15.3分式方程（原卷版）

15.3分式方程1.理解和掌握分式方程的概念、分式方程的解法，能够解分式方程；2.理解和掌握分式方程的增根的含义；3.理解和掌握列分式方程解应用题的方法、步骤和常见的等量关系。一、分式方程1.分式方程(1)概念：分母中含未知数的方程叫作分式方程。(2)特征：一是方程；二是分母中含未知数。因此，整式方程和分式方程的根本区别就在于分母中是否含未知数。2.分式方程的解法(1)解分式方程的基本思路：分式方程去分母，整式方程。(2)解分式方程的一般步骤：①去分母：在方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程。②解方程：解这个整式方程。③验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于0的根是原方程的根；使最简公分母等于0的根不是原方程的根，必须舍去。(3)分式方程验根的方法：把解得的未知数的值代入最简公分母较为简捷，但是不能检查解方程的过程中出现的计算错误，我们可以采用另一种验根的方法，即把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法可以检查解方程时有无计算错误。3.分式方程的增根(1)增根的定义：在方程两边都乘一个含未知数的最简公分母时，扩大了未知数的取值范围。有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫方程的增根。(2)分式方程产生增根的原因：解方程时，总是将方程两边同乘以含有未知数的整式(即最简公分母)，将分式方程化为整式方程，当所乘的这个整式不为零时，所得的整式方程与原方程同解；当所乘的整式为零时，原方程中的分式无意义，求出来的根就是增根。(3)增根的特点：增根是原分式方程转化成整式方程后所产生的根，增根必定使各分式的最简公分母的值等于0。题型一分式方程的定义在①，②，③，④中，其中关于的分式方程的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．41．已知关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（

）A．且 B． C．且 D．2．下列是分式方程的是（）A． B．C． D．题型二解分式方程解方程：(1)(2)．1．解方程：(1)(2)2．解分式方程．(1)；(2)．题型三根据分式方程的解的情况求值关于x的方程：的解是负数，则a的取值范围是（）A． B．且 C． D．且1．已知关于x的方程的解是，则a的值为（）A．2 B．1 C． D．2．关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且题型四分式方程的增根问题若关于的方程无解，则值为（

）A． B． C．3 D．111．关于的方程有增根，则增根可能是（

）A．1 B．3 C．－1 D．1或2．若方程无解，则的值是（

）A． B． C． D．二、分式方程的应用1.分式方程的应用解题步骤：分式方程的应用主要是列方程解应用题，它与列一元一次方程解应用题的思路和方法基本相同。简单地说就是“审、找、设、列、解、验、答”。①审：审清题意。②找：找出相等关系。③设：设未知数。④列：列出分式方程。⑤解：解这个分式方程。⑥验：既要检验所得未知数的值是不是所列分式方程的解，又要检验其是否符合题意。⑦答：写出答案。2.构建分式方程的方法(1)在实际问题中，有时题目中包含多个相等的数量关系，在列方程时一定要选择一个能够体现全部(或大部分)题意的相等关系列方程。(2)在一些实际问题中，有时直接设出题中所求的未知数可能比较麻烦，需要间接地设出未知数，或设出一个未知数不好表示相等关系，还可设多个未知数，即设辅助未知数。3.用分式方程解应用题的常见题型(1)行程问题：有路程、时间和速度3个量，其关系式是“路程=速度×时间”，一般是以时间为等量关系。(2)工程问题：有工作效率、工作时间和工作总量3个量，其关系式是“工作总量=工作效率×工作时间”，一般以工作总量为等量关系。(3)增长率问题：其等量关系式是“原量×(1+增长率)=增长后的量，原量×(1减少率)=减少后的量”。题型五列分式方程嘉淇一家自驾游去某地旅行，导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均速度是线路一的倍，线路二的用时预计比线路一少半小时．设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是（

）A． B． C． D．1．某车间加工600个零件后采用了新工艺，工效提高了50%，这样加工同样多的零件少用5h，求采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？若设采用新工艺前每小时加工x个零件，则可列方程为（）A． B．C． D．2．“十一”黄金周，几名同学乘坐一辆客车前去“方特欢乐世界”游玩，客车的车费为180元，出发时，又增加了两名同学，结果每个同学比原来少分摊了3元车费，若设实际参加游览的学生共有人，则所列方程为（

）A． B． C． D．题型六分式方程的应用为了改善锦州的交通状况，政府投资修建北外环公路．某筑路工程公司中标了一段公路的路基工程，计划在规定时间完成．为了向“七，一”献礼，公司决定加快工程进度实际平均每天完成的工程量是原计划的倍，结果提前天完成任务，那么该筑路工程公司实际每天完成路基多少米？（要求用方程求解）1．在甲、乙两个社区各设立了一个核酸检测点，经统计，甲社区检测点平均每小时检测的人数是乙社区检测点平均每小时人数的倍，检测1200人，甲检测点比乙检测点少用1小时完成．求甲检测点平均每小时核酸检测的人数？2．“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和弟子颜回等到离所住驿站里的书院讲学，弟子们步行出发小时后，孔子坐牛车出发，已知牛车的速度是步行的倍，结果孔子和弟子们同时到达书院，求孔子及其弟子们的速度各是多少里小时．一、单选题1．下列方程中，不是分式方程的是（

）A． B．C． D．2．在正数范围内定义一种运算“”，共规则为，如，根据这个规则，则方程的解为（

）A． B． C． D．3．关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且4．关于x的分式方程有增根，则m的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．45．某市为治理污水，需要铺设一段全长为的污水排放管道，为尽量减少施工队对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工作效率比原计划提高，结果提前10天完成这一任务，设原计划每天铺设管道，根据题意可列方程为（

）A． B．C． D．6．若，则我们把称为a的“友好数”，如3的“友好数”是，的“友好数”是．下列说法①4的“友好数”是；②若实数a的“友好数”与其倒数相等，则；③已知，是的“友好数”，是的“友好数”，…，依此类推，则．以上说法中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题7．关于x的分式方程的解小于1，则a的取值范围是．8．若关于x的分式方程的解是非负数解，且a满足不等式，则所有满足条件的整数a的值之和是．9．观察下列方程及其解：①，②，③．（①由，得或，②由，得或，③由，得或．）找出其中的规律，求关于x的方程（n为正整数）的解是．10．若关于的不等式组有且仅有3个整数解，关于的方程的解为正整数，则符合条件的所有整数的和为．11．为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种4000棵树，后来由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种，结果提前10天完成任务，那么原计划每天种棵树．12．已知关于x的分式方程．（1）若，则x＝．（2）若该方程的解为负整数，整数m的值有个．三、解答题13．解方程：(1)；(2)．14．某校开展了主题为“粽叶飘香，自包米辣．共度端午，互赠祝福”活动，让住校生亲身体验包粽子的实践活动．学校决定用1800元购进包粽子的两种原材料，腊肉丁陷和绿豆花生馅的粽子，已知用来购买两种馅的费用一样，腊肉丁馅粽子比绿豆花生馅每个粽子成本价高20%，两次共包粽子1100个，求腊肉丁陷的粽子每个成本价是多少元？15．某中学准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球的单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．(1)足球和篮球的单价各是多少元？(2)学校要一次性购买足球和篮球共200个，但要求总费用不超过15500元，学校最多可购买多少个篮球？16．计算题(1)解不等式组．(2)把下列各式因式分解：①；②．(3)先化简，再求值：，其中．(4)当m为何值时，关于x的方程无解．17．阅读下列材料：求分式方程的解，不妨设，可得，是该分式方程的解．例如：求分式方程的解，可发现，，容易检验，是该方程的解．根据以上材料回答下列问题：(1)求分式方程的解；(2)若，是分式方程的两个解，求的值；(3)设a为常数且，