专题4.1 函数（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）

专题4.1函数（知识讲解）【学习目标】1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）；2．能初步理解函数的概念；能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法；给出自变量的一个值，会求出相应的函数值．3．对函数关系的表示法（如解析法、列表法、图象法）有初步认识．4.理解函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系，会判断一个点是否在函数的图象上，明确交点坐标反映到函数上的含义.5.初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化的关系．【要点梳理】【知识点一】变量与常量变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。【知识点二】函数函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。例如：y=±x，当x=1时，y有两个对应值，所以y=±x不是函数关系。对于不同的自变量x的取值，y的值可以相同，例如，函数：y=|x|，当x=±1时，y的对应值都是1【知识点三】定义域一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。【知识点四】确定函数取值范围的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义【知识点五】三种表示方法列表法：列一张表，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值（即应变量的对应值）解析法：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。一般情况下，等号右边的变量是自变量，等号左边的变量是因变量。用函数解析式表示函数关系的方法就是公式法。图象法：一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．以上三种方法的特点（1）：列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。（2）：解析法：即函数解析式，简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。（3）：图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。【知识点六】描点法画函数图形的一般步骤（通常选五点法）第一步：列表（根据自变量的取值范围从小到大或从中间向两边取值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。【典型例题】类型一、函数的概念与图象1．下列图象中，表示y不是x的函数的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】依据函数的定义即可判断．解：选项B中，当x＞0时对每个x值都有两个y值与之对应，不满足函数定义中的“唯一性”，而选项A、C、D对每个x值都有唯一y值与之对应．故选B．【点拨】本题考查了函数的定义．判定依据是看是否满足定义中的“任意性”、“唯一性”．举一反三：【变式1】下列表达式中，y是x的函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数的定义：在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说x是自变量，y是x的函数，进行求解即可．解：A、，对于一个x，存在有两个y与之对应，例如：当x=1时，y=±1，y不是x的函数，故此选项不符合题意；B、对于一个x，存在有两个y与之对应，例如：当x=1时，y=±2，y不是x的函数，故此选项不符合题意；C、对于一个x，对于任意的x，y都有唯一的值与之对应，y是x的函数，故此选项符合题意；D、对于一个x，存在有两个y与之对应，例如：当x=0时，y=±1，y不是x的函数，故此选项不符合题意；故选C．【点拨】本题主要考查了函数的定义，解题的关键在于能够熟记定义．【变式2】下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据函数的概念可直接进行排除选项．解：由函数的概念可得：在一个变化过程中有两个量x，y，当给x一个值时，y有唯一的值与其对应，就说y是x的函数，x是自变量；因而圆不能表示y是x的函数图象，因为对x在某一部分的取值，y的对应值不唯一，不符合函数的概念；故选C．【点拨】本题主要考查函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．类型二、函数的解析式2．等腰三角形的周长为20cm，设腰长为xcm，底边长为ycm，那么y与x之间的函数解析式是_______，其中自变量x的取值范围是_______．【答案】

y=20-2x

5cm<x<10cm解：∵等腰三角形的腰长为xcm，底边长为ycm，周长为20cm，∴2x+y=20，∴y=-2x+20，即x＜10，∵两边之和大于第三边，∴x＞5，则x的取值范围是：5＜x＜10.故答案为：y=20-2x；5cm<x<10cm.举一反三：【变式1】在烧开水时，水温达到100℃就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时所记录的两个变量时间(分)和温度T(℃)的数据：在水烧开之前(即)，温度T与时间的关系式为__________.【答案】T=7t+30【分析】由表知开始时温度为30℃，再每增加2分钟，温度增加14℃，即每增加1分钟，温度增加7℃，可得温度T与时间t的关系式．解：∵开始时温度为30℃，每增加1分钟，温度增加7℃，∴温度T与时间t的关系式为：T=30+7t．故答案为T=7t+30．【点拨】本题考查了求函数的关系式，关键是得出开始时温度为30℃，每增加1分钟，温度增加7℃．【变式2】如图，在中，边长为10，边上的高为6，点在上运动，设长为，则的面积与之间的关系式___．【答案】．【分析】要表达的面积，需要先明确的底，边上的高是6，再利用面积公式列函数关系式．解：，边上的高是6，．故答案为．【点拨】本题考查了列函数关系式，熟知表示三角形的面积，需要确定底边和底边上的高是解决本题的关键．类型三、函数自变量取值范围及自变量的值或函数值3.有一水箱，它的容积为500L，水箱内原有水200L，现往水箱中注水，已知每分钟注水10L．（1）写出水箱内水量(L)与注水时间(min)的函数关系．（2）求注水12min时水箱内的水量？（3）需多长时间把水箱注满？【答案】（1）Q=10t+200；（2）320升；（3）30min【分析】（1）根据等量关系“箱内水量=每分钟注入的量×时间+原有的水量”列出函数关系式；（2）把t=12代入（1）的关系式中可得此时水箱内水量升；（3）把Q=500代入（1）的关系式中可得需要时间(min)．解：（1）根据题意，得：Q=200+10t（0≤t≤30）；（2）当t=12时，Q=200+10×12=320升．答：注水12min时水箱内的水量是320升；（3）当Q=500时，500=200+10t，t=30．答：需30分钟可以把水池注满．【点拨】本题考查了函数关系式的求法，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式．举一反三：【变式1】在直角坐标系中，已知点A（8，0），动点P（x，y）在第一象限，且x＋y＝10，△OPA的面积为S．求：(1)S关于x的函数表达式，并求x的取值范围．(2)当S＝28时，点P的坐标．【答案】(1)；(2)（3，7）．【分析】（1）首先把x+y=10，变形成y=10-x，再利用三角形的面积求法：底×高÷2=S，可以得到S关于x的函数表达式；由P在第一象限，可得到x的取值范围；（2）把S=28代入函数解析式即可得答案．解：(1)∵x+y=10，∴y=10-x，∴S=×8×（10-x）=40-4x，即S关于x的函数表达式为S=40-4x；∵P（x，y）在第一象限，∴x＞0且y＞0，∴x＞0且10-x＞0，∴x的取值范围是0＜x＜10；（2）∵S=28，∴28=40-4x，解得x=3，∴y=10-3=7，∴当S=28时，点P的坐标是（3，7）．【点拨】此题考查了列函数表达式，以及三角形的面积，解题时一定要注意自变量的取值范围．【变式2】已知三角形的周长为y(cm),三边长分别为9cm，5cm，x(cm)．(1)求y关于x的函数表达式及其自变量x的取值范围．(2)当x=6时，求y的值．(3)当y=19.5时，求x的值．【答案】(1)y=14+x（4<x<14）(2)y=20(3)x=5.5【分析】（1）根据三角形的周长公式，可得函数关系式，根据三角形三边的关系，可得自变量的取值范围；（2）根据自变量的值，代入函数关系式，可得函数值；（3）根据函数值，代入函数关系式，可得自变量的值．(1)解：由三角形的周长公式，得：y=9+5+x，即y=14+x由三角形得三边的关系，得：9-5<x<9+5，即4<x<14．(2)解：当x=6时，y=14+6解得：y=20．(3)解：当y=19.5时，19.5=14+x解得：x=5.5．【点拨】本题考查了函数关系式，利用了三角形的周长公式，三角形三边的关系．类型四、从函数图象中获取信息4．如图1，在长方形ABCD中，点P从点B出发，沿B→C→D→A运动到点A停止．设点P的运动路程为x，△PAB的面积为y，y与x的关系图象如图2所示．(1)AB的长度为______，BC的长度为______．(2)求图象中a和b的值．(3)在图象中，当m＝15时，求n的值．【答案】(1)8、5(2)a=18、b=20(3)12【分析】（1）根据函数图象直接可得答案；（2）利用三角形的面积公式结合图象可得a和b的值；（3）首先确定点P在AD上，求出AP的长，再代入三角形面积公式即可.（1）解：由图2知，当x=5时，点P与C重合，∴BC=5，当x=13时，点P与D重合，∴BC+CD=13，∴CD=8=AB，故答案为：8，5；（2）当P与C点重合时，＝，当点P与A重合时，＝5＋8＋5＝18；（3）∵，∴此时点P在AD边上，且AP＝3．∴．【点拨】题目主要考查函数图象中的动点问题，理解题意，结合函数图象及图形得出相关信息是解题关键．举一反三：【变式1】一慢车和一快车沿相同路线从A地到B地，两车所行的路程s（千米）与慢车行驶的时间x（时）关系如图所示．根据图像解决下列问题：(1)快车比慢车晚小时出发，快车比慢车早到小时．快车追上慢车时，快车行驶了千米．(2)求A、B两地相距多少千米？【答案】(1)2，4，276(2)828千米【分析】（1）根据函数图像中的数据，可以写出快车比慢车晚几小时出发，快车比慢车早到几小时，快车追上慢车时，快车行驶了多少千米；（2）根据图像中的数据，可以计算出慢车的速度，然后根据路程＝速度×时间，即可计算出A、B两地相距多少千米．（1）解：由图像可得，慢车比快车晚2小时出发，快车比慢车早到18﹣14＝4（小时），快车追上慢车时，快行驶了276千米，故答案为：2，4，276；（2）解：由图像可得，慢车的速度为：276÷6＝46（千米/时），46×18＝828（千米），答：A、B两地相距828千米．【点拨】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．【变式2】某市推出电脑上网包月制，每月收取的费用（元）与上网时间（小时）的函数关系如图所示，其中，是线段，且平行于轴，是射线．若小李4月份上网20小时，他应付多少元的上网费？若小李5月份的上网费为75元，则他5月份的上网时间是多少小时？【答案】(1)60元(2)35小时【分析】（1）有图可知，当上网时间时，上网费用为60元，可得出答案；（2）因为时，10小时收费30元，所以每小时收费3元，可得出，当时代入即可求出上网时间．（1）解：有图可知，当上网时间时，上网费用为y=60元，∵20<30，∴应付60元的上网费．（2）由图可知，当时，当时，即，解得：，∴小李在5月份的上网时间为35小时．【点拨】本题考查函数图像，根据图像写出函数的表达式是解题的关键．类型五、用描点法画函数图象5．在直角坐标系中，画出函数的图象（取值、描点、连线、画图）【答案】见分析【分析】根据列表、描点、连线，作出图象即可．解：列表：描点：如图，描出点：，，，，，连线：如图所示，∴图中抛物线为函数的图象．【点拨】本题考查画函数图像，一般步骤∶列表：①表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；②描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；③连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来，正确求出各点坐标是解答本题的关键．举一反三：【变式1】用描点法画出函数y＝x＋2的图象．解：列表、描点、连线后得到的图象，如图所示.【变式2】画出下面函数的图像．（1）；（2）．【答案】（1）见分析；（2）见分析【分析】（1）先列表，再描点，最后用光滑的曲线顺次把所描的点连接起来即可；（2）先列表，再描点，最后用光滑的曲线顺次把所描的点连接起来即可．解：（1）列表得：x12y1（2）列表得：x12345y13（1）（2）图如下所示：【点拨】本题主要考查了描点法画反比例函数图象，利用数形结合的思想是解题的关键．类型六、动点问题的函数图象6．如图，在矩形ABCD中，，，E为BC上一点，，连接AE动点P，Q从点A同时出发，点P以的速度沿AE向终点E运动；点Q以的速度沿折线向终点C运动设点Q的运动时间为，在运动过程中，点P，Q经过的路线与线段PQ围城的图形面积为(1)______cm，______°；(2)求s关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．【答案】(1)AE＝；∠EAD＝45°(2)0≤t≤2时s＝t2；2＜t≤3时s＝2＋8t8；3＜t≤3.5时s＝t＋4【分析】（1）由勾股定理可求AE的长，由等腰三角形的性质可求∠EAD的度数；（2）分三种情况讨论，由面积和差关系可求解．解：（1）∵AB＝3cm，BE＝AB＝3cm，∴cm，∠BAE＝∠BEA＝45°，∵∠BAD＝90°，∴∠DAE＝45°，故答案为：，45；（2）当0＜t≤2时，如图，过点P作PF⊥AD，∵AP＝，∠DAE＝45°，PF⊥AD，∴PF＝t＝AF，∴s＝S△PQA＝×AQ×PF＝t2，当2＜t≤3时，如图，过点P作PF⊥AD，∵PF＝AF＝t，QD＝2t−4，∴DF＝4−t，∴s＝t2＋（2t−4＋t）（4−t）＝−t2＋8t−8，当3＜t≤时，如图，点P与点E重合．∵CQ＝（3＋4）−2t＝7−2t，CE＝4−3＝1cm，∴s＝（1＋4）×3−（7−2t）×1＝t＋4．【点拨】本题考查了函数关系式，函数自变量的取值范围，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．举一反三：【变式1】如图1所示，在三角形ABC中，AD是三角形的高，且AD=8cm，BC=10cm，点E是BC上的一个动点，由点B向点C运动，其速度与时间的变化关系如图2所示．由图2知，点E运动的时间为s，速度为cm/s，点E停止运动时与点C的距离为cm；求在点E的运动过程中，三角形ABE的面积y（）与运动时间x（s）之间的关系式，并写出自变量的取值范围；当点E停止运动后，求三角形ABE的面积．【答案】(1)3，3，1(2)y=12x（0＜x≤3）；(3)△ABE的面积为36cm2．【分析】（1）根据图象解答即可；（2）根据三角形的面积公式，可得答案；（3）根据三角形的面积公式，可得答案．（1）解：根据题意和图象，可得E点运动的时间为3s，速度为3cm/s，当点E停止运动时，BE=3×3=9（cm），此时距离点C：10-9=1（cm），故答案为：3，3，1；（2）解：根据题意得y=×BE×AD=×3x×8=12x，即y=12x（0＜x≤3）；（3）解：当x=3时，y=12×3=36（cm2），故△ABE的