2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(乙卷·文科)

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(乙卷•文科)

压轴题解读

11.设B是椭圆C：9+y2=i的上顶点，点p在c上，则|PB|的最大值为()

A.-B.V6C.V5D.2

2

【命题意图】考查椭圆的性质，两点间的距离，函数的思想，考查逻辑推理，数学运算的核心素养

【答案】A

【解析】由椭圆方程可得。=63=1.椭圆的上轴逐，。=1.故椭圆的上顶点为3(0,1).

设P(x,y),则有三+尸=1，故f=5(l-y2),由椭圆的性质可得TWyWl.

BiJ|PB|2=x2+(y-l)2=5(l-/)+(y-l)2

=—4y2—2y+6—-4(y2+—)+6——4(y+—)2+—

244

i25

因为-IWyWl,所以当y=—二时，取得最大值，最大值为亍，

44

所以|P8|的最大值为

【规律总结】圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何方

法，即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，

即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方

法等进行求解.

12.设若为函数f(x)=a(%-Q)2(%—b)的极大值点，则()

A.aVbB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

【命题意图】考查函数的极值，考查逻辑推理，数学运算的核心素养

【答案】D

【解析】因为/(x)=a(x-a)“x-b),

所以/'(X)=ax2(x-a)(x-b)+a(x-a)2=a(x-a)[(2x-2b)+(x+a)]

=a(x-a)[3x-(a+2b)]

=3a(x-a)(x一

由/'(x)=O,解得x=a或x=.

若a<0,由x=a为函数的极大值点可得巴了<a

也就是b<a.

此时函数在-和(a,+°o)上/'(x)<0,函数单调递减;在出一芽。)上/'(幻>0,函数单调递增.

所以a(a-/?)<0,即

若a>0,由x=a为函数的极大值点可得，解得。<江

此时函数在(f,a)和3-。,物)上/'(x)>0,函数单调递增；在38一&)上八幻<0,函数单调递减.

此时，a(a-b)<0,gpa2<ab.

综上仇选D.

【解题方法】已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这

两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用

待定系数法求解后必须检验.

16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和附视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯

视图的编号依次为(写出符合求的一组答案即可).

【命题意图】考查三视图，考查直观想象，逻辑推理能力

【答案】②⑤或③④

【解析】根据“长对正，高平齐，宽相等”及图中数据，可知②③只能是侧视图，④⑤只能是俯视图，于是可得正确答

案为②⑤或③④

若为②⑤，则如图1；若为③④，则如图2.

【解题方法】画三视图的三个原则：

⑴画法规则：“长对正，宽相等，高平齐”.

(2)摆放规则：侧视图在正视图的右侧，俯视图在正视图的正下方.

(3)实虚线的画法规则：可见轮廓线和棱用实线画出，不可见线和棱用虚线画出.

20.已知抛物线C：y2=2p%(p>o)的焦点尸到准线的距离为2.

(1)求C的方程；

(2)己知。为坐标原点，点P在C上，点。满足所=9而，求直线。。斜率的最大值.

【命题意图】本题考查抛物线的性质方程，只限于抛物线的关系，基本不等式求最值，考查逻辑推理，及运算求解能

力.

【解析】(1)由题意知，p=2,

y2=4x.

(2)由(1)知,抛物线C：V=4x,尸(1,0),

设点Q的坐标为("?,〃)，

则0?=(1—，％-〃)，

/吧=9/=（9-9肛-9〃）

.•.尸点坐标为(10加一9,10"),

将点P代入C得100〃2=40m-36,

整理得m="*"FG=25"2+9,

4010

n10/2101

—=;一-=------>当”=3时取取大值.

m25〃-+925〃+23

n

21.已知函数f(尤)=/一/+ax+l.

(1)讨论/。)的单调性；

(2)求曲线y=/(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标.

【命题意图】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想及运算求解能力.

【解析】(1)f'(x)=3x2-2x+a,△=4-12a,

①当△,,(),即时，由于r(幻的图象是开口向上的抛物线，故此时广(x)..0,则/(x)在R上单调递增;

②当△>(),即时，令尸(幻=0,解得玉=匕牛豆,毛=匕牛豆，

f

令f(x)>0,解得X<芭或无>々,令(X)<。,解得-^1<X<X2,

.•./(X)在(-00,%),(%,+00)单调递增，在(芭，/)单调递减；

综上，当a.g时，f(x)在R上单调递增；当时，/(x)在(-"J-'；-3"+8)单调递增,在

上土直匕正电单调递减.

33

(2)设曲线y=/(x)过坐标原点的切线为/,切点为(为,与3_年+”+[),八/)=3/2_2Ao+“，

3

则切线方程为y—(x0—XQ~+ax0+1)=©々J_2%+。)(工—x())f

32

将原点代入切线方程有，2xo-xo-l=O,解得飞=1,

.,•切线方程为y=(a+\)x9

x3-x2+ar+1=(a+l)x,BPx3-x1-x+1=0,解得x=l或x=-l,

••・曲线y=/(x)过坐标原点的切线与曲线y=/(x)的公共点的坐标为(1,〃+1)和-1).

压轴题模拟

1.(2021•河南焦作市•高三其他模拟(文))已知点尸为双曲线1-工=13>0力>())的右焦点，过尸作一条渐近

ab~

线的垂线，垂足为A,若△。四(点O为坐标原点)的面积为2,双曲线的离心率ee[J17,而｝则。的取值范围

为()

A.[1,2]B.C.-^-,1D.-^-,1

【答案】D

bb

【解析】取双曲线的渐近线为y=-x,即OA的方程为｝；=一8,

aa

•••F(c,O),.•.直线AF的方程为y=-y(x-c),

b

联立4",解得A

C1CDC,

SOAF=—c—=2,即々6=4,

2c

2।/16

又ee[VF7,彼],;.17剌+标65

解得暗领b的取值范围为[*，1]故选：D.

22

2.(2021•黑龙江哈尔滨市•哈师大附中高三三模(文))已知P是椭圆C：，+/=l(a>〃>0)上任意一点，B是

椭圆C的上顶点，处总成立，则椭圆离心率的取值范围是()

【答案】A

Y2v2\x=acos3

【解析】由/+方=叱…)'可令『sine

因为3是椭圆C的上顶点，所以5(0力),

\PB\<2b=>\PBf<4〃=(acos9)2+Ssin6—Z?)2〈4b2,

化简为：

(a2-/?2)sin20+2b2sin6+3〃-a2>0=>[(a2-b2)sinO+3b2-a2](sin0+l)>0,

因为sinS+1之0,所以(/—〃)sine+3b2—a220,即、一二，

a-b

又因为sinON—l,|PB|W2。总成立，

〃2_1右22।

所以...—<—1=>—3b2<一(a2—b2)=>a2<2b2a2<2(4—c2)=>丁<—,

a-b2a~2

即e24Ln0<e<也，故选：A

22

3.(2021•浙江高三模拟)已函/(x)=(x2—4x+4)e*—^d+aY+l,若/(x)在x=2处取得极小值，则。的取

值范围是()

A.(9,0]B.(0,e2)C.(-oo,l]D.(-℃,e2)

【答案】D

【解析】因为所以八%)=(尤2-2x)(e*-a),

当“40时，ex-a>0,所以/(x)在(0,2)上单调递减，在(2,”)上单调递增，满足题意；

当0<aWl时.，在x«0,+8)上/一。>0,所以/(%)在(0,2)上单调递减，在(2,”)上单调递增，满足题意；

当1<。<02时，/(6在(111。,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，满足题意；

当a=e2时，/(x)在(0,+“)上单调递增，不满足题意；

当a>/时，/(x)在(0,2)上单调递增，在(2,Ina)上单调递减，不满足题意.故。的取值范围为(-oo.e?),

故选D.

4.(2021•安徽宣城市•高三二模(文))若函数/0)=%3_3加+12》+1(。>0)存在两个极值点*,马，贝I」

/(%)+/(々)的取值范围是()

A.(-oo,18)B.(-oo,18]C.(-oo,16]D.(-oo,16)

【答案】A

【解析】函数/(x)=x3—3a?+12x+l(a>0),/(x)=3x2-6«x+12=3(x2-2ar+4),

由函数/(x)存在两个极值点芭，声，，r(x)=0有两个不等实数根，.♦.△=4/一16>0，a>0,

解得a>2.且玉+々=2。，x,x2=4.

22

「.x；=(Xj4-x2)-2%jX2=4a-8

则/(玉)+/(/)=x：—3ax；+12%+1+石一3〃x；+12x2+1

—(X|+%)(%；-玉%2+苍)—3a(%；+)+12(%+%)+2

=2。(4。2-8-4)-3a(4a2-8)+24a+2=—4/+24a+2，

令g(a)=-4a3+24a+2,a£(2,+oo)./.gf(a)=-12tz2+24<0,

g（a）在。£（2,+oo）上单调递减./.g（a）<g（2）=-4x8+24x2+2=18.

・・・/（石）+/（々）的取值范围是（e/8）.故选：A.

5.（2021•安徽六安市•六安一中（文））在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折叠，其正视图和

俯视图如图所示，此时连接顶点B、D形成三棱锥B-ACD,则其侧视图的面积为.

【答案】石

【解析】

【解析】由题意可知几何体是三棱锥，底面是直角三角形，直角边长为4,3,一个侧面是直角三角形与底面垂直,

1712

力8=4,BC=3,8到ZC的距离为（侧视图如图：是等腰直角三角形，直角边长为行.

所以侧视图的面积为：y=2cos3x（o>0）.

6.（2021•广东深圳市•高三二模（文））如图，已知一个锥体的正视图（也称主视图），左视图（也称侧视图）和俯

视图均为直角三角形，且面积分别为3,4,6,则该锥体的体积是—.

【答案】4

【解析】由三视图知，几何体是一个三棱锥,

根据三棱锥的三视图的面积，设出三棱锥两两垂直的三条侧棱分别是x,y,z

「三视图的面积分别为3,4,6,「孙=6,xz=8,yz=12,1y=3,x=2,z=4，

□三棱锥的体积是卬，z=4,故答案为4.

32

7.（2021•重庆市长寿中学校高三模拟）抛物线£:丁2=2〃M〃>0）的焦点为尸，过尸的动直线/交E于

A（AX）、8（々，必）两点，/'过点A且/关于r对称的点尸'的坐标为（一1，X）.

（1）求E的方程；

（2）过G（2,0）作直线（交后于"、N两点，4是E在"处的切线，NQ_L（于Q且直线NQ与x轴的交点为了,

求△肱VT面积的最小值.

【解析】（1）由对称性知|"|=|4尸|且Ak与直线x=—l垂直，

所以x=-l是E的准线，.•.一二=一1,解得P=2,r.y2=4x即为所求E的方程.

2

（2）设M（X3，%），N（X4，>4），由题意直线&的斜率存在，设为左,

则4：y-%=%（%—刍），即>一为=左

y_y=左|K--

联立方程,I41可得。2一43；-外32+4%=0，

J=4无

则A=16-4Z（一妙32+4%）=。，解得上=工，，A:。？=—,

为2

设点丁（今,0）,由。、T、N三点共线，..・%7=二普=耳收=上9,则点=/%+2.也,

L冗4一无7力

由题意，直线MN不与x轴重合，

设政V:x=my+2,则&=机为+2,则%=+2%=布>3y4+2（%+.）,

%为

y2=4x,八

联立方程「可得丁0-4g；-8=0,所以%+以=4根,％.%=-8,

x=my+2

.“世访+2（%+”）=上迦=o,,,m0）,

>3>3

S.T=；|GT卜+%）2-4%%=46m2+3224夜,当加=0时取等号,

.•.△MNT面积的最小值为4a.

8.（2021•河南郑州市•高三三模（文））已知抛物线C:/=4），和圆£：/+（,+1）2=1,过抛物线上一点

「(毛,%)，作圆E的两条切线，分别与x轴交于48两点.

(1)若切线P5与抛物线C也相切，求直线网的斜率；

(2)若%N2,求Z1Q4B面积的最小值.

【解析】(1)由题意，可设切线P8的方程为丁=丘+〃2,代入抛物线的方程得炉一4履一4m=0,

由相切的条件得：△=16%2+16〃2=0，即42+加=0,

II机+1|1

由直线与圆相切可得圆心到直线距离1=下^=1即k2=nV+2m，

yjl+k2

nr+3m=0，可得加=—3或=0,

口当〃?=0时，有尸8的方程为y=0,此时P(0,0)与圆£的有且仅有一条切线,

nm--3,舍去加=0,故左2=3,即攵=±3.

(2)设切线方程为丁一为=乂％-40)，即五一丁+%-3)=0,

2

圆心到直线距离d==1，整理得*(V-1)一(2x。%+2xQ)k+%2+2%=0,而

A=4(片+北+2%)>0("2),

设总，PB斜率分别为仁,白，则K+&=2?：：%,k、K=)忆

元0—1x0—1

令尸0,得与"宝优

j4(y『+6%)),旧+6yo

IAB|=|(x-y)-(与一资1=1好1为

0年+2%)°%+2

仁

1

v114nl2加+6%(升+6%)靖

口产/例m=了J*$=

(%+2『

,”2,广(y)=2v(「竽⑻〉(),则/(y)在［2,+a))上单调递增，即

令/()')=

(y+2)2(y+2)3

f(y)min=f(2)=4*口S,B的最小值为2.

9.(2021•河南焦作市•高三模拟(文))已知函数/(x)=—f+x+lnx.

(1)求“x)的单调区间；

(2)若对于任意的x«0,+8),〃x)W3'一恒成立，求实数加的最小值.

【解析】(1)由/(xb-f+x+lnr,得/，(制=_2x+]+'=+1=(2-+1)(—X+1)(X>0),

XXX

当(0,1)时，f'(x)>0,/(X)单调递增，

当xe(l,+8)时，f'(x)<0,/(x)单调递减，

□/(x)的增区间为(0,1),减区间为(1,+8)；

(2)□对于任意的xe(0,+oo),/(力《如归”一》2一1恒成立，

x+In尤+1

--—X2+x+Inx<mxe"-X2—1恒成立，即/篦2----------恒成立.

xe

./、x+lnx+1…，/、-(%+1)(x4-Inx)

令g(X)=-------—，则短3=八一笠——二

xex^e

令h(x)=x+lnx,