2022届北京中学高三（上）入学数学试卷（学生版+解析版）

2022届北京中学高三（上）入学数学试卷

一、选择题。本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选

出符合题目要求的一项.

1.(5分)已知集合A={x€Z|』W9},B={#v>-2},则AAB=()

A.{0,1,2,3}B.{1,2,3}C.{-b0,1,2,3}D.{x|-2<xW3}

2.(5分)实数相，"满足，贝!]()

]]_____

A.--m-V——nB.y/m—y/n<y/m-n

C.(i)m>(1)nD.i^<mn

3.(5分)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同

的选法共有()

A.12种B.16种C.20种D.24种

4.(5分)函数/(x)=-x^+2x+b2-b+\（左R）,当1］时，/（x）>0恒成立，则

匕的取值范围是（）

A.(-1,0)B.(2,+°°)

C.(-8,-1)U(2,+8)D.不能确定

5.（5分）设语句甲：“事件A与事件8是对立事件”，语句乙：“P（A）+P（B）=1"，则

甲是乙的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.（5分）已知（7+|尸的展开式的各项系数和为243,则展开式中/的系数为（）

A.5B.40C.20D.10

7.（5分）已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一

个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球

的概率（）

3132

A.—B.-C.-D.一

10389

8.（5分）通过随机询问110名性别不同的学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

男女总计

爱好402060

不爱好203050

总计6050110

得到的正确结论是（）

参考数据

P（心0.150.100.050.0250.0100.005

公）

也2.0722.7063.8415.0246.6357.879

2

参考公式：片:向忌猊％E，其中〃

A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C.有95%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

D.有95%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

9.（5分）若&=粤，b=竽，c=萼，则（）

A.a<b<cB.c<h<aC.c<a<bD.h<a<c

10.（5分）安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作至少由1人完成，

则不同的安排方式共有多少种（）

A.120种B.180和1C.240种D.150种

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

11.（5分）在（石―》3的展开式中，常数项是.

12.（5分）已知随机变量X〜N（l,。2）,若p（x>0）=0.8,则P（X22）=.

13.（5分）一个盒子中有6只白球、4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次，则

第二次取到白球的概率是.

14.（5分）下列说法：

①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；

②用相关指数网来刻画回归的效果，网值越接近于1,说明模型的拟合效果越好；

③比较两个模型的拟合效果.可以比较残差平方和的大小，残差平方和越大的模型，拟

合效果越好；

④通过回归直线方程y=bx+a可以估计预报变量的取值和变化趋势.

其中正确的有(写出所有正确命题的序号).

15.(5分)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为.

16.(5分)若指数函数y=d(a>0且与三次函数y=F的图象恰好有两个不同的交

点，则实数。的取值范围是.

三、解答题。共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

17.(13分)已知函数/(x)—ax1-(a+2)x+2,a&R.

(I)若a=l,求/(x)>0的解集；

(II)若/(x)<3-2x对Vx€R恒成立，求a的取值范围.

18.(13分)函数f(x)=ar+x/nx在x=l处取得极值.

(1)求证：f(x)+120恒成立;

(2)若y=f(x)-1在g,+8)内有两个不同的零点，求实数的取值范围.

19.(14分)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/

立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，

获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差

数列.

(1)求a,b,c的值；

(2)根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w定为多少？

(精确到小数点后2位)

(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5

立方米的人数记为X,求P(XW2)的概率.

20.(15分)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一

件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.

(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

(ID已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出

3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)

1

21.(15分)已知函数=e"—+2工2,其中。＞-1

(1)当。=0时，求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)当。=1时，求函数/G)的单调区间；

(3)若f(%)N+%+b对于xER恒成立，求6-〃的最大值.

2022届北京中学高三(上)入学数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题。本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选

出符合题目要求的一项.

1.(5分)已知集合4={在2丛<9},H={x\x>-2},则ACB=()

A.{0,1,2,3}B.{I,2,3}C.{-1,0,1,2,3}D.{x|-2<xW3}

【解答】解：：A={xeZ|-3WxW3}={-3,-2,-1,0,1,2,3},B={x|x>-2},

."("18={-1,0,1,2,3).

故选：C.

2.(5分)实数nz,"满足，贝lj()

1]______

A.--m-V---nB.y/rn—Vn<7械一■

C.(i)m>(1)nD.n^<mn

【解答】解：对于A,故错误；

对于8,平方得：m+n-2yjmn<m-n,

故nVyjmn,故小故8正确；

对于C,函数)，=&尸是减函数，故C错误，

对于。，w2-mn=mCm-«)>0,故序>〃〃2,故/)错误，

故选：B.

3.(5分)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同

的选法共有()

A.12种B.16种C.20种D.24种

【解答】解：从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，所有的方法有/=20利

其中没有女生入选的方法有尊=4种，

故至少有1位女生入选的方法有20-4=16种，

故选：B.

4.(5分)函数/(X)=-jr+2x+b2-b+\(/?GR),当1,1]时，f(x)>0恒成立，则

b的取值范围是()

A.(-1,0)B.(2,+8)

C.(-8,-1)u(2,+8)D.不能确定

【解答】解：•••函数f(x)=-/+2彳+廿-匕+1(86R)的图象的对称轴为x=l,

当xW[-1,1]时,/(x)>0恒成立，f(x)的最小值为1(-1)=廿一人-2,

...廿-6-2>0,-1或Q2,则6的取值范围为(-8,-1)u(2,+8).

故选：C.

5.(5分)设语句甲：”事件A与事件8是对立事件”，语句乙：“P(A)+P(B)=1"，则

甲是乙的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：若事件A与事件8是对立事件，则AUB为必然事件，

再由概率的加法公式得尸(A)+P(B)=1.

设掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件8：“3次出现正面”，则P(A)

7,、1

=op»P(B)o=五,

满足P(A)+P(8)=1,

但A、8不是对立事件.

甲是乙的充分不必要条件

故选：A.

6.(5分)已知(炉+|产的展开式的各项系数和为243,则展开式中P的系数为()

A.5B.40C.20D.10

【解答】解：由(炉+,产的展开式的各项系数和为243,

得3"=243,即〃=5,

，(炉+$-(炉+令5,

由T-i=G.(x3)5-r.(夕=2r--x15~4r,

取15-4r=7,得r=2,

二展开式中?的系数为22x量=40.

故选:B.

7.(5分)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一

个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球

的概率（）

【解答】解：设“第一次拿到白球”为事件A,“第二次拿到红球”为事件3

21131

:•P（A）=而=耳，P=耳乂3=正

工

则所求概率为尸（B|A）=餐祟=卒另

参考数据

P（片》0.150.100.050.0250.0100.005

fe）

氐2.0722.7063.8415.0246.6357.879

2

参考公式：产=舟威品为（闲y其中〃="+>，+&

A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C.有95%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

D.有95%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

,、2

【解答】解：.•«=吟然部越普=7.822>6.635,

・••有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关

故选：A.

9.（5分）若。=粤，b=竽，©=萼，则（）

A.a〈b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b〈a<c

【解答】解：•••"、=詈—詈

2ln3-3ln2In9—ln8、八

=6—二—^2

：.cC>b,

..ln3ln5m243—"125y

.”-，=丁一丁=----15-------2

...In2ln5In32—ln25、八

'b-c=-^—=一io—2

：.b>c,

故c<b〈a,

故选：B.

10.（5分）安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作至少由1人完成，

则不同的安排方式共有多少种（）

A.120种B.180种C.240种D.150种

【解答】解：第一步：将五项工作分成三组有两类方案：一是2,2,1；二是3,1,1.故

共有它+竽=25种分组方案；

第二步：将三组工作分给三个人有a=6种方法；

故共有25X6=150（种）

故选：D.

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

11.（5分）在（«—令3的展开式中，常数项是-6.

【解答】解：展开式的通项公式为Tr+i=G•（a）3f.（一V=C'（-2）rX-,

3—3r

令一^一=0,解得r=l,

所以常数项为C2（一2）1=-6,

故答案为：-6.

12.（5分）已知随机变量X〜N（1,。2）,若尸（x>0）=0.8,则P（X22）=0.2.

【解答】解：随机变量E服从正态分布N（1,。2）,

，曲线关于x=l对称，

：.P(X22)=P(XWO)=1-P(X>0)=0.2

故答案为：0.2.

13.（5分）一个盒子中有6只白球、4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次，则

3

第二次取到白球的概率是~.

【解答】解：根据题意，第一次取到白球，第二次也取到白球的概率为尸产磊x|=g,

第一次取到黑球，第二次取到白球的概率为22=志x於2，

所以第二次取到白球的概率为P=Pi+P2=|+^=|.

3

故答案为：—.

14.（5分）下列说法：

①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；

②用相关指数R2来刻画回归的效果，R2值越接近于］,说明模型的拟合效果越好；

③比较两个模型的拟合效果.可以比较残差平方和的大小，残差平方和越大的模型，拟

合效果越好；

④通过回归直线方程y=bx+a可以估计预报变量的取值和变化趋势.

其中正确的有①②④（写出所有正确命题的序号）.

【解答】解：对于①，在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选

用的模型比较合适，故①正确；

对于②，用相关指数号来刻画回归的效果，*值越接近于1,说明模型的拟合效果越好，

故②正确；

对于③，比较两个模型的拟合效果.可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模

型，拟合效果越好，故③错误；

对于④，通过回归直线方程y=bx+a可以估计预报变量的取值和变化趋势，故④正确.

故答案为：①②④.

15.(5分)已知x>0,y>0,x+3y+q=9,则x+3y的最小值为6.

【解答】解：由于x>0,y>0,x+3y+xy=9,

1

贝ij9-(x+3y)=xy=xx3y,

11(x+3y)2

-xxx3y<-x------,

3,34

当且仅当x=3y时,取

贝匹匕时产+及+孙=9,

（x=3y

由于x>0,y>0,解得t；：，

故x+3y=6

故答案为6.

16.（5分）若指数函数y="（a>0且与三次函数y：%3的图象恰好有两个不同的交

3

点，则实数4的取值范围是（1,〃）.

【解答】解：函数y=/在（-8,+8）上单调递增，在（-8,o）±y<0,在（0,

+°°）上y>0,

当OVaVl时，y=a"在（-8,+8）上单调递减，且y>0

所以两个函数图象只有一个交点，不符合题意，

当时，y=/在（-8,+oo）上单调递增，且）>0,

所以只能是在（0,+°°）上函数y=",与y=/有两个交点，

即在（0,+8）上，方程/=/有两个不等实数根，

所以在（0,+8）上，方程"”=等有两个不等实数根，

令g（x）=等，（x>0）

,）_3（1-fax）

gW-x2'

在（0,e）上，g'（x）>0,g（x）单调递增，

在（e,+8）上，g1（x）<0,g（x）单调递减，

所以g（X）min=g（e）==株”,

3

所以OV/〃aV/〃e0,

3

所以\<a<ee.

3

故答案为：（1,ee）

三、解答题。共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

17.（13分）已知函数/（X）=ajr-（a+2）x+2,aER.

（I）若。=1,求/（x）>0的解集；

（II）若f（x）V3-2x对VxWR恒成立，求a的取值范围.

【解答】解：(I)若。=1,因为/(公>0,

所以7-3X+2>0,即(x-1)(%-2)>0,

解得x<l或x>2,

即/(%)>0的解集为(-8,1)u(2,+8).

(II)由/(x)<3-2%恒成立，

即ox2-(a+2)x+2<3-2x恒成立，

可得ox2-公-i<o恒成立，

当。=0时，-1<0恒成立，满足题意；

当aWO时，要使―-ax-1<0恒成立，则卜,

(△<0

即『〈°,解得-4<a<0.

(a2+4a<0

综上，可得实数。的取值范围是(-4,0J.

18.(13分)函数/(X)=方+旦/吠在无=1处取得极值.

(1)求证：/(%)+120恒成立；

(2)若y=/(x)-"?-1在g,+8)内有两个不同的零点，求实数机的取值范围.

【解答】解：(1)证明：f(%)=a+/〃x+l,

..,函数/(x)=ax+x加x在x=l处取得极值，

/./(1)=a+l=0,解得Q=-1,

经过验证满足题意.

A/(x)=xlnx-x,xE(0,+°°).

f(x)=lnx+\-\=lnx,

可得函数/co在(o,i)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.

・・・x=l时函数/G)取得极小值即最小值.

：.f(x)+12/(1)+1=0-1+1=0,

：.f(x)+120恒成立.

(2)y=f(x)-"?-1在g，+8)内有两个不同的零点=函数f(x)与函数y=/〃+l的

图象在弓，+8)内有两个不同交点，

由(1)可得：函数/(X)在弓，1)内单调递减，在(1,+8)上单调递增.

又1/(1)=-1,f(-1)=2f(e02)=^02>0,

771

/.-1<///+1<-即-2VmW---1时，函数/(x)与函数y=m+l的图象在,+co)

内有两个不同交点.

二机的取值范围是(-2,-|一1].

19.(14分)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过卬立方米的部分按4元/

立方米收费，超出卬立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，

获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差

数列.

(1)求a,b,c的值；

(2)根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w定为多少？

(精确到小数点后2位)

(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5

立方米的人数记为X,求P(XW2)的概率.

【解答】解：(1)•••前四组频数成等差数列，

.•.所对应的频率也成等差数列，

设。=0.2+4,b=0.2+2d,c=0.2+3d,

A0.5(0.2+0.2+d+0.2+2d+0.2+3d+0.2+d+0.1+0.1+0.1)=1,

解得d=Ol,<7=0.3,b=0.4,c=0.5.

(2)由图可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7V0.8,

二为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，

即(w-2.5)X0.3=0.1,

卬22，83.

所以W定为2.83立方米.

(3)将频率视为概率，设A代表居民月用水量，由图知:

P(AW2.5)=0.7,

由题意X〜B(3,0.7),

PGW2)=\-P(x=3)

=1-0.73

=0.657.

故P(XW2)的概率为0.657.

20.(15分)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一

件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.

(I)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

(II)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出

3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)

【解答】解：(I)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,

则P(A)=甯=条

(II)X的可能取值为：200,300,400

P(X=200)="=3.

展10

P(X=300)=—~国=10

P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=-^

X的分布列为：

X200300400

P136

1010