2021年新高一数学人教A版（2019）开学考模拟试卷1

2021年新高一数学人教A版（2019）开学考模拟试卷1

一.选择题（共10小题）

1.（2020秋•坪山区期末）反比例函数y=区与y=-心:+1（kWO）在同一坐标系的图象可能

X

2.（2019秋•雁塔区校级期末）如图，点尸（-2ma）是反比例函数y=区与OO的一个交

)

D.y=-久

x

3.（2018•深圳模拟）若工＜2,工〉-3,则x的取值范围（)

x

A.B.?。＜0或x得

32

C.或x〉《D.以上答案都不对

32

4.（2019秋•昭平县期中）若x=-_=工=_^,则x等于（)

b+ca+ca+b

A.-1或』B.-1C..1D.不能确定

22

5.（2020秋•瓜州县期末）若公b、c、d是成比例线段，其中a=5,b=25,c=8,则线

段d的长为（）

A.2B.4C.5D.6

6.（2019•包头模拟）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点8的对应点为点E,点A的对

应点为点。，当点E恰好落在边AC上时，连接AD,NAC8=36°，AB=BC,AC=2,

则AB的长度是（）

A.A/5-1B.1C.痣"I一D.3

22

7.（2020•闵行区校级一模）在Rt^ABC中，ZC=90°,若8c=3,AC=4,贝UsinB的值

为（）

A.AB.3c.3D.A

5543

8.（2019秋•滩溪县期末）已知cosa=3,则锐角a的取值范围是（）

4

A.0°<a<30°B.30°<a<45"C.450<a<60°D.60°<a<90°

9.（2021•黄冈模拟）如图，下列图形从正面看是三角形的是（）

10.（2019•莲湖区模拟）如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三

种视图中面积最小的是（）

A.主视图B.俯视图C.左视图D.一样大

二.填空题（共5小题）

：

11.（2016春•无锡校级期中）若双曲线＞•=（2机-1）xm-2的图象在第一、三象限，则

函数的解析式为

（•路北区二模）函数），=4当时，的取值范围是（可结

12.20137ye-2x

合图象求解）.

13.（2020秋•炎陵县期末）已知3_=旦，则且=.

3a-b4b

14.（2021•济宁三模）如图，△45。的顶点都是正方形网格中的格点，则tanZABC

15.（2012•淮安模拟）长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是

丰视图俯视图

三.解答题（共10小题）

16.（2010秋•黄冈期末）已知y=yi+”，yi与（x-1）成正比例，*与（x+1）成反比例，

当工=0时，y=-3,当x=l时，y=-1.

（1）求），的表达式；

（2）求当■时y的值.

2.

17.（2019春•长春期中）已知反比例函数了=0，（%为常数，kWl）.

x

（1）若点4（1,2）在这个函数的图象上，求&的值；

（2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求4的取值范围；

（3）若k=13,试判断点B（3,4）,C（2,5）是否在这个函数的图象上，并说明理由.

18.（2020秋•鱼台县期末）若史2上上电，且2a-〃+3c=21.试求“：b：c.

346

19.（2017秋•庐阳区校级月考）已知旦=£=2,求三也和£二色的值.

bdac+d

20.（2016秋•海淀区期中）如图1,在线段A8上找一点C,C把48分为AC和CB两段，

其中8C是较小的一段，如果BC・AB=AC2,那么称线段A8被点C黄金分割.为了增加

美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域.如图2,在我国古代

紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑

的位置关系满足黄金分割.已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，求太和门到太和

殿之间的距离（、石的近似值取2.2）.

e箕意、物Q

故宫博物院

我战・3所ftUC4

.J国

a・文n玲体仁.

£*安i1

R4XS

图1图2

21.（2021•红桥区模拟）如图，在RtZkABC中,ZC=90°,AC=8,BC=6,求sinA,cosA,

tanA的值.

22.（2006•巴中）如图，在所示的直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是（6,y）,

且OP与X轴的正半轴的夹角a的正切值是名，求角a的正弦值.

3

23.（2020秋•原州区期末）如图，从上往下看A、B、C、D、E、尸六个物体，能得到a、b、

c、d、e、/六个图形，请把上下两行中对应的图形与物体连接起来.

a

■方■ce

ABCDEF

24.（2019秋•永安市期末）如图①是一张长为18cm,宽为的长方形硬纸板.把它的

四个角都剪去一个边长为X。”的小正方形，然后把它折成一个无盖的长方体盒子（如图

②），请回答下列问题：

（1）折成的无盖长方体盒子的容积v=5？；（用含X的代数式表

示即可，不需化简）

（2）请完成下表，并根据表格回答，当x取什么正整数时，长方体盒子的容积最大？

x/cm12345

V/cm316021680

（3）从正面看折成的长方体盒子，它的形状可能是正方形吗？如果是正方形，求出x的

值；如果不是正方形，请说明理由.

二--------------U/正面

图①图②

25.（2020•西城区校级模拟）有这样一个问题：探究函数尸二的图象与性质.小彤根据

x~*3

学习函数的经验，对函数），=&二l的图象与性质进行了探究.

x-*3

下面是小彤探究的过程，请补充完整：

（1）函数），=&二工的自变量x的取值范围是；

x-3

（2）下表是y与x的儿组对应值：

X・・・-2-101245678…

・・・

y3mX0-1325_3,7_...

京~3~2~5

则m的值为；

（3）如图所示，在平面直角坐标系X。），中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根

据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；

(5)若函数y=3二L的图象上有三个点A(xi,yi)、B(x2,”)、C(%3,2),且xi<3

x-3

<A2<X3,则yi、”、*之间的大小关系为；

2021年新高一数学人教A版（2019）开学考模拟试卷1

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.（2020秋•坪山区期末）反比例函数y=K与y=-丘+l（后#0）在同一坐标系的图象可能

【考点】一次函数的图象；反比例函数的图象.

【专题】函数及其图象.

【分析】分别根据反比例函数与一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可.

【解答】解：4、由反比例函数的图象可知，/>0,一次函数图象呈上升趋势且交与y轴

的正半轴，-k>0,即上<0,故本选项错误；

8、由反比例函数的图象可知，k>0,一次函数图象呈下降趋势且交与y轴的正半轴，-

k<0,即k>0,故本选项正确；

C、由反比例函数的图象可知，A<0,一次函数图象呈上升趋势且交与），轴的负半轴（不

合题意），故本选项错误；

。、由反比例函数的图象可知，k<0,一次函数图象呈下降趋势且交与y轴的正半轴，-

k<0,即k>0,故本选项错误.

故选：B.

【点评】本题考查的是反比例函数的图象与一次函数的图象，熟知反比例函数中系数及

常数项与图象位置之间关系是解答此题的关键.

2.（2019秋•雁塔区校级期末）如图，点P（-2a,a）是反比例函数y=K与。。的一个交

点，图中阴影部分的面积为10TT,则该反比例函数的表达式为（)

c.尸-D.--

X

【考点】反比例函数图象的对称性.

【专题】反比例函数及其应用；运算能力.

【分析】根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积

.1,即可求得圆的半径，再根据P在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得”的

4

值.

【解答】解：设圆的半径是，.，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：LrJ=

4

IOJT.

解得：r=2ji5.

•.•点尸（-2da）是反比例函数y=K（k>0）与。。的一个交点.

X

—且疝

/.a2=8.

：.k=-2X8=-16,

则反比例函数的解析式是：了=-西.

X

故选：D.

【点评】本题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点，解决本题的关键是利用反比

例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系.

3.（2018•深圳模拟）若工<2,工〉-3,则x的取值范围（）

XX

A.B.或x〉《

3232

C.D.以上答案都不对

32

【考点】反比例函数的性质.

【专题】几何图形问题.

【分析】在同一平面直角坐标系中作出反比例函数y=工与y=2、），=-3的图象，观察

X

图象可知，反比例函数y=上落在直线），=2下方且在直线y=-3上方的部分所对应的x

X

的取值，即为所求的无的取值范围.

【解答】解：作出函数＞=工与y=2、y=-3的图象，

X

由图象可知交点为（工，2）,（-1,-3）,

23

.•.当■或x＞《时，有工＜2,-^＞-3.

32xx

【点评】本题考查了反比例函数的性质：

（1）反比例函数＞=三（kWO）的图象是双曲线；

k

（2）当％＞0,双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内），随x的增大而减

小；

（3）当k＜0,双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增

大.

4.（2019秋•昭平县期中）若x=——=_L=_&_,则x等于（）

b+ca+ca+b

A.-1或」B.-1C.AD.不能确定

22

【考点】比例的性质.

【专题】计算题.

【分析】分两种情况讨论：当a+/?+c#0时和当a+b+c=0时.

【解答】解：•."=」_=上=工，

b+ca+ca+b

，当a+h+c^0时，x=a+b+c=工

2（a+b+c）2

当〃+〃+c=0时，x=a=-^—=-1,

b+c-a

故选:A.

【点评】本题主要考查了比例的基本性质，容易漏掉"+Hc=O这一隐含可能条件.

5.（2020秋•瓜州县期末）若“、b、c、d是成比例线段,其中a—5,b—2.5,c—8,则线

段d的长为（）

A.2B.4C.5D.6

【考点】比例线段.

【专题】图形的相似；数感.

【分析】根据成比例线段的定义解答即可.

【解答】解：因为。、b、c、〃是成比例线段，

可得：

2.5d

解得：d=4,

故选：B.

【点评】本题主要考查了成比例线段的关系，已知成比例线段的四条中的三条，即可求

得第四条.

6.（2019•包头模拟）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点8的对应点为点E,点A的对

应点为点。，当点E恰好落在边AC上时，连接AD,/AC8=36°,AB=BC,AC=2,

则AB的长度是（）

A.A/5-1B.1C.娓TD.3

22

【考点】等腰三角形的性质；旋转的性质；黄金分割.

【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力.

【分析】首先证明D4=ED=EC,设AB=x,则AO=£>E=EC=x,

可得AD2=AE-AC,由此构建方程即可解决问题.

【解答】解：：A8=BC,ZACB=36°,

：.ZBAC^ZACB=36°,/8=NCED=108°,

ZAED=72°,

：.CA=CD,ZACD=36",

：.ZCAD=ZCDA=12°,

AZADE=ZACD=36°,

：.DA=ED=EC,设AB=x,则AQ=OE=EC=x,

NDAE=ACAD,ZADE=ZACD,

:./\DAEs"CAD,

：.AD2=AE-AC,

；.W=（2-x）・2,

♦•♦》=泥-1或-泥-1（舍弃）,

:.AB=4S-1-

故选：A.

【点评】本题考查相似三角形的应用，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻

找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.

7.（2020•闵行区校级一模）在RtZXABC中，ZC=90°,若8c=3,AC=4,则sin8的值

为（）

A.AB.3C.3D.A

5543

【考点】锐角三角函数的定义.

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【分析】根据三角函数的定义解决问题即可.

【解答】解：如图，在Rt^ABC中，♦.♦/C=90°,8c=3,AC=4,

•*-AB=VAC2+BC2="+产5'

sinB=~^=±

AB5

【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常

考题型.

8.（2019秋•滩溪县期末）已知cosa=3,则锐角a的取值范围是（)

4

A.00<a<30°B.30°<a<45°C.45°<a<60°D.60°<a<90°

【考点】锐角三角函数的增减性.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【分析】根据余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）;

【解答】解：Vcos30°=义£cos45°

22

V7~

，30°<a<45",

故选：B.

【点评】考查了锐角三角函数的增减性，关键是熟练掌握当角度在0。〜90°间变化时,

①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）;

②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）;

③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.

9.（2021•黄冈模拟）如图，下列图形从正面看是三角形的是（)

【考点】简单几何体的三视图.

【专题】空间观念.

【分析】分别写出各选项中几何体的从正面看到的图形，进一步选择答案即可.

【解答】解：A、三棱柱从正面看到的是长方形，不合题意;

B、圆台从正面看到的是梯形，不合题意；

C、圆锥从正面看到的是三角形，符合题意；

D.长方体从正面看到的是长方形，不合题意.

故选：C.

【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握简单几何体的特征.

10.（2019•莲湖区模拟）如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三

种视图中面积最小的是（）

A.主视图B.俯视图C.左视图D.一样大

【考点】简单组合体的三视图.

【专题】几何图形；空间观念.

【分析】如图可知该几何体的正视图由5个小正方形组成，左视图是由3个小正方形组

成，俯视图是由5个小正方形组成，易得解.

【解答】解：如图，该几何体正视图是由5个小正方形组成，

俯视图是由5个小正方形组成，

故三种视图面积最小的是左视图.

故选：C.

【点评】本题考查的是三视图的知识以及学生对该知识点的巩固.解题关键是找到三种

视图的正方形的个数.

二.填空题（共5小题）

：

11.（2016春•无锡校级期中）若双曲线）'=（2/n-1）xm-2的图象在第一、三象限，则

函数的解析式为'，=上.

X

【考点】反比例函数的定义；反比例函数的性质.

【分析】反比例函数y=K（k是常数，AWO）的图象在第一，三象限，则%>0,依此可

X

得方程，求出机，％的值.

2

【解答】解：•：双曲线y=（2/n-1）xm-2的图象在第一、三象限,

：.2m-1>0£LW2-2=-1,

解得m=\.

*.2m-1=1,

/.函数的解析式为y=—.

x

故答案为：y=l.

【点评】此题主要考查了反比例函数图象的性质：（1）%>0时，图象是位于一、三象限;

（2）%<0时，图象是位于二、四象限.

12.（2013•路北区二模）函数y=4当y》-2时，x的取值范围是；（<-2或下>0（可

7

结合图象求解）.

【考点】反比例函数的图象.

【分析】本题要注意的是当-2时，反比例函数图象位于直线>>=-2的上方，结合

图象可直观判断.

【解答】解：当y》-2时，反比例函数图象位于直线y=-2的上方，它的图象在一、

三象限，

所以对应的x的取值范围是xW-2或x>0.

【点评】主要考查了反比例函数的图象性质.反比例函数y=K的图象是双曲线，当%>

x

0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当&V0时，它的两个分支分别位于第二、

四象限.

13.（2020秋•炎陵县期末）已知2b=旦,则旦=_旦_.

3a-b4b9

【考点】比例的性质.

【分析】根据一义=3,可得曳a=匡，再根据比例的性质即可求解.

3a-b42b3

【解答】解：：一^=3,

3a-b4

•・•一3a-一b—_—4,

2b3

."工=生

"2b~2§，

.•.包=11.

"b-V

故答案为：11.

9

【点评】此题考查了比例的性质，关键是将一生=3变形为红＞=名.

3a~b42b3

14.（2021•济宁三模）如图，^ABC的顶点都是正方形网格中的格点，贝IItanNABC=1.

一2一

【考点】锐角三角函数的定义.

【分析】根据正切：锐角A的对边«与邻边b的比叫做/A的正切，记作tanA,利用网

格计算即可.

【解答】解：tan/4BC=2=L,

42

故答案为：1.

2

【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关健是掌握锐角三角函数的定义.

15.（2012•淮安模拟）长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是24.

【考点】认识立体图形；简单几何体的三视图.

【分析】由所给的视图判断出长方体的长、宽、高，让它们相乘即可得到体积.

【解答】解：由主视图可知，这个长方体的长和高分别为4和3,由俯视图可知，这个长

方体的长和宽分别为4和2,因此这个长方体的长、宽、高分别为4、2、3,因此这个长

方体的体积为4X2X3=24.

故答案为：24.

【点评】本题主要考查了由两种视图来推测整个正方体的特征，这种类型问题在中考试

卷中经常出现，注意：主视图主要反映物体的长和高，左视图主要反映物体的宽和高，

俯视图主要反映物体的长和宽.

三.解答题(共10小题)

16.(2010秋•黄冈期末)已知y=yi+*,yi与(x-1)成正比例，”与(x+1)成反比例，

当x=0时，y--3,当x=l时，y=-l.

(1)求y的表达式；

(2)求当x=—1■时y的值.

【考点】函数值；正比例函数的定义；反比例函数的定义.

【专题】探究型.

【分析】(1)先根据题意得出yi=&i(x-1),根据y=yi+”，当x=0时，y

x+1

=-3,当x=l时，y=-1得出x、y的函数关系式即可；

(2)把x=二代入(1)中的函数关系式，求出y的值即可.

2

【解答】解：(1)二川与(X-1)成正比例，丁2与(x+l)成反比例,

/、kn

/•yi=ki(x-1),yi=—―,

x+1

•；y=yi+)%当x=0时，y=-3,当x=l时，y=-1.

<-3=-k]+k2

(1，

-1节k2

:・k2=~2,内=1,

・・.y=x-1-；

x+1

(2)当x=--1,y=x-1--?—=-A-1-----—=-Ak.

2'x+12上12

为+1

【点评】本题考查的是反比例函数及正比例函数的定义，能根据题意得出y与x的函数

关系式是解答此题的关键.

17.(2019春•长春期中)已知反比例函数y=X二1,为常数，21).

x

(1)若点4(1,2)在这个函数的图象上，求氏的值；

(2)若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求后的取值范围；

(3)若％=13,试判断点B(3,4),C(2,5)是否在这个函数的图象上，并说明理由.

【考点】反比例函数的性质.

【分析】(1)把点A的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解即可；

(2)根据反比例函数图象的性质得到：k-1<0,由此求得％的取值范围；

(3)把点3、C的坐标代入函数解析式进行一一验证.

【解答】解：(1)•••点A(1,2)在这个函数的图象上，

：.k-1=1X2,

解得％=3；

(2)•・•在函数y=R图象的每一支上，y随x的增大而增大，

x

：.k-1<0,

解得“<1;

(3)±=13,有％-1=12,

反比例函数的解析式为尸」1

X

将点B的坐标代入)，=12,可知点B的坐标满足函数关系式，

X

点B在函数的图象上，

X

将点C的坐标代入y=」2,由5r丝，可知点C的坐标不满足函数关系式，

x2

点C不在函数y=」2的图象上.

x

【点评】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式.注意：反比

例函数的增减性只指在同一象限内.

18.(2020秋•鱼台县期末)若史2卫电，且2a-6+3c=21.试求。：b：c.

346

【考点】比例的性质.

【分析】设比值为比然后用左表示出。、b、c,再代入等式求出k值，然后相比即可.

【解答】解：设引2=t=£坦=鼠

346

则a=3E-2,b=4k,c=6k-5,

所以，2(3k-2)-4&+3(6左-5)=21,

解得k=2,

所以〃=6-2=4,6=8,c=7,

所以a：b：c=4：8：7.

【点评】本题考查了比例的性质，利用“设攵法”表示出。、。、c可以使计算更加简便.

19.（2017秋•庐阳区校级月考）已知包=£=2,求空灯和£二色的值.

bdac+d

【考点】比例线段.

【专题】几何图形.

【分析】根据比例的性质直接求解即可.

【解答】解：因为包=£=2,

bd

可得：a=2b,c=2d,

所以a+b=2b+b3c-d=2d-d

a2b2c+d2d+d3

【点评】本题主要考查比例线段问题，关键是根据比例的性质解答.

20.（2016秋•海淀区期中）如图1,在线段48上找一点C,。把A8分为AC和C8两段，

其中BC是较小的一段，如果BC・AB=AC2,那么称线段AB被点C黄金分割.为了增加

美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域.如图2,在我国古代

紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑

的位置关系满足黄金分割.已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，求太和门到太和

殿之间的距离（旄的近似值取2.2）.

ettXWM

2J丽

M

故宫博物院

0

ft.OC4

3伶3!

a■女18蛮诲仁.

eI

fi.

ACB

t.

图1图2

【考点】近似数和有效数字；黄金分割.

【分析】根据黄金分割的概念列出比例式，计算即可.

【解答】解：设太和门到太和殿的距离为x丈，

由题意可得，7=100（100-%）

解得，Xi=-50+50晶，乂2=-50-50内（舍去）

则x七-50+50X2.2=60,

答：太和门到太和殿的距离为60丈.

【点评】本题考察的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段4C和8C（4C

>BC）,且使AC是4B和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割.

21.（2021•红桥区模拟）如图，在RtZXABC中，NC=90°，2c=8,2c=6,求sinA,cosA,

【考点】锐角三角函数的定义.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；模型思想.

【分析】根据勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的定义求解即可.

【解答】解：由勾股定理得，AB=^BC2+AC2=^g2+62=10,

所以sin4=©k=3,COSA=-^.=A,tan4=@±=3,

AB5AB5AC4

q4q

答：sinA=?，cosA=—,tanA=—.

554

【点评】本题考查锐角三角函数，勾股定理，掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是正

确解答的关键.

22.（2006•巴中）如图，在所示的直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是（6,y）,

且OP与x轴的正半轴的夹角a的正切值是邑，求角a的正弦值.

【考点】同角三角函数的关系.

【专题】计算题.

【分析】首先由点P向x轴引垂线，结合锐角三角函数值和点P的横坐标，求得点P的

纵坐标；

再根据勾股定理求得构造的直角三角形的斜边，从而求得该角的正弦值.

【解答】解：作尸CLv轴于C.

Vtana—A,0C=6

3

：.PC=8.

则0P=10.

则sina=A.

【点评】综合运用了点的坐标、勾股定理以及锐角三角函数的概念.

23.（2020秋•原州区期末）如图，从上往下看4、B、C、。、E、尸六个物体，能得到a、b、

c、d、e、/六个图形，请把上下两行中对应的图形与物体连接起来.

.c||

a।bde

am..-3：

ABC

【考点】简单组合体的三视图.

【专题】儿何图形问题.

【分析】俯视图是从物体上面所看到的图形，可根据各立体图形的特点进行判断.

【解答】解：连线如下:

【点评】本题考查了三视图的知识,俯视图是从物体的上面看所得到的视图.

24.（2019秋•永安市期末）如图①是一张长为18cm,宽为12。"的长方形硬纸板.把它的

四个角都剪去一个边长为X。”的小正方形，然后把它折成一个无盖的长方体盒子（如图

②），请回答下列问题：

（1）折成的无盖长方体盒子的容积V=（18-2x）・（12-2x）・xCT??3：（用含X的代数

式表示即可，不需化简）

（2）请完成下表，并根据表格回答，当x取什么正整数时，长方体盒子的容积最大？

x/cm12345

V/cn^16022421616080

（3）从正面看折成的长方体盒子，它的形状可能是正方形吗？如果是正方形，求出x的

值；如果不是正方形，请说明理由.

正面

图①图②

【考点】列代数式；展开图折叠成几何体；简单几何体的三视图.

【专题】投影与视图；空间观念；模型思想；应用意识.

【分析】（1）表示出长方体盒子的长、宽、高，即可表示出体积;

（2）把x的值分别代入（1）中的代数式求值即可;

（3）若正面是正方形，说明长方体的长和高相等，列方程求解，再进行检验即可.

【解答】解：（1）由题意得，长方体盒子的长（18-2x）、宽（12-2x）、高x,因此体积

为：(18-2x)»(12-2x)«x,

故答案为:（18-2x）«（12-2x）«x,

（2）把x=2代入（18-2x”（12-2x”x得，（18-2x）«（12-2x）*x=14X8X2=224,

把x=4代入（18-2OV12-2x）・x得，（18-2x）«12-2x）・x=10X4X4=160,

故答案为：224,160；

（3）它的形状不可能是正方形，

当18-2x=x时，即x=6,而当x=6时，图①的长边变为0,因此折不成长方体，故从

正面看是正方形是不可能的.

【点评】考查展开与折叠，抽象出长方体的长、宽、高与原长方形的边长之间的关系是

正确解答的关键.

25.(2020•西城区校级模拟)有这样一个问题：探究函数了=工」的图象与性质.小彤根据

x-3

学习函数的经验，对函数y=2二1的图象与性质进行了探究.

x-3

下面是小彤探究的过程，请补充完整：

(1)函数\，=2Z1的自变量x的取值范围是xW3:

x-3

(2)下表是y与x的几组对应值：

X・・•-2-101245678…

y…3_m20-13253_7_...

53325

则m的值为A；

一2一

(3)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根

据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；

(5)若函数y=&二1的图象上有三个点A(xi,yi)、B(x2,”)、C»),且xi<3

x-3

<x2<xy,则)"、y2>V3之间的大小关系为yi〈v3<y2；

【考点】反比例函数的图象；反比例函数的性质.

【专题】函数及其图象.

【分析】(1)依据函数表达式中分母不等于0,即可得到自变量x的取值范围；

(2)把x=-1代入函数解析式，即可得到m的值；

(3)依据各点的坐标描点连线，即可得到函数图象；

(4)依据函数图象，即可得到函数的增减性；

(5)依据函数图象，即可得到当超V3时，yiVl；当3VX2〈X3时，

【解答】解：(1)3W0,

(2)当x=-1时，

x-3-42

(4)由图象可得，当x>3时，y随x的增大而减小(答案不唯一)；

(5)由图象可得，当X1V3时，yi<1；当3Vx2V工3时，1

.•.yi、y2>”之间的大小关系为yiVy3V*.

故答案为：x#3；―；当x>3时，y随x的增大而减小；y\<y3<y2.

2

【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，用描点法画反比例函数的图象，步

骤：列表——描点——连线.连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连

接，切忌画成折线.

考点卡片

1.近似数和有效数字

（I）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这

个数的有效数字.

（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示.一般有，精确到哪一位，保留几个

有效数字等说法.

（3）规律方法总结：

“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是

不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相

对更精确一些.

2.列代数式

（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，

就是列代数式.

（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义.列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，

仔细辩析词义.如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分.②

分清数量关系.要正确列代数式，只有分清数量之间的关系.③注意运算顺序.列代数式

时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低

级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来.④规范书写格式.列代数时要按要求

规范地书写.像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除

法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括

号，什么时要加括号.注意代数式括号的适当运用.⑤正确进行代换.列代数式时，有时

需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换.

【规律方法】列代数式应该注意的四个问题

1.在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量.

2.要注意书写的规范性.用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“X”

简写作“；，或者省略不写.

3.在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成

假分数.

4.含有字母的除法，一般不用“小”（除号），而是写成分数的形式.

3.函数值

函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值.

注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数

值时，求相应的自变量的值就是解方程；

②当自变量确定时，函数值是唯一确定的.但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多

个.

4.正比例函数的定义

（1）正比例函数的定义：

一般地，形如枭是常数，k#0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.

注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常

数，ZWO,/是正数也可以是负数.

（2）正比例函数图象的性质

正比例函数（%是常数，AWO）,我们通常称之为直线y=fcx.

当人>0时，直线y=依依次经过第三、一象限，从左向右上升，），随x的增大而增大；当k

<0时，直线），="依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减