专题10抛物线及其方程（重难点突破）原卷版

专题10抛物线及其方程考点一：抛物线的定义定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．知识点诠释:（1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值（2）定义中的隐含条件：焦点F不在准线上，若F在上，抛物线变为过F且垂直与的一条直线.（3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化.考点二：抛物线的标准方程抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式，，，。知识点诠释：①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下）③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍.④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论.⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。考点三：抛物线的简单几何性质：抛物线标准方程的几何性质范围：，，抛物线y2=2px（p＞0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。对称性：关于x轴对称抛物线y2=2px（p＞0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。顶点：坐标原点抛物线y2=2px（p＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）。抛物线标准方程几何性质的对比图形标准方程y2=2px（p＞0）y2=－2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=－2py（p＞0）顶点O（0，0）范围x≥0，x≤0，y≥0，y≤0，对称轴x轴y轴焦点离心率e=1准线方程焦半径知识点诠释：（1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；（2）标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程.重难点题型突破1抛物线的定义及应用例1．(1)、（2020·福建省莆田市高三质检）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A为C上一点，且|AF|＝5，O为坐标原点，则△OAF的面积为（）A．2 B． C． D．4（2）、（23·24上·常州·期中）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点到轴的距离为（

）A． B． C．2 D．1【变式训练11】、（23·24上·赣州·期中）已知是抛物线：的焦点，A是上的一点，若，则A的纵坐标为.【变式训练12】．（河南省安阳一中2019届期末）若抛物线y2＝2x上的一点M到坐标原点O的距离为eq\r(3)，则点M到该抛物线焦点的距离为________．重难点题型突破2抛物线的几何性质例2．（1）、（22·23上·宜春·期末）已知抛物线：，则抛物线的焦点坐标为．（2）、（23·24上·银川·期中）如果抛物线的准线是直线，那么它的焦点坐标为（

）A． B． C． D．（3）、（22·23上·丰台·开学考试）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为3，则（

）A．4 B．5 C．6 D．7【变式训练21】、（23·24上·台州·期中）准线方程为的抛物线的标准方程为.【变式训练22】、（22·23上·贵阳·期中）抛物线的焦点到圆上点的距离的最大值为（

）A．6 B．2 C．5 D．8【变式训练23】、（2022·安徽蚌埠·一模）已知点是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于两点，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．9重难点题型突破3求抛物线的标准方程例3．（1）、（22·23上·津南·期末）准线为的抛物线的标准方程是（

）A． B．C． D．（2）、（22·23上·梅州·阶段练习）设抛物线C：的焦点为F，点M在C上，，若以MF为直径的圆过点，则C的方程为.【变式训练31】、（23·24上·焦作·阶段练习）顶点在原点，准线方程为的抛物线方程为（

）A． B． C． D．【变式训练32】、（23·24上·浦东新·期中）抛物线的准线方程为．例4．（22·23下·和田·期中）（1）求焦距是，离心率等于的椭圆的标准方程；（2）求顶点在原点，对称轴是轴，并经过点的抛物线的标准方程.【变式训练41】、（22·23·江苏·假期作业）求适合下列条件的抛物线的标准方程和准线方程：(1)抛物线的焦点到准线的距离是3，而且焦点在轴的正半轴上；(2)抛物线的焦点是.重难点题型突破4直线与抛物线位置关系例5、（23·24上·云南·阶段练习）已知抛物线：的焦点为，是上一点，其中，且．(1)求抛物线的方程；(2)过点的直线与相交于P，Q两点，若，求的值．【变式训练51】、（23·24上·茂名·阶段练习）已知抛物线：（）上的一点到准线的距离为1．(1)求抛物线的方程；(2)若正方形的三个顶点、、在抛物线上，求这种正方形面积的最小值．重难点题型突破5抛物线与其他圆锥曲线的综合问题例6.（1）、（21·22上·玉林·期末）已知抛物线的焦点F在直线上，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点，△的面积是△面积的4倍，则直线l的方程为．（2）、（23·24上·长沙·阶段练习）（多选题）已知是抛物线的焦点，是上的两点，为原点，则（

）A．若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为B．若，则的面积为C．若直线过点，则的最小值为D．若，则直线恒过定点【变式训练61】、（21·22上·全国·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，过点的直线l与抛物线交于，两点（其中），连接并延长交抛物线于点C，记直线l的斜率为k，直线的斜率为，则.【变式训练62】、（22·23·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点，则下列判断不正确的是（

）A．若过点，则的准线方程为 B．若过点，则C．若，则 D．若，则点的坐标为1．（23·24上·盐城·期中）抛物线的准线方程是（

）A． B． C． D．2．（23·24上·株洲·阶段练习）焦点坐标为的抛物线的标准方程是（

）A． B． C． D．3．（23·24·昆明·模拟预测）（多选题）在直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的倾斜角为的直线与相交于，两点，且点在第一象限，的面积是，则（

）A． B．C． D．4．（23·24上·南通·阶段练习）过点向抛物线引两条切线，切点分别为A，B，直线恒过的定点为.5．（23·24·全国·专题练习）已知点是曲线上任意一点，，连接并延长至，使得，求动点Q的轨迹方程．6．（23·24上·全国·课时练习）求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，