个红球，摸出1个红球（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查随机事件概率的运算方法，能够通过概率大小确定红球个数是解题关键．20．（2023春·江苏·八年级专题练习）一只不透明的袋子中有个红球、个绿球和个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出个球．（1）会出现哪些可能的结果？（2）能够事先确定摸到的一定是红球吗？（3）你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大？哪种颜色的球的可能性最小？（4）怎样改变袋子中红球、绿球、白球的个数，使摸到这三种颜色的球的概率相同？【答案】（1）从中任意摸出个球可能是红球，也可能是绿球或白球；（2）不能事先确定摸到的一定是红球；（3）摸到白球的可能性最大，摸到红球的可能性最小；（4）只要袋子中红球、绿球和白球的数量相等即可．【分析】（1）根据事情发生的可能性，即可进行判断；（2）根据红球的多少判断，只能确定有可能出现；（3）根据白球的数量最多，摸出的可能性就最大，红球的数量最少，摸出的可能性就最小；（4）根据概率相等就是出现的可能性一样大，可让数量相等即可．【详解】解：（1）从中任意摸出1个球可能是红球，也可能是绿球或白球；（2）不能事先确定摸到的一定是红球；（3）摸到白球的可能性最大，摸到红球的可能性最小；（4）只要袋子中红球、绿球和白球的数量相等即可．【点睛】此题主要考查了事件发生的可能性，关键是根据事件发生的可能大小和概率判断即可，比较简单的中考常考题．题型二概率公式及其应用【例3】（2023春·陕西西安·七年级校考期末）在一个不透明的袋子中装有5个红球和10个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球．(1)求出摸出的球是红球的概率；(2)为了使摸出两种球的概率相同，再放进去9个同样的红球或黄球．那么这9个球中红球和黄球的数量分别应是多少？【答案】(1)(2)这9个球中红球有7个，则黄球为2个【分析】（1）根据概率公式进行计算即可；（2）设这9个球中红球有x个，则黄球为个，根据摸出两种球的概率相同，列出方程，解方程即可．【详解】（1）解：∵袋子中装有5个红球和10个黄球，∴将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球，摸出的球是红球的概率为．（2）解：设这9个球中红球有x个，则黄球为个，根据题意得：，解得：，黄球个数为：（个），答：这9个球中红球有7个，则黄球为2个．【点睛】本题主要考查了概率公式的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握概率的计算公式．【例4】（2023春·山东青岛·七年级统考期末）一房屋内部结构如图所示，小李在房屋内自由走动，则他停留在卧室或客厅的概率是．

【答案】【分析】用卧室和客厅面积的和除以房屋总面积即可求得概率．【详解】解：卧室和客厅面积的和为：，房屋总面积为：，∴停留在卧室或客厅的概率为，故答案为：．【点睛】本题考查了几何概率的知识，解题的关键是求得房屋的总面积，难度不大．巩固训练1．（2023·山东·九年级专题练习）剪纸是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．小文购买了以“剪纸图案”为主题的5张书签，他想送给好朋友小乐一张．小文将书签背面朝上（背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张，则小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先找出既是轴对称图形又是中心对称图形的图形，再根据概率公式求解即可．【详解】解：第1图沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；第2图沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；第3图沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；第4图沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；第5图沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；第2图和第4图既是轴对称图形又是中心对称图形，小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率，故选：C．2．（2023春·河南平顶山·七年级统考期末）在一个暗箱里放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中只有3个红球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球，记下颜色再放回暗箱，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以推算出a大约是（

）A．12 B．9 C．4 D．3【答案】A【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【详解】解：由题意可得，，解得，．经检验，是原方程的解，所以，估计a大约是12．故选：A．【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．3．（2023春·辽宁锦州·七年级统考期末）如图是水平放置的圆形瓷砖，瓷砖上的图案是三条直径把两个同心圆中的大圆分成六等份．若在这个大圆区域内随机地抛一个小球，则小球落在阴影部分的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先确定阴影的面积在整个圆形瓷砖中所占的比例，根据这个比例即可求出小球落在阴影部分的概率．【详解】解：因为在两个同心圆中，三条直径把大圆分成六等份，利用整体思想，可知：阴影部分的面积是大圆面积的一半，因此若在这个大圆区域内随机地抛一个小球，则小球落在阴影部分的概率是．故选：B．【点睛】本题主要考查了几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率，计算方法是长度比，面积比，体积比等．4．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）从，，，0，3这五个数中随机抽取一个数。恰好是负数的概率是．【答案】/【分析】根据概率公式计算即可得出答案．【详解】解：从，，，0，3这五个数中随机抽取一个数有5种的可能的结果，并且它们出现的可能性相等，抽到负数的可能有，，这3种，抽到负数的概率是，故答案为：．【点睛】本题考查了概率的计算，一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件包含其中的中结果，那么事件发生的概率，掌握概率的计算公式是解题关键．5．（2023春·甘肃张掖·七年级校考期末）有7张纸签，分别标有数字1，1，2，2，3，4，5，从中随机地抽出一张．抽出标有数字1的纸签的概率是．【答案】【分析】用标有数字1的纸签数除以卡片的总数即为所求的概率．【详解】解：∵一共有7张纸签，其中标有数字1的有2张纸签且每张纸签被抽到的概率相同，∴从中随机地抽出一张．抽出标有数字1的纸签的概率是，故答案为：．【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．6．（2023春·江苏南京·八年级校考期中）一只不透明的袋子中装有10个白球、20个黄球和30个红球，每个球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球，则下列事件：（1）该球是白球；（2）该球是黄球；（3）该球是红球；则发生的可能性最大的为：（只填写序号）．【答案】（3）【分析】根据概率公式，分别求出各个事件发生的概率，再进行比较即可．【详解】解：∵袋子中装有10个白球、20个黄球和30个红球，∴一共有个球，∴（1）该球是白球的概率；（2）该球是黄球；（3）该球是红球；∵，∴该球是红球发生的可能性最大，故答案为：（3）．【点睛】本题主要考查了用概率公式求事件发生的概率，解题的关键是掌握概率等于所求的情况数和符合条件的情况数之比．7．（2023·重庆·九年级统考学业考试）在单词“”中任意选择一个字母，选到字母“”的概率是．【答案】【分析】先数出“”中共多少个字母，让字母“”个数除以所有字母的总个数即为所求的概率．【详解】解：“”中共12个字母，其中共3个“”，选到字母“”的概率是．故答案为：．【点睛】本题考查概率的求法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8．（2023春·山东淄博·七年级统考期末）如图，是由12个全等的等边三角形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是．

【答案】【分析】根据阴影部分的面积所占比例得出概率即可．【详解】解：由图知，阴影部分的面积占图案面积的，即这个点取在阴影部分的概率是．故答案为：．【点睛】本题考查几何概率．熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键．9．（2023春·山东烟台·七年级统考期中）如图，在边长为a的正方形里画一个最大的圆，然后随机向正方形内投一粒米，则这粒米落在圆内的概率是．（线粗忽略不计）

【答案】【分析】直接根据题意得出圆的面积进而利用圆的面积除以正方形面积得出答案．【详解】解：由题意可得，圆的面积为：，正方形面积为：，故随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率是：．故答案为：．【点睛】此题主要考查了几何概率，正确掌握概率公式是解题关键．10．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图所示的是小明家的地板砖的一部分（图中所有三角形都是等腰直角三角形）．随机抛一个小球停留在某块地板砖上，则小球停留在阴影区域的概率是．

【答案】/【分析】停留在阴影区域的概率就是阴影部分占地板砖面积的比值，据此求解即可．【详解】设原图中最小的等腰直角三角形的面积为，则阴影部分有4块这样的等腰直角三角形，面积为，空白部分有12块这样的等腰直角三角形，面积为，∴这个地板砖的面积为：，∴停留在阴影区域的概率是：即小球停留在阴影区域的概率是．故答案为：．【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握几何概率的计算公式是解题的关键．11．（2023春·陕西西安·七年级校考期末）有红球，白球，黄球若干个备用，在一个不透明的口袋中放入8个红球和12个白球，摇匀．(1)求从这个不透明口袋中随机摸出一个球是白球的概率；(2)现从口袋中取出若干个红球，并放入相同数量的黄球，充分摇匀后，要使从口袋中随机摸出的一个球不是红球的概率为，问放入了多少个黄球？【答案】(1)(2)4个【分析】（1）用白球的个数除以球的总个数即可；（2）设放入了x个黄球，根据概率公式列出算式，求出x的值即可得出答案．【详解】（1）解：∵在一个不透明的口袋中放入8个红球和12个白球，共有20个球，∴从这个不透明口袋中随机摸出一个球是白球的概率是；（2）放入了x个黄球，根据题意得：，解得：，答：放入了4个黄球．【点睛】本题考查了概率公式．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．12．（2023春·云南文山·七年级校联考期末）某超市为了促销一批新品牌的商品，设立了一个不透明的纸箱，纸箱里装有1个红球，2个白球和12个黄球，并规定：顾客每购买50元的新品牌商品，就能获得一次摸球的机会，如果摸到红球，顾客可以获得一把雨伞，摸到白球，可以获得一个文具盒，摸到黄球，可以获得一支铅笔，甲顾客购此新商品80元，问：(1)获得奖品的概率是多少？(2)得到一把雨伞，一个文具盒，一支铅笔的概率分别是多少？【答案】(1)1(2)【分析】（1）根据概率的意义判断即可；（2）根据概率的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率．【详解】（1）解：无论摸到什么球，都有相应的奖励；即中奖是必然事件，故获得奖品的概率为1；（2）他得到一把雨伞，摸到红球，其概率为，他得到一个文具盒，即摸到白球，其概率为他得到一支铅笔即摸到黄球的概率为．【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率（A）．一定发生的事件是必然事件，发生的概率为1．13．（2023秋·陕西榆林·八年级校考开学考试）暑假期间，某商场为了吸引顾客，对一次购物满元的顾客可获得一次转转盘得奖券的机会.如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成个扇形），转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指针指向黄色区域不获奖，指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止）颜色红蓝黑奖券金额（元）205080(1)甲顾客购物元，他获得奖券的概率是___________；(2)乙顾客购物元，并参与该活动，他获得元和元奖券的概率分别是多少？(3)为加大活动力度，现商场想调整获得元奖券的概率为，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个黄色区域改为红色？【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）用消费的钱数和元比较即可确定能否参与抽奖，不能参加抽奖则获得奖金的概率为；（2）用概率公式求解即可；（3）设需要将个黄色区域改为红色，根据元奖券的概率为列方程求解即可．【详解】（1）解：∵，∴小明购物元，不能获得转动转盘的机会，∴小明获得奖金的概率为；故答案为：．（2）解：乙顾客购物600元，能获得一次转动转盘的机会，由题意可知，每转动一次转盘，共有种等可能的结果，其中红色的有种，黑色的有种，所以指针指向红色的概率为，指针指向黑色的概率为，所以他获得元和元奖券的概率分别为，．（3）解：设需要将个黄色区域改为红色，则由题意得，，解得：，所以需要将个黄色区域改为红色．【点睛】本题考查了概率公式，根据概率进行计算，概率的意义，熟练掌握概率公式是解题的关键．14．（2023春·山东威海·七年级统考期末）有一个被等分成份的转盘，其中有8份被涂成了红色，小鹿用它做了10组试验，每组试验转50次，记录每组试验中转盘停下后指针指向红色区域的次数，并制成如下所示的折线统计图，据图回答问题：

(1)转一次转盘指针指向红色区域的概率大约是多少？（精确到0.1）(2)转盘被等分成了几份？【答案】(1)转一次转盘指针指向红色区域的概率大约是0.4(2)转盘被等分成了20份【分析】（1）由折线统计图可知，每组实验中转盘停下后指针指向红色区域的次数一直在20次上下浮动，且等于20次的最多，再由概率公式进行计算即可得到答案；（2）由概率公式可得，进行计算即可得到答案．【详解】（1）解：由折线统计图可知，每组实验中转盘停下后指针指向红色区域的次数一直在20次上下浮动，且等于20次的最多，转一次转盘指针指向红色区域的概率大约是：，转一次转盘指针指向红色区域的概率大约是0.4；（2）解：根据题意得：，解得：，转盘被等分成了20份．【点睛】本题主要考查了根据概率公式计算概率，熟练掌握概率等于所求情况数与总情况数之比，是解题的关键．15．（2023春·山东菏泽·七年级统考期末）一个不透明的口袋里有20个除颜色外都相同的球，其中有5个红球，15个黄球．(1)从中随意摸出一个球，摸出______球的可能性小；(2)若从中随意摸出一个球，摸出黄球的概率是______；(3)若要使从中随意摸出一个球是红球的可能性为，袋子中需再加入______个红球；(4)若另外拿20个同款的球放入口袋中（球的颜色是红色和黄色），你认为怎样放才能使摸到的红球和黄球的可能性相同？请分别求出放入口袋中红球、黄球的个数．【答案】(1)红(2)(3)25(4)黄球个，红球个【分析】（1）由球的个数即可作答；（2）由概率计算公式即可计算；（3）设袋子中还需加入个红球，由概率计算公式即可求解；（4）设口袋中放入红球个，根据摸到的红球和黄球的可能性相同，即可建立方程求解．【详解】（1）解：∵红球的个数比黄球的个数少∴摸出红球的可能性小故答案为：红（2）解：摸出黄球的概率是：故答案为：（3）解：设袋子中还需加入个红球则解得：经检验：是分式方程的解故答案为：25（4）解：要使摸到的红球和黄球的可能性相同，即摸到红球的概率为，设口袋中放入红球个，由题意得，解得，∴口袋中放入黄球的个数为（个），【点睛】本题考查概率的应用．掌握概率的计算公式是解题关键．16．（2023春·甘肃张掖·七年级校联考期末）一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色球共100个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数是白球个数的5倍．已知从袋中摸出一个球是红球的概率是．(1)求袋中红球的个数；(2)求从袋中摸出一个球是白球的概率；【答案】(1)40(2)【分析】（1）设袋中红球的个数是个，根据概率公式列出算式，然后求解即可；（2）设袋中有白球个，根据黄球个数是白球个数的5倍以及总球的个数列出算式，求出白球的个数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】（1）解：设袋中红球的个数是个，根据题意得：，解得：，答：袋中红球的个数有40个；（2）设袋中有白球个，根据题意得：，解得：，则白球有10个，从袋中摸出一个球是白球的概率是．【点睛】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．17．（2023春·贵州·七年级统考期末）一个不透明的口袋中装有3个红球和9个白球，它们除颜色外完全相同．(1)判断事件“从口袋中随机摸出一个球是蓝球”是什么事件，并写出其发生的概率；(2)求从口袋中随机摸出一个球是白球的概率；(3)现从口袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，充分摇匀后，若从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，则取走了多少个白球？【答案】(1)不可能事件，(2)(3)个【分析】（1）口袋中装有红球和白球，从口袋中随机摸出一个球是蓝球，是不可能的，进而也可得出概率．（2）口袋中有9个白球，摸出一个，有9种可能，口袋中一共有12个球，摸出一个球有12种情况，利用概率公式可求．（3）拿走白球x个，加入红球x个，总球数，白球数为个，利用概率列方程可求．【详解】（1）因为口袋中装有3个红球和9个白球，所以“从口袋中随机摸出一个球是蓝球”是不可能事件，所以它发生的概率是0．（2）因为口袋中装有3个红球和9个白球，所以从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是．（3）设取走了x个白球．由题意，得解得．故取走了5个白球．【点睛】本题考查事件的分类，概率，掌握事件的分类，概率的两种求法，利用方程解概率问题是关键．18．（2023春·宁夏银川·七年级银川唐徕回民中学校考期末）暑期亲临，某商场柜台为了吸引顾客，打出了一个小广告如下：本专柜为了感谢广大消费者的支持和厚爱，特举行购物抽奖活动，中奖率100%，最高奖50元，具体方法是：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准黄、红、绿、白色区域，顾客就可以分别获得50元、20元、10元、5元的购物券（转盘被等分成16份）．请根据以上信息，解答下列问题：

(1)小亮的妈妈购物150元，她获得50元、20元、5元购物券的概率分别是多少？(2)请在转盘的空白区域涂上黑色，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针落在这一区域的事件发生概率为．【答案】(1)，，(2)见解析【分析】（1）根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．（2）指针落在某一区域的事件发生概率为，则应该有6块，据此解答即可．【详解】（1）解：∵小红的妈妈购物150元，∴能获得一次转动转盘的机会，∵转盘被等分为16份，黄色占1份，红色占2份，白色占11份，∴小红的妈妈获得50元购物券的概率为：，获得20元购物券的概率为：，获得5元购物券的概率为：，即获得50元、20元、5元购物券的概率分别是，，；（2）解：根据概率的意义可知指针落在某一区域的事件发生概率为，那么涂上黑色的区域应有（块），如图，

【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率，掌握上述知识点是解题的关键．题型三用树状图和列表法求概率【例5】（2023·陕西咸阳·校考二模）国际数学家大会（），是由国际数学联盟（）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，它是全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的奥林匹克盛会．李颖和汪洋两人想通过玩游戏的方式，了解关于国际数学家大会的一些常识，他们给一个不透明的袋子里装了四个分别标有、、、的小球，这些小球除所标字母不同外其他都相同，汪洋先从四个小球中随机摸出一个，李颖再从剩下的三个小球中随机摸出一个，然后两人按照如下图示各自搜索并回答自己所摸小球上字母对应的问题．

(1)汪洋随机摸出的一个小球是小球的概率为_______；(2)请用列表法或画树状图的方法求游戏结束后，两人恰好回答完、两个问题的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】（1）解：汪洋随机摸出的一个小球是小球的概率为．故答案为：．（2）解：根据题意画树状图如下：

由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两人恰好回答完、两个问题的情况有2种，∴两人恰好回答完、两个问题的概率为．【点睛】本题考查了列表法与树状图求概率，根据概率公式求概率，解答本题的关键是明确题意，列出相应的表格．【例6】（2023·云南临沧·统考三模）五一小长假期间，小林和小云一起来到昆明旅游，晚上他们打算去特色街吃饭，他们看到满大街各式各样的美食，却不知道选择哪一个，于是通过抽卡片的游戏来决定吃什么，他们制作了四张背面完全相同的卡片，在正面上分别写着：A过桥米线；B野生菌火锅；C鲜花饼；D汽锅鸡，将这四张卡片背面朝上，放置在水平桌面上，洗匀放好．小林先从四张卡片中随机抽取一张，放回洗匀后，小云再从四张卡片中随机抽取一张．(1)小林抽到卡片正面写着汽锅鸡的概率是；(2)请利用列表或画树状图的方法，求两个人抽到同一种特色美食的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；（2）列出图表得出所有等可能的结果数和抽到的两张卡片恰好是同一种美食的结果数，再利用概率公式直接计算．【详解】（1）共有四张卡片，小林抽到卡片正面写着汽锅鸡的概率是，故答案为：；（2）解：所有可能出现的结果列表如下：（小林，小云）ABCDABCD由表可知共有16种等可能出现的结果，其中两人抽到同一种食物的有4种，，两人抽到同一种美食的概率为．【点睛】本题考查列表法求概率，掌握概率公式是解题的关键．【例7】（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了以下不完整的统计图表（如下图所示）．学生平均每天阅读时长情况统计表平均每天阅读时长x/min人数学生平均每天阅读时长情况扇形统计图

根据以上提供的信息，解答下列问题：(1)本次调查共抽取了______名学生，统计表中______．(2)求扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“”所对应的圆心角度数．(3)若全校共有名学生，请估计平均每天阅读时长为“”的学生人数，(4)该校某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片，，，标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率．【答案】(1)100，30(2)(3)名(4)【分析】（1）将组的人数除以其百分比即可求出抽取的人数；将抽取的人数乘以组的百分比即可求出的值；（2）将组的人数除以抽取的人数，再乘以即可求出扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“”所对应的圆心角度数；（3）将组的人数除以抽取的人数，再乘以即可估计平均每天阅读时长为“”的学生人数；（4）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．【详解】（1）解：∵组的人数为，占比为，且，∴本次调查共抽取了名学生；∵组占比，，∴，故答案为：，．（2）解：∵样本中平均每天阅读时长为“”有名，且，∴扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“”所对应的圆心角度数为．（3）解：∵样本中平均每天阅读时长为“”的学生人数为人，且（名），∴估计平均每天阅读时长为“”的学生人数为名．（4）解：《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》这四本书分别用相同的卡片，，，标记，画树状图如下：

一共有种等可能的情况，其中恰好抽到《朝花夕拾》即和《西游记》即有种可能的情况，∴．【点睛】本题考查扇形统计图，用样本估计总体，用列表法和画树状图法求等可能事件的概率，能从统计图表中获取有用信息，掌握用列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．巩固训练1．（2023春·山东泰安·九年级校考期中）用2、3、4三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率为（

）.A． B． C． D．【答案】A【分析】利用列举法得到所有的三位数，再找出是偶数的三位数，然后利用概率公式求解即可．【详解】解：用2、3、4三个数字排成一个三位数有、、、、、，共6种等可能的结果，其中排出的数是偶数有4种，故排出的数是偶数的概率为，故选：A．【点睛】本题考查列举法求概率，正确列出所有的三位数是解答的关键．2．（2023·全国·九年级专题练习）今年2月，某班准备从《在希望的田野上》《我和我的祖国》《十送红军》三首歌曲中选择两首进行排练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根据概率公式，即可解答．【详解】解：从三首歌曲中选择两首进行排练，有《在希望的田野上》《我和我的祖国》、《在希望的田野上》《十送红军》、《我和我的祖国》《十送红军》共三种选择方式，故选到前两首的概率是，故选：B．【点睛】本题考查了根据概率公式计算概率，排列出总共可能的情况的数量是解题的关键．3．（2023·全国·九年级专题练习）某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和三名女同学表现优异．若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据列表法求概率即可求解．【详解】解：列表如下，女女女男女女，女女，女女，男女女，女女，女女，男女女，女女，女女，男男男，女男，女男，女共有12种等可能结果，其中符合题意的有6种，∴刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是，故选：A．【点睛】本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键．4．（2023春·宁夏银川·八年级校考期末）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐，小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】解：将“立春”、“立夏”、“秋分”、“大暑”的图片分别记为A、B、C、D．根据题意，列表如下：ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“立春”和“立夏”的结果有2种，故其概率为：．故选：C．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．5．（2023春·海南省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）在一个黑色布袋中装有标号分别为2、3、4的三个小球，从中摸出一个小球，不放回，再摸出一个小球，两次摸出小球的标号的和为奇数的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意画树状图，再利用概率公式即可得到答案．【详解】解：根据题意，画树状图如下：由树状图可知，共有种等可能的情况，其中两次和为奇数的情况有种，两次摸出小球的标号的和为奇数的概率，故选：C．【点睛】本题考查了利用树状图或列表法求概率，熟练掌握概率公式是解题关键．6．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分2，0，；转盘B被四等分3，2，，．如果同时转动转盘A，B，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为x，y（当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘）落在直角坐标系y轴正半轴上的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】解：列表如下：203（2，3）（0，3）（，3）2（2，2）（0，2）（，2）（2，）（0，）（，）（2，）（0，）（，）由表可知，共有12种等可能结果，落在直角坐标系y轴正半轴上的情况有2种，所以点落在直角坐标系y轴正半轴上的概率是．故选：C．【点睛】本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的前提．7．（2023春·江西九江·七年级统考期末）有4根细木棒，长度分别为1，2，3，4，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是．【答案】【分析】首先利用列举法求得从中任取3根的所有等可能的情况与从中任取3根恰好能搭成一个三角形的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：从1，2，3，4的四根木棒任取3根的所有可能性有：1，2，3；1，2，4；1，3，4；2，3，4共4种情况；从中任取4根恰好能搭成一个三角形的有：2，3，4共1种情况；从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率为．故答案为：．【点睛】本题考查概率的计算方法，使用列举法解题时，注意按一定顺序，做到不重不漏．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．8．（2023春·山东菏泽·七年级统考期末）现有长度分别为和的木棒，用5根长度为、、、、的木棒分别与之围成三角形，则能围成三角形的概率为．【答案】/【分析】根据三角形的三边关系得出第三根木棒的长度的取值范围，再根据概率公式即可得出答案．【详解】解：∵两根木棒的长分别是和，∴第三根木棒的长度大于，小于，∴能围成三角形的是：、、的木棒，∴能围成三角形的概率为．故答案为：．【点睛】此题考查了列举法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．53．（2023春·山东青岛·七年级统考期末）小丽与妈妈用一个如图所示的六等分、可以自由转动的转盘来玩游戏；将转盘随机转一次，指针指向的数字如果是能被整除妈妈获胜，如果是不能被整除，则小丽获胜（指针指到线上则重转）．求：

(1)转完转盘后指针指向数字是的倍数概率是多少？(2)这个游戏公平吗？请你说明理由．【答案】(1)(2)公平，理由见解析【分析】（1）列举出所有可能出现的结果，进而求出指针指向数字为的概率；（2）分别求出妈妈获胜和小丽获胜的概率，通过比较得出结论．【详解】（1）解：将转盘随机转一次，指针指向的数字所有可能的结果有，，，，，，共六种，且每种出现可能性相等，因此指向数字的倍数概率为：，答：转完转盘后指针指向数字的倍数概率是；（2）这个游戏公平，理由如下：能够被4整除的结果数有3种，所有等可能的结果数有6种，妈妈获胜的概率为：，小丽获胜的概率为：，游戏公平．【点睛】本题考查随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是解决问题的前提．9．（2023春·四川达州·七年级校考期末）如图，是一副扑克牌中的四张牌，将它们正面向下洗均匀，从中任意抽取两张牌，求抽出的两张牌中，牌面上数字都是偶数的概率．

【答案】【分析】列举出所有可能，根据概率公式即可求解．【详解】解：依题意，有如下可能，，，，，，，，，，，，∴共有12种等可能结果，其中牌面上数字都是偶数的有2种，所以牌面上数字都是偶数的概率．【点睛】此题重点考查学生对概率的应用，掌握列举法是解题的关键．10．（2023·江苏常州·统考一模）在3张相同的小纸条上，分别写上线段的长度：①；②；③．将这3张小纸条做成3支签，放在一个不透明的盒子中，(1)搅匀后从中任意抽取一支签，抽中②签的概率是__________；(2)搅匀后从中任意抽取两支签，求这两支签的线段能与长为的线段组成一个三角形的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）先列举所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】（1）解：搅匀后从中任意抽取一支签，抽中②签的概率是，故答案为：；（2）搅匀后从中任意抽取两支签，所有等可能结果如下：，，，其中这两支签的线段能与长为的线段组成一个三角形的有，这2种情况，所以这两支签的线段能与长为的线段组成一个三角形的概率为．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．11．（2023·广东梅州·统考二模）已知代数式．(1)化简代数式；(2)在满足的整数中随机抽取1个代入代数式中，求不会使得代数式无意义的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据分式的混合运算法则计算即可解答；（2）先求出满足的整数，再求出分式有意义的条件即可解答．【详解】（1）解：；（2）解：在区间上的整数有，，0，1，2,共个，由（1）得，分式有意义的条件为：且，即可取0,1，∴不会使得代数式无意义的概率为．【点睛】本题考查了分式的运算法则，分式有意义的条件及列举法求概率，解题的关键是熟练掌握以上知识点并保持计算准确．12．（2023·全国·九年级假期作业）成语是我国灿烂文化宝库中一颗璀璨的明珠，具有简洁明快、画龙点睛的特点．如：成语“物美价廉”形容东西价钱便宜、质量又好．乐乐无返回依次到甲、乙、丙三地旅游，在途中准备购买一个金边的“冰墩墩”作为纪念．已知甲、乙、丙三地相离较远，都可以买到乐乐心仪的同款金边“冰墩墩”；但市场上这款金边冰墩墩的质量有优、良、合格、不合格，价格有130元、120元、105元、95元、90元、85元等情况，乐乐认为只要买到优良品质、价格不超过100元的金边冰墩墩，就达到“物美价廉”．(1)若乐乐打听到甲地所卖的金边冰墩墩质量为优品，因此乐乐决定在甲地购买．试求出乐乐买到“物美价廉”的金边冰墩墩的概率；(2)乐乐认为：没有了解三地所销售金边冰墩墩的相关信息，直接选择到了丙地再购买，能买到“物美价廉”的金边冰墩墩的概率与（1）中在甲地买到“物美价廉”的金边冰墩墩的概率是一样的，这个想法是否正确？试说明理由，并列举出乐乐没有了解三地所销售金边冰墩墩的相关信息，直接选择在丙地购买到“物美价廉”金边冰墩墩的情况．【答案】(1)(2)这个想法不正确，理由见解析，【分析】（1）甲地均为优品，买到每种价格的冰墩墩是等可能的，根据概率公式解答即可；（2）丙地冰墩墩的相关信息不明，根据列举法求出所有情况，进行计算．【详解】（1）解：∵买到130元、120元、105元、95元、90元、85元的冰墩墩是等可能的，且95元、90元、85元的有三种情况，∴；（2）解：这个想法不正确．列表为：价格质量130元120元105元95元90元85元优***良好***合格不合格*表示可以买到“物美价廉”冰墩墩的情况，∵有24种等可能的情况，其中买到“物美价廉”冰墩墩的情况有6种，∴在丙地买到“物美价廉”冰墩墩的概率为：，∵，∴这个想法是不正确．【点睛】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．13．（2023春·广东佛山·七年级统考期末）如图，一个转盘平均分成6等份，分别标有1、2、3、4、5、6六个数字．随机转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指向分界线时重新转动）．

(1)随机转动转盘，求转出的数字小于3的概率；(2)现有两张分别写有2和3的卡片．随机转动转盘转出的数字与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度，求这三条线段能构成三角形的概率是多少？【答案】(1)(2)【分析】（1）转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，小于3的结果有2种，由概率公式可得；（2）转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能够成三角形的结果有2种，由概率公式可得．【详解】（1）解：∵转盘中共有6个数字，小于3的数字有1和2，∴转出的数字小于3的概率为；（2）转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，分别为：123，223，323，423，523，623，其中能组成三角形的是223，323，423，共3种，∴这三条线段能构成三角形的概率是．【点睛】本题主要考查概率公式的运用及三角形三边间的关系，熟练掌握三角形三边间的关系和概率公式是解题的关键．14．（2023·全国·九年级专题练习）为了深入推动大众旅游，满足人民群众美好生活需要，我市举办中国旅游日惠民周活动，活动主办方在活动现场提供免费门票抽奖箱，里面放有4张相同的卡片，分别写有景区：A．宜兴竹海，B．宜兴善卷洞，C．阖闾城遗址博物馆，D．锡惠公园．抽奖规则如下：搅匀后从抽奖箱中任意抽取一张卡片，记录后放回，根据抽奖的结果获得相应的景区免费门票．(1)小明获得一次抽奖机会，他恰好抽到景区A门票的概率是_________．(2)小亮获得两次抽奖机会，求他恰好抽到景区A和景区B门票的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据概率公式求解即可；（2）画出树状图，得出总的结果数和恰好抽到景区A和景区B门票的情况，即可求解.【详解】（1）解：∵共有4张相同的卡片且任意抽取一张卡片，记录后放回，∴每张卡片抽到的概率都是，设小明恰好抽到景区A门票为事件，则,故答案为：；（2）解：根据题意，画树状图如下：

∴一共有16种等可能的情况，恰好抽到景区A和景区B门票的情况有2种，∴他恰好抽到景区A和景区B门票的概率为；【点睛】此题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.15．（2023春·宁夏银川·八年级校考期末）如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，，．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为x，y（当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘），小明和小刚玩游戏，如果点落在直角坐标系的第一或第三象限则小明胜，如果点落在坐标轴上则小刚胜，请列树状图或表格的方法求出二人各自获胜的概率，并说明游戏是否公平．

【答案】小明获胜概率：，小刚获胜概率：；游戏公平．【分析】用树状图法表示出所有可能出现的结果，再根据概率公式求出即可．【详解】用树状图表示点所有可能结果，如图所示，一共有12种情况，点落在直角坐标系的第一或第三象限有4种情况，点落在坐标轴上有4种情况，∴小明胜的概率为，小刚胜的概率为，∴获胜概率一样，游戏公平．

【点睛】此题考查了树状图或列表法，解题的关键是列举出所有可能出现的情况．16．（2023·陕西宝鸡·统考二模）棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．喜欢思考的小敏设计了如图所示的的小方格棋盘，在棋盘方格内随机放入棋子，且每一个方格内最多放入一枚棋子．棋盘内现已有四枚棋子，在剩余的1、2、3、4、5方格内继续随机放入棋子，如果有三枚棋子在同一条直线上，我们称之为“三连珠”．

(1)若小敏随机放入1枚棋子，出现“三连珠”的概率是________________；(2)若小敏随机放入2枚棋子，请用画树状图或列表法求放入的两枚棋子恰好与右下角的棋子均相邻的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图求概率即可求解．【详解】（1）解：共有5个空格，在标号为1，2，5，内让人棋子，可以出现“三连珠”；∴小敏随机放入1枚棋子，出现“三连珠”的概率是故答案为：．（2）解：画树状图如图：

由图可知，共有20个等可能的结果，放入的两枚棋子恰好与右下角的棋子均相邻的有，共2个结果，∴放入的两枚棋子恰好与右下角的棋子均相邻的概率为．【点睛】本题考查的是根据概率公式求概率，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．17．（2023春·山东日照·九年级校考期中）下图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成3个扇形，乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字．小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指区域内的数字之和小于10，则小颖获胜；若指针所指区域内的数字之和等于10，则为平局；若指针所指区域内的数字之和大于10，则小亮获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止．(1)请你通过画树状图或列表的方法求小颖获胜的概率．(2)该游戏规则是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公平的游戏规则．【答案】(1)(2)不公平，公平的游戏规则见详解【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出小颖获胜的概率即可；（2）判断游戏的公平性，首先要计算出游戏双方赢的概率，概率相等则公平，否则不公平；然后设计出公平的游戏规则（答案不唯一）．【详解】（1）解：根据题意，画树状图如下所示：由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中指针所指区域内的两数字之和小于10的有6种，∴小颖获胜的概率为；（2）该游戏规则不公平．由（1）可知，共有12种等可能的情况，其和大于10的情况有3种，∴小亮获胜的概率为，而小颖获胜的概率为，故该游戏规则不公平．游戏规则可修改为以下两种：①当两个转盘指针所指区域内的数字之和大于或等于10时，小亮获胜；当两个转盘指针所指区域内的数字之和小于10时，小颖获胜；②当两个转盘指针所指区域内的数字之和为奇数时，小亮获胜；当两个转盘指针所指区域内的数字之和为偶数时，小颖获胜．（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了列举法求概率以及概率的应用，理解题意，正确作出树状图或列表是解题关键．18．（2023秋·海南海口·九年级校考期末）某中学举行“校园电视台主持人”选拔赛，将参加本校选拔赛的40名选手的成绩分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．分数段频数频率2m1214n4

(1)表中________________；(2)请在图中补全频数分布直方图：(3)甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在________分数段内；(4)选拔赛中，成绩在分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，则恰好是一名男生和一名女生的概率为________．【答案】(1)．(2)见解析(3)(4)【分析】（1）根据频率＝频数÷总数，变形计算，求出m、n的值．（2）根据(1)中的数据补全图形．（3）根据中位数的概念即一组有序数据的中间一个数据或中间两个数据的平均数求解可得．（4）利用列表或画树状图列举出所有的可能，再根据概率公式计算即可得解．【详解】（1）根据题意，得，故答案为：．（2）根据，补全图形如下：

．（3）由于共有40个数据，其中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据都落在内，∴推测他的成绩落在分数段内，故答案为：．（4）画树状图：

共有12种结果，其中一男一女的结果有8种，∴恰好是一名男生和一名女生的概率为．故答案为：．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率、频数分布直方图、频数分布表以及中位数的定义．熟练掌握中位数，直方图，画树状图计算概率是解题的关键．19．（2023·重庆·九年级统考学业考试）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分利用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：．礼仪；．陶艺；．园艺；．厨艺；．编程．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：(1)此次调查一共随机抽取了_________名学生；“D．厨艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是_________度；(2)补全条形统计图（请在条形图上方注明人数）；(3)学校计划从参加“E．编程”活动的四位优秀学生甲、乙、丙、丁中随机抽取两人參加区青少年人工智能编程比赛，请用树状图或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．【答案】(1)，(2)见解析(3)【分析】（1）由E组的人数除以所占百分比即可得到总数；由“D．厨艺”所占总数的百分比即可得到“D．厨艺”在扇形统计图中所对应的圆心角度数；（2）求出“．陶艺；．园艺”的人数即可；（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种，再由概率公式求解即可．【详解】（1）此次调查一共随机抽取了人，“D．厨艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是故答案为：，；（2）“．陶艺”的人数为人，“．园艺”的人数人，∴补全条形统计图为

（3）树状图如下：

∵共有12中等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人有2种，∴恰好抽中甲、乙两人的概率．【点睛】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．（2023春·广西南宁·九年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）【问题情境】数学活动课上，老师指导同学们开展“调查某社区每个家庭五月份的用水量”的实践活动．【实践发现】善思小组随机抽查了某社区20个家庭五月份的用水量（单位：吨），调查中发现，每户家庭五月份的用水量在3～7吨范围内，整理数据如下：五月份用水量（吨）户数【实践探究】分析数据如下：平均数中位数众数方差五月份用水量（吨）【问题解决】(1)上述表格中：______，______，______；(2)甲同学说：“估计该社区，有一半以上的家庭五月份用水量不超过5吨．乙同学说：“根据样本数据，估计该社区200户家庭中五月份用水量不超过5吨的约有120户．”上面两位同学的说法中，合理的是______同学（填“甲”或“乙”）(3)该社区决定从五月份用水量最省的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享．请用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、乙两户的概率．【答案】(1)，，(2)甲(3)【分析】（1）根据平均数，中位数，众数的概念即可得答案；（2）用样本估计总体，即可得到答案；（3）画树状图求出所有等可能结果，再用概念公式