2021-2022新年高一年级上册期末考试数学模拟试题二（解析版）（人教A版2019）

2021-2022学年高一数学上学期期末考试模拟试题二

一、单选题

1.(2021•辽宁•抚顺市第六中学高一期末)命题VxeR,V+।>。的否定形式是()

A.3x0eR,x()+1>0B.Vx0eR,x；+140

C.eR,XQ+1<0D.3x()eR,XQ+1<0

【答案】D

【分析】

根据全称命题的否定是特称命题求解.

【详解】

因为命题：VxwR,x2+1>0>是全称命题，

所以其否定是特称命题，故为：3x0€/?,xj+l<0.

故选：D

8=L+4x+3>o},则Au8=(

2.(2021♦四川新都•高一期末)已知A=<0)

A.(-1,0]B.(-1,0)

C.(-oo,-3)u(-l,+oo)D.(-<»,-3)5-2,+oo)

【答案】D

【分析】

先解不等式求出集合A,8,再进行并集运算即可求解.

【详解】

x(x+2)<0

—^<0x=[x\-2<x40},

x+2x+2w0

B={x,+4x+3>o|=|x|(x+l)(x+3)>0|={x|x<-3或x>-1},

所以{x|x<-3wgx>-2}=(-w,-3)o(-2,-K»),

故选：D.

3.(2020•江苏省西亭高级中学高一期末)已知函数f(x)满足/(3x+l)=V+3x+2,贝()

A.10B.6C.4D.2

【答案】D

【分析】

先用换元法求出/&)的解析式，直接代入即可.

【详解】

对于/(3x+1)=x2+3x4-2,

令f=3x+l,则*=一"

所以/(，)=(0+3(半卜2

所以，1)=2.

故选：D

4.(2021•四川南充•高一期末)已知函数〃x)=x2,设“=/(log,0.2),Z.=/(3-0-2),c=/(-3"),则()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

【答案】c

【分析】

由函数的奇偶性变形，由指数函数和对数函数性质判断嘉与对数大小，然后根据函数的单调性判断.

【详解】

f(X)=x2是偶函数，

IJ

/(-3")=/(3),/(log30.2)=/(-log,0.2)=/(log35),

由指数函数和对数函数性质知0v3<2<1,3">3,l<log35<2,

所以0<3"<log,5<3L,,又fix)在(0,xo)上是增函数，

所以/(34)</(log,5)</(3"),即b<a<c.

故选：C.

5.(2020•云南•富源县第六中学高一期末)已知函数/(x)=gsinXCOSX,则下列结论中正确的是()

A.〃x)既是偶函数又是周期函数B.f(x)的图象关于直线》=专对称

C./(x)的最大值为。D.Ax)在区间上单调递减

44」

【答案】C

【分析】

利用二倍角的正弦公式、将函数/(X)化为:Sin2x,利用正弦函数的奇偶性，对称性，值域，以及单调性逐

一判断可得结果.

【详解】

解：/(x)=-^sinx-cosx=—sin2x,

对于A：/(-x)=^sin2(-x)=-lsin2x=-/(x),所以f(x)是奇函数，故A不正确；

对于B：/信)=%吟=*;，所以/⑶的图象不关于直线x=A对称，故B不正确；

对于C：因为—14sin2r41,所以-；4丁皿入所以“切的最大值为:，故C正确；

对于D：当xe0,(,2xe0,y,所以〃x)在区间0,?上单调递增，故D不正确，

故选：C.

6.(2020•安徽•立人中学高一*期末(理))已知sina-sinfi=1+-^,cosa-cos/3=J,贝IIcos(a-£)=()

A.-且B.--C.ID.也

2222

【答案】A

【分析】

山三角恒等变换公式，两式平方再相加求解即可

【详解】

7

+1

由题，(sina-sin/7)24-osa-cos/?)"

4

sin2a-2sinasin^+sin2〃=工+石

4

故，

cos2a-2cosacosp+cos2p=—

两式相加有2-2(sinasin/?+cosacos0=2+G,故cos(a-Q)=--热

故选：A

【点睛】

本题主要考查了三角恒等变换求解三角函数值的问题，需要熟悉三角函数的公式，根据题意计算求解，属

于中档题

"|lgx|,0<x<10

7.(2020•广东•阳东广雅学校高一期末)函数〃x)=1,,八，若f(a)=/(b)=/(c)且a,b,

——x+6,x>10

I2

c互不相等，则abc的取值范围是()

A.(1,10)B.(10,12)C.(5,6)D.(20,24)

【答案】B

【分析】

先画出分段函数的图象，根据图象确定字母a、b、c的取值范围，再利用函数解析式证明ab=l,最后数形

结合写出其取值范围即可

|lgx|,0<x<10

解:函数/(x)=<的图象如图:

—x+6,x>10

2

0/(a)=f(b)=f(c)且a,b,c互不相等

加团(0,1),b0(1,10),由(10,12)

团由/(a)=/(b)得|lga|=|lgb|,即Tgo=lgb,UPab=l

团abc=c

由函数图象得abc的取值范围是(10,12)

8.(2021•广东惠州•高一期末)酒驾是严重危害交通安全的违法行为!为了保障交通安全，根据国家有关规

定：100ml血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，达到80mg及以上认定为醉酒驾车.假

设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/ml,如果在此刻停止喝酒以后，他血

液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少要经过()小时后才可以驾驶机动车.

(参考数据：1g2"030,lg3«0.48).

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】

利用题中给出的信息，设他至少要经过f小时后才可以驾驶机动车，则60(1-20%)，＜20,然后利用指数与

对数的互化以及对数的运算性质进行求解，即可得到答案.

【详解】

某驾驶员喝了一定量的酒、，其血液中的酒精含量上升到了Q6mg/ml,

则l(X)ml血液中酒精含量达到60ml,在停止喝酒以后，

他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，

他至少要经过1小时后才可以驾驶机动车.则60(1-20%)'＜20,；.0.8'＜；,

>=4.8

083IIg4-lg5l-31g21-3x03

二整数f的值为5.

故选：C.

二、多选题

9.（2021•广东•揭阳第一中学高一期末）已知xeR,则下列等式恒成立的是（）

.7C-XX

A.sin（3^-x）=sinxB.sin------=cos—

22

D.=-sin2x

【答案】AB

【分析】

利用诱导公式可判断各选项的正误.

【详解】

sin（3^一x）=sin（4一x）=sinx

故选：AB.

10.（2021•广东高州•高一期末）已知Iog3〃>log3比则下列不等式一定成立的是（）

A.。<5<5B.Iog3（tz-Z?）>0

C.-D.

【答案】AD

【分析】

利用对数函数的单调性得到。>6>0,然后利用不等式的基本性质判断A；利用特殊值判断B；利用指数函

数和幕函数的单调性判断C；利用指数函数的单调性判断D即可.

【详解】

因为log3a>log?。,

所以a>b>0,

所以oJ<1,故选项A正确；

ab

41

当。=6=1时，log3（«-ft）=log3j=-l<0,故选项B错误:

又3所">3°=1,故选项C错误;

由指数函数和幕函数的单调性得故选项D正确.

故选：AD.

o-r_i

11.(2021•浙江•高一期末)已知函数=下面说法正确的有()

A./(x)的图像关于原点对称B./(x)的图像关于y轴对称

C.f(x)的值域为(-1,1)D.eR,且x产

-x2

【答案】ACD

【分析】

判断f(x)的奇偶性即可判断选项AB,求〃x)的值域可判断C,证明的单调性可判断选项D,即可得

正确选项.

【详解】

小)=封的定义域为R关于原点对称,

rX

2J-1_（2--1）212K

f（-x）==有7=--。)，所以/(x)是奇函数，图象关于原点对称,

2-x+l~（2-X+]]2X

故选项A正确，选项B不正确;

r

/⑶二7-公1:三4-1-*7=1-乙7，因为2，>0,所以2,+1>1，所以。<古1<1,

/IL4IX4I1J।'

-22、

-2<--<0,所以—ivl—可得的值域为(Tl,故选项C正确;

2+12+1

设任意的王<七，

22222（2*・2必）

则/（为）-/但）-1-2、+「（I-2,2+1）-2=+「2&+]-（2为+1乂2%+1），

2（2"-2'2）

因为2百+1>0,2*+1>0,2V,-T-<0,所以<0,

（2'1+1）（2V2+1）

即/(5)-/(羽)<0,所以/(*)二故选项D正确;

占一七

故选：ACD

【点睛】

利用定义证明函数单调性的方法

(1)取值：设X”三是该区间内的任意两个值，且西<々；

(2)作差变形：即作差，即作差/(%)-/(%),并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符

号的方向变形；

(3)定号：确定差/(%)一/(々)的符号；

(4)卜结论：判断，根据定义作出结论.即取值一作差一-变形一-定号--下结论.

12.(2021•江苏无锡•高一期末)已知定义在R上的奇函数f(x)满足尸(1-*)=/(1+*),且xe(0,l］时，

fM=-2x,则关于/(A-)的结论正确的是

A.7(x)是周期为4的周期函数B.Ax)所有零点的集合为｛x|x=2k,keZ｝

C.xe(-3,-l)时，/(x)=2%+6D.»=/*)的图像关于直线x=l对称

【答案】ABD

【分析】

A.f(1-x)=f(1+x)和fM为奇函数即可得出结论;

B.解出函数在一个周期内的零点：在［-2,2］内的零点为-2,0,2即可得出所有零点满足｛》忸=2%«€2｝：

C./(X)是周期为4的周期函数，所以a-2.5)=-1,若xe(-3,-1)时，,f(x)=2x+6则/(-2.5)=1#-1即可判定

解析式错误；

D,由H1-x)=f(1+x)得y=/(x)的图像关于直线x=l对称成立.

【详解】

解:对于A.由H1-X)=H1+X)得/(T)=/(1+1+X)=/(2+X),又/(x)为奇函数，

所以f(2+x)=」(-x)=-J(x),所以f(x+4)=f(x),故A正确.

对于B.由/(x)为定义在R上的奇函数得/(0)=0,由A可得f(2+x)=-/(x),令x=0J(2)=-f(0)=0,又

由A：A©是周期为4的周期函数，得/(-2)=/(2)=0,

所以在［-2,2］内的零点为-2,0,2,/。)是周期为4的周期函数,所以/。)所有零点的集合为｛工k=2%乂62｝,

故B正确.

对于c.由H1—X)=H1+X)得得y=f(x)的图像关于直线x=i对称，

结合A：f(x)是周期为4的周期函数，

所以/(-2.5)=/(1.5)=/(1+0.5)=/(1-0.5)=/(0.5)=-1,

若xe(-3,-1)时，/(x)=2x+6则/(-2.5)=2x(-2.5)+6=1#-1,故C不正确.

对于D.由尸(1-力=f(1+x)得》=/(*)的图像关于直线x=l对称，故D正确.

故选：ABD

【点睛】

函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题

时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利

用单调性解决相关问题.

三、填空题

13.(2021•人大附中北京经济技术开发区学校高一期末)函数/(X)=JY_5X+6的定义域是.

【答案】(3,2］u［3,包)

【分析】

根据偶次被开方数大于等于零，即可解出.

【详解】

由题可知，X2-5X+6>0,解得X23或X42,所以函数=的定义域是(y，2]“3,内).

故答案为：(-。。,2]33，+°°).

14.(2020•河南焦作•高一期末)已知函数y=/—2x+2,x«-l,何.若该函数的值域为[1,10],贝！P"=

【答案】4

【分析】

根据二次函数的单调性结合值域，分析最值即可求解.

【详解】

二次函数丫=/-2》+2的图像的对称轴为犬=1,

函数在xw(-oo,l)递减，在xe[l,+oo)递增，

且当x=l时，函数/(x)取得最小值1,

又因为当x=-l时，y=5,所以当x=〃i时，y=10,且他>一1,

解得"2=4或-2(舍)，故加=4.

故答案为：4

【点睛】

此题考查二次函数值域问题，根据二次函数的值域求参数的取值.

15.(2019•广东潮南•高一期末)已知sm.cosa=2,则tan伊-〃)=__________.

sina+cosa'7

【答案】3

【分析】

由同角三角函数商数关系及已知等式可得lana=-3,应用诱导公式有12115-0=-1211。，即可求值.

【详解】

sina-cosatana-1、~

由题设，----------=-------7=2,可Z得C1tana=-3,

sina+cosatana+1

Eltan(p-a)=-tana=3.

故答案为：3

四、双空题

16.(2021•湖南•雅礼中学高一期末)已知函数f(x)=|log3x|的定义域为3,句，值域为。，力，用含/的表达

式表示b-a的最大值记为M"),最小值记为NQ),设g(f)=M⑺-NQ).

(1)若f=l,贝!|M(D=；

(2)当14Y2时，的取值范围为

g(f)+l

Q79

【答案】|[6,y]

【分析】

(1)根据函数/(X)=|log3x|的单调性，结合定义域与值域进行分类讨论求解即可

(2)利用函数的单调性分类讨论，结合指数函数的单调性，运用换元法、构造函数法，再结合对钩函数的

单调性进行求解即可.

【详解】

(1)当0<x4l时，/W=|log.,^=-log3x=log,x)所以此时函数单调递减，

当x>l时，/(x)=|log3x|=log3x,所以此时函数单调递增，且/(D=0,

当f=l时，函数的定义域为3向，值域为[0,1],当f(x)=|log3x|=l=x=；或x=3,

当0<a<；时，显然存在故不符合题意；

11Q

当时，要想值域为[0,1],则有14643,此时“⑴=3-；=1

11Q

当;时，要想值域为[0,1],则有人=3,此时M⑴=3-§=鼻；

当。>1时,有/。)>0,所以值域不可能是[0,1],不符合题意，

Q

故M(l)=§;

(2)当0<"(3’时，因为1VK2,所以f(x)>/[([)']=log|(!)'=♦21,不符合题意;

33弓3

当(3)'=。时，要想值域为[0,力，必有14X3、

g(t)=M(t)-N(t)=3'-(-),-[1-(-)1]=3(-1,令〃z=g«)+1=3',

因为1Q2,所以3<%49,

[g(f)f+15--2"+16

=m-i------2,设/i(zn)=，"H-------2,»je[3,9],

g«)+l

因为函数屈相)在加e[3,4]时单调递减，在，〃e[4,9]时单调递增,

197979

人(m)min=〃(4)=6,〃(3)=—,h(9)=—,：.〃(⑼3=—

此时[g⑺1+15的取值范围为[6,多]；

g«)+l9

当时，要想值域为[0,力，必有b=3',b-a有最大值，没有最小值，故不符合题意；

当。>1时，/(%)>1,不符合题意，

综上所述：的取值范围为⑹?]；

【点睛】

关键点睛：本题的关键是针对。的不同位置，确定方的值，进而利用换元法、构造函数法，结合对钩函数的

单调性进行解题.

五、解答题

17.(2021•广东潮州•高一期末)设全集为R,集合A={X34x<5},B={x|x2-10x+16<0}.

(1)分别求AQB,(^B)UA；

(2)已知C={x[a<x<a+1},若求实数。的取值范围构成的集合.

【答案】(1)AnB={x|3<x<5),(&8)U4={HX42或34x<5或xN8}；(2){o|2<a<7}.

【分析】

(1)解一元二次不等式求得集合B，由交集、并集和补集的概念计算可得结果；

(2)根据集合的包含关系可构造不等式组求得结果.

【详解】

(1)8=_]()x+i6<0}={x|2vxv8},则45={1卜42或128},

AnB={x|3<x<5},(a8)°4={闻X42或34%<5或%28}；

/.、[a>2

(2)\-C={x\a<x<a+\]^0,CcB,।o,解得：2<々(7,

一>[4Z+1<8

则实数”的取值范围构成的集合为{«|2<“47}.

18.(2021•湖北•黄石市有色第一中学高一期末)如图，在平面直角坐标系xO)，中，以Ox轴为始边的两个锐

角a、夕，它们的终边分别交单位圆于A、B两点,已知A、8两点的横坐标分别为它和挛.

105

(1)求sina、sin月的值;

(2)求sin(a+2/7)的值.

【答案】(1)sina=7j,sin。=^~;(2)sin(a+2^)=-^--

【分析】

(1)利用三角函数的定义以及同角三角函数的基本关系可求得sina、sin月的值;

(2)求出sin2尸、cos2〃的值，利用两角和的正弦公式可求得sin(a+2⑶的值.

【详解】

(1)由三角函数的定义可知cosa=立，cos/?=2叵,

105

因为a为锐角，则sina>0,从而sina=Jl-cos2a=，

10

同理可得sinp=-Jl-cos2p=~~~，因此sina=，f,sinp=—^~；

4〉3

夕一

(2)vsin2/7=2sin^cos/?=—,cos2/7=2cos~1一丁

所以，sin(a+2/?)=sinacos2夕+cosasin2/3=陪*A**.

19.(2021•浙江•高一期末)已知函数/(x)=|x-l|・(x+3).

(1)将函数解析式写成分段函数的形式，然后在坐标系中画出/(x)的图象;

(2)根据图象直接写出的单调增区间.

(3)当k为何值时，方程/。)=及恰有两个解？

_i2x_3JC>1

【答案】(1)〃x)=,2二3"'图象见解析；⑵ST和叱)；⑶%=。或％="

【分析】

（1）将x和1比较去绝对值可得解析式，由二次函数的图象可得结果;

（2）直接根据图象即可得单调增区间；

（3）计算出/（T）的值，结合图象即可得结果.

【详解】

（1）当xNl时，f（x）=x2+2x-3,

当x<l,/（x）=-x2-2x+3,

X2+2x-3,x>\

所以"x）n

—x22x+3,x<1

（2）观察图可得函数/（x）的单调增区间为（—,-1）和（1，+8）.

（3）方程恰有两个解，即y=和y=A的图象有两个交点,

由于/（」）=4,

故当无=0或/=4时，方程/（X）=上恰有两个解.

20.（2021•河南•高一期末）某同学用"五点法”画函数f（x）=Asin（s+"0>O[dq）

在某一个周期内的

图象时，列表并填入了部分数据，如下表:

汽3%

cox+(p0n2〃

2T

n

XT~6

Asin（69X+c）05-50

(1)根据表中数据，求函数的解析式；

(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动。(。＞0)个单位长度，并把图象上所有点的横坐标缩短为原来

的g(纵坐标不变)，得到y=g(x)的图象.若g(x)图象的一个对称中心为求。的最小值；

(3)在(2)条件下，求g(x)在0,1上的增区间.

【答案】(1)/(x)=5sin(2x-J1；(2)最小值为?；(3).

【分析】

(1)直接利用五点法的应用求出相应的值.

(2)利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式.

(3)利用整体思想，求出函数的单调区间.

【详解】

(1)由表可知A=5,^-co+＜p=^-(T),苧0+e=W②，

联立①②解得0=2'展4'

冗3九

cox+（p0712兀

2~2

7t冗75%13

X—71—7V

12712~612

Asin（0x+9）050-50

f(x)=5sin(2x-高.

(2)回y=5sin(2x-?)向左平行移动6(。＞0)个单位后可得：y=5sin(2x+20同，

再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，(纵坐标不变)可得：y=5sin卜X+2。-2

S7T17T

令4x，4+2e——=k7T,keZ,回夕=一左左——,keZ,

24623

自当/=1时，此时。最小值为J;

O

(3)因为g(x)=5sin(4x+£],

令一]+2k/rK4x+7V]+2k兀,keZ、

jr1TT|

所以——+—k7T<X<一+—k7T,GZ,

62122

TT7T7171

XO<x<—,[?]0<X<——<X<—,

21232

酎(X)增区间为0令,J,j.

21.(2021•浙江浙江•高一期末)某汽车制造企业计划在2021年引进新能源汽车生产设备，通过市场分析,

全年需投入固定成本2500万元，每生产x(百辆)，需另投入成本C(x)(万元)，且

10X2+100X,0<X<40

C(x)=L,10000,sc”,、，该企业确定每辆新能源汽车的售价为5万元，并且全年内生产的汽车

501x+-------4500,x240

当年全部销售完.

(0)求2021年的利润/,(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式;

(0)2021年年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

-10x2+400%-2500,0Vx<40

【答案】(国)L(x)=10000,八(回)2021年生产100百辆时，该企业获得利润最大,

2000-(x+-----),X.40

X

且最大利润为1800万元.

【分析】

(0)根据年利润=销售额一投入的总成本一固定成本，分0<x<40和当"40两种情况得到L与x的分段函

数关系式；

(0)当0<x<40时根据二次函数求最大值的方法来求Z,的最大值，当X..40时，利用基本不等式来求L的

最大值，最后综合即可.

【详解】

解：(团)当0<X<40时，L(x)=500x-10x2-1OO.v-2500=-1Ox2+400x-2500；当x..40时，

“x)=500x-50lx-+4500-2500=2000-(x+12922)；

-I0X2+400X-2500,0<X<40

(0)当0<x<40时，L(X)=-10(X-20)2+1500,

，当x=20时，〃x)…=£(20)=1500；

当X..40时，L(x)=2000-(x+3独),,2000-2、1翌包=2000-200=1800；

innnn

当且仅当X=>——，即x=100时，=WOO)=1800>1500；

x

•••当x=100时、即2021年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元.

【点睛】

在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正一一各项均为正；二定