谈“用字母表示数”蕴含的三个前提

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）中一个较大的变化，是把“方程”的相关内容移到了初中，小学阶段则加强了“用字母表示数”的相关内容。笔者在日常工作、听课研讨中发现，一线教师在教学“用字母表示数”这部分内容时普遍忽视这部分内容蕴含的三个前提，即“已知与未知”“确定与不确定”“常量与变量”这三对关系。其实，一线教师只有厘清这三对关系，才有可能更好地设计教学，从而促进学生代数思维的发展及核心素养的培养。对小学生来说，真正理解“用字母表示数”并不是一件容易的事。英国伦敦大学CSMS（ConceptinSecondaryMathematicsandScience）数学研究小组对11～16岁孩子数学理解的研究结果表明，他们对“用字母表示数”有以下六种不同意义上的理解。一是“给字母赋值”，即一开始就用数值代替字母而得出答案，如“若a=3，则a+2=？”。二是“忽略字母的意义”，即置字母于不顾，或者承认其存在但不赋予任何意义，如“若a+b=12，则a+b+2=？”。三是“把字母当成物体”，即把字母看成物体的记号，或直接看成物体，如“3a+4a=？”中可把字母当成某种物体（如苹果、桃子等）。上述三种情况虽然都用到了字母，但并未把字母看成真正的未知量，所用思维仍停留在算术思维层面。四是“把字母看成特定的未知量”，即把字母看成一定的但未知的数，而且可以直接参与运算，如“2a与3相加是多少？答案是2a+3”。一些学生很难理解，这里含有字母的式子既可以表示运算过程，也可以表示运算结果，这其实已经是真正意义上的代数运算了，是从算术思维向代数思维的跨越，蕴含着已知与未知的关系。五是“把字母看成广义的数”，即认为字母代表（至少能取）几个数值，而不只是一个数值，如“若a+b=10，且a＜b，对a的值作出判断”。在这里，“a的值”深受这两个关系的约束，需要较高的分析水平，这就蕴含了确定与不确定的差异。六是“把字母看成变量”，即意味着字母表示的值在变化，如“比较2a与a+2，哪个大？”。在这里，a作为变量的思想就充分体现出来了，学生需要整体地、动态地看待字母代表数，具有较高的抽象水平，这又蕴含着常量与变量的区分。一、已知与未知的关系顾名思义，“已知”就是已经知道的，“未知”就是还未知道的。已知和未知是相互对立的，同时也是相互联系、相互依存、辩证统一的。没有已知，就谈不上未知；没有未知，已知也无从谈起。基于已知探寻未知，是数学研究和学习的基本方法。算术思维和代数思维的一大区别，就体现在对已知和未知关系的处理上。算术思维着重通过已知数量的运算求得未知的答案，如“4+2×3=4+6=10”就是按照四则运算的法则进行程序性的运算。所以，算术思维是程序性的、有方向性的，把已知和未知分别放在了等号的左边和右边。仅有算术思维的学生常常会认为“3+4=（）+2”的括号中应该填7，这就与算术思维中的程序性思维有关，直接用左边的已知算出右边的未知。代数思维则是结构性的，能引导学生正确认识到等号左右两边的整体是相等的，把已知和未知同等看待。与英国CSMS数学研究小组的研究结果（一些儿童很难理解“2a+3”既可以表示运算过程，也可以表示运算结果）类似，特级教师马明在学生时代也有过这样的感受。他算出长为a米、宽为b米的长方形周长为2（a+b）米后，追着老师问“这个长方形的周长究竟是多少”。马老师说，他很长一段时间都有这样的困惑，其实就是没有认清已知和未知的关系，没有把已知和未知同等看待，也就没有用代数思维去思考这样的问题。由此可见，教师厘清已知和未知的关系，把已知和未知同等看待非常重要，有助于他们引导学生用代数的眼光来看待问题，用代数的思维来思考问题。“用字母表示数”的相关内容虽然不是渗透代数思维的起点，却是学生正式进行代数学习的起始阶段。因此，教学这部分内容时，引导学生厘清已知与未知的关系，促进其代数思维的发展极为必要和重要。当然，教师要明确这是“用字母表示数”相关内容教学的前提之一。但是不少教师缺乏这样的认知，他们只是一遍遍地强调含有字母的式子既可以表示运算过程，也可以表示运算结果，却没有明晰已知与未知的关系；学生只是记住了这句话，却没有完全明白为什么，所以他们无法理解同一个含有字母的式子拥有过程性和对象性的双重属性，这极其不利于学生代数思维的发展。二、确定与不确定的差异不确定是相对于确定而言的概念，被看作确定的否定状态。“确定”在《现代汉语词典》中作形容词的解释为“明确而肯定”。那么，从确定的定义推及不确定的定义，就应该是“不够明确或者不够肯定”，也就是处于一种模糊的、待确定的状态。杜威说过，科学的发展史就是一部“追求确定”的历史。然而，随着数学和自然科学的发展，人们慢慢发现客观世界普遍存在着不确定，不确定比确定更为基本。不确定并不是完全失控、一概不知的状态，而是事物或认知在一定的已有规律中同时存在着一种可能性、不肯定性。确定与不确定可以说是一组相互对立而又相互依存的概念，都融在万事万物之间，是可以相互转化的存在，不确定为确定作铺垫，确定为不确定立追求。“用字母表示数”的相关内容就同时蕴含着确定和不确定，如字母可以表示确定的数，也可以表示不确定的数（或如英国CSMS数学研究小组研究中所说的“广义的数”）。教师厘清确定与不确定的差异，有助于其在教学中更好地促进学生发展代数思维。弗赖登塔尔奖获得者、加拿大学者路易斯·拉弗德在《早期代数思维的认识论、符号学及发展问题》一文中举了一个典型的例子（如图1），来说明确定与不确定对代数思维的影响。拉弗德指出，如果一个学生在求第100项方块的数量时用的是3加2加2……一直加到第100项这样的方法，其实并不是代数思维，而是用了算术上的归纳思维。那么，怎样才是用上了代数思维呢？路易斯·拉弗德认为，如果对不确定的量（第n项）与图形中蕴含的关系进行分析，即用含有字母的式子表示出第n项的方块数，才是用上了代数思维。（图1）在“用字母表示数”的相关内容中就有很多类似的探索一般规律的问题。例如，教师带领学生探索小棒根数与三角形个数的关系时，面对“如果用a表示三角形的个数，小棒的根数是（）”这样的问题，就要引导学生对不确定的三角形个数和小棒根数的关系进行分析，这一过程将有助于学生发展代数思维。因此，一线教师厘清确定与不确定对代数思维发展的作用，才能更加有目的性地设计教学，更加有的放矢地培养学生的代数思维。三、常量与变量的区别常量与变量是数学中反映事物量的一对范畴。常量亦称“常数”，是反映事物相对静止状态的量；变量亦称“变数”，是反映事物运动变化状态的量。“变量”最早是由法国数学家笛卡尔提出的。1637年，笛卡尔出版了著名的《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》一书。在三个附录之一的《几何学》中，他首次明确提出了“变数”及其思想。当时，他把变量称为未知的和未定的量。从这个定义可以看出，“变量”实则包含“未知”和“不确定”（未定可理解为不确定）。变量的引进及其成为数学的研究对象加速了变量数学（函数、微积分等）的发展，笛卡尔的《几何学》也因此被看作变量数学产生的重要标志之一。数学研究对象从常量到变量的过程表明，人们对事物数量关系的研究从静止、孤立的观点转变为运动、联系的观点，这种思维方式的改变反映出了数学与辩证法的结合。正如恩格斯所说，数学中的转折点是笛卡尔的变数，变量数学本质上就是辩证法在数学方面的运用。变量数学的产生是数学史也是科学史上的一件大事，它对数学、对人类科学乃至文明的进程都产生了重大影响。算术思维的对象主要是数（属于常量）及其运算与分合，代数思维的对象则主要是变量及其运算与变换。在小学阶段，学生从“用字母表示数”的相关内容开始接触变量。教师引导学生厘清常量和变量的区别，有助于学生代数思维的发展。正如英国CSMS数学研究小组研究中学生对“用字母表示数”最高层次的理解所述，把字母看成变量需要整体地、动态地看待字母，这需要具有较高的抽象水平，也充分体现了代数思维的运用。值得注意的是，学生比较容易理解字母表示未知的量或者不确定的量，却难以自然而然地把字母理解成变量。这与学生多年来学习的算术思维和常量数学有关。如图2所示，“用小棒摆三角形，如果用a表示三角形的个数，则小棒的根数是（）”。在这里，学生较容易理解字母a和含有字母的式子可以表示未知的量、不确定的量。但如果没有教师的引导，学生很难自然而然想到a还可以表示动态变化的量（即变量）。在教师的引导下，学生能初步感知到用字母可以表示变量，而且随着这个变量的改变，另一个量（小棒根数）也在随之变化，这就蕴含函数的思想了。所以，引导学生厘清常量和变量的区别，用运动的、变化的眼光来看待字母和含有字母的式子，能使他们在学习过程中慢慢体会到字母不仅能表示数、数量、关系、一般规律，还能表示两个量或几个量在动态变化过程中的联系，从而发展代数思维，也为其后续学习函数奠定基础。（图2）其实，用“变量”的眼光看待字母就蕴含着用“未知”的眼光和“不确定”的眼光看待字母。但是，要引导学生认识到变量是普遍存在的，变量之间存在着关联性，这比仅仅把字母看成“未知量”和“不确定的量”更加抽象，对代数思维的要求也更高。因此，要引导学生厘清常量与变量的区别，教师首