讲堂-平面直角坐标系中确定点的坐标问题课件北师大版八年级数学上册

平面直角坐标系中确定点的坐标问题北师大版教材八年级上册第62页例2【教材原题】在直角坐标系中描出下列各点，并将组内这些点依次用线段连接.（1）D(-3,5),

E(-7,3),

C(1,3),

D(-3,5);（2）F(-6,3),

G(-6,0),

A(0,0),

B(0,3);观察所描出的图形，它像什么？根据图形回答下列问题：（1）图形中哪些点在坐标轴上，它们的坐标有什么特点？（2）线段EC与x轴有什么位置关系？点E和点C的坐标有什么特点？线段EC上其他点的坐标呢？（3）点F和点G的横坐标有什么共同特点？线段FG与y轴有怎样的位置关系？【教材原题】观察所描出的图形，它像什么？根据图形回答下列问题：（1）图形中哪些点在坐标轴上，它们的坐标有什么特点？（2）线段EC与x轴有什么位置关系？点E和点C的坐标有什么特点？线段EC上其他点的坐标呢？（3）点F和点G的横坐标有什么共同特点？线段FG与y轴有怎样的位置关系？答：连接起来的图形像房子.（1）线段AG上的点都在x轴上，它们的纵坐标都等于0；线段AB上的点、线段CD与y轴的交点，它们都在y轴上，它们的横坐标都等于0.（2）线段EC平行于x轴，点E和点CEC上的其他点的纵坐标也相同，都是3.（3）点F和点G的横坐标相同，线段FG与y轴平行.【思路点拨】【知识链接】平面直角坐标系

在直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对（即点的坐标）与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对，都有平面上唯一的一点与它对应。【知识链接】特殊位置的点坐标点到x轴的距离等于这个点纵坐标的绝对值；点到y轴的距离等于这个点横坐标的绝对值；x轴上的点纵坐标等于0；y轴上的点横坐标等于0；平行于x轴的直线上的所有点纵坐标相等；平行于y轴的直线上的所有点横坐标相等；【典型例题1】【思路点拨】已知点P(2m+4,m-1)，点P的横坐标比纵坐标大3,求点P的坐标.P(0,﹣3)

【变式训练1】【思路点拨】已知点P(2m+4,m-1)，点P

在过点A(2,-4),且与x轴平行的直线上,

求点P

的坐标.

P(﹣2,﹣4)【变式训练2】【思路点拨】已知点P(2m+4,m-1)，点P到两坐标轴的距离相等,求点P的坐标.

【方法小结】横纵坐标的等量关系寻

找求特殊位置的点坐标列出等式并求解分类讨论

【巩固内化1】【思路点拨】若点P(a+13,a+23)在第二、四象限的角平分线上，求P点坐标.

【巩固内化2】【思路点拨】若点P(a+13

,

2a+24)

在

x轴上，求P点坐标.

如图，P（m，n）为∆ABC内一点，∆ABC经过平移得到∆A′B′C′，平移后P点与其对应点P′关于x轴对称，若点B的坐标为(－2，1），求点B的对应点B′的坐标(可以用m、n表示）.【思路点拨】∵点P与点P′关于x轴对称又∵P(m,n)∴点P′(m，－n

)∴点P向下平移2n个单位到达点P′，∴点B向下平移2n个单位到达点B′，∴点B′(-2,1-2n)【典型例题2】【方法小结】两点坐标的等量关系寻

找求特殊位置的点坐标列出等式并求解【知识小结】1.图形进行平移或轴对称变换时，图形上的每一个点都在进行相同的平移或轴对称.2.点P(a,b)向左平移m个单位，得到点P′(a－m,b)；点P(a,b)向右平移m个单位，得到点P′(a+m,b)；点P(a,b)向上平移m个单位，得到点P′(a,b+m)；点P(a,b)向下平移m个单位，得到点P′(a,b－m)；【方法小结】两点坐标的等量关系寻

找求特殊位置的点坐标列出等式并求解【知识小结】P(a,b)关于x轴对称的点坐标为Q(a,－b)；点P(a,b)关于y轴对称的点坐标为Q(－a,b)；点P(a,b)关于原点对称的点坐标为Q(－a,－b)；点P(a,b)关于第一、三象限角平分线对称的点坐标为Q(b,a)；点P(a,b)关于第二、四象限角平分线对称的点坐标为Q(－b,－a)；【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，对∆ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（1，2），经过第2023次变换后点A的对应点的坐标为____.如图，在平面直角坐标系中，对∆ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（1，2），经过第2023次变换后点A的对应点的坐标为_________.【思路点拨】∵解：点A第一次关于y轴对称后在第二象限，点A第二次关于x轴对称后在第三象限，点A第三次关于y轴对称后在第四象限，点A第四次关于x轴对称后在第一象限，即A点回到原始位置，所以，每四次对称为一个循环组依次循环，2023÷4=505余3，经过第2023次变换后所得的点A与第三次变换的位置相同，在第四象限，坐标为A(1,-2)．【变式训练1】A(1,-2)【巩固内化】如图，已知正方形ABCD，顶点A(1,3)、B(1,1)、C(3,1)、D(3,3),规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2017次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为()A.(－2016，2） B.(－2016，－2）C.(－2015，-2）D.(－2015，2）∵点M为AC中点，∴点M(2,2)

一次变换M1（2-1，-2），2017次变换M2017(2-2017,-2)∴点M2017

(－2015，-2)C【思路点拨】【变式训练2】如图，矩形ABOC的边BO、CO分别在x轴、y轴上，点A的坐标是(-12,8)，点D、E分别为AC、OC的中点，点P为OB上一动点，求PD+PE的最小值.D′P【思路点拨】(﹣6,8)(﹣6,﹣8)(0,4)∵点D为AC中点，∴点D(-6,8),做点D关于x轴的对称点D′(-6,-8),连接D’E,交x轴于点P,此时D’P=DP,∴DP+PE=D′P+PE=D′E,∵D′、P、E共线，所以PD+PE最小，此时PD+PE=D′E=

【巩固内化】如图，等腰直角三角形OBC的直角边OB放在x轴上，点C的坐标为（4,4），过C作CH⊥y轴，垂足为点H,OM为△OHC的中线，点P为y轴上一动点，PE⊥CO，垂足为点E，求MP+PE的最小值.M′

PE∵点M为AC中点，可求点M(2,4),做点M关于y轴的对称点M′(-2,4),作M′E⊥OC交y轴于点P，垂足为点E.此时M′P=MP,∴MP+PE=M′P+PE=M′E,∵M′、P、E共线，所以MP+PE最小，此时△M′EC为等腰直角三角形，MP+PE=M’E=M′C=.

【思路点拨】【思路点拨】【典型例题3】枫叶一般呈掌状五裂型，裂片具有少数突出的齿小明将一个枫叶标本放在平面直角坐标系中如图，表示叶片“顶”A、B两点的坐标分别为（﹣2,2），（﹣3,0），则叶柄“底部”点C的坐标为______．2﹣3(2,-3)yxO由A、B两点的坐标（﹣2,2

），（﹣3,0），确定原点的位置，建立平面直角坐标系，进而确定点C的位置.【方法小结】建立平面直角坐标系确定图形上点的位置求出点坐标【知识链接】

在解决几何问题时，我们可以建立平面直角坐标来确定图形点、边.在平面几何里，建立平面直角坐标系的方法尤其适合处理那些有直角的图形（直角三角形、长方形、正方形）和隐含有直角的图形（等腰三角形等）【思路点拨】【变式训练】已知Rt△AOC，∠O=90°，OA=1,OC=2,以AC为直角边在△AOC外做△ABC，使得∠CAB=90°,AC=AB.如果以点O为原点，建立平面直角坐标系，使点A放置在x轴上，则点B的坐标为________.以点O为原点，建立平面直角坐标系，使点A放置在x轴上，则O(0,0),A(1,0),C(0,2),过点B做BH⊥x轴于点H,易证△COA≌△AHB.AH=OC=2,BH=OA=1,∴点B(3,1),(3,1)【思路点拨】【巩固内化】如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为______．xy

以点B为原点，BC放置在x轴上，建立平面

直角坐标系，则B(0,0),A(0,4),C(4,0),D(4,4),

E(0,2),F(2,0),G(2,1),H(3,2).∴GH=

分

析123确定点坐标坐标的等量关系图形的轴对称性质建立平面直角坐标系解决问题分类讨论、转化的数学思想数形结合的思想【反思小结】建模思想、数形结合的思想【拓展延伸】如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，∠AOB=45°，在∠AOB内有一点P（4，3），若射线OA上有一动点M，射线OB上有一动点N，则△PMN周长的最小值为____________.【思路点拨】

作点P（4,3）关于射线OA的对称点P′(3,4），关于x轴的对称点P′′（4，-3）.连接P′P′′,交射线OA于点M，交x轴于点N,此时△PMN的周长最短，即为P′P′′的长.可计算

∴△PMN周长的最小值为

.【思路点拨】

连接OP，∵点P（4,3），∴OP=5.作