5.4三角函数的图像与性质（原卷版）

5.4三角函数的图像与性质知识点1：正弦、余弦函数的图像知识点①正弦函数的图像★★★1．正弦函数、余弦函数实数集与角的集合之间存在一一对应关系,而一个确定的角对应着唯一确定的正弦(或余弦)值．这样,任意给定一个实数x,有唯一确定的值sinx(或cosx)与之对应．由这个对应法则所确定的函数y=sinx(或y=cosx)叫做正弦函数(或余弦函数),其定义域是R．2．利用正弦线作正弦函数的图象如图，在直角坐标系的x轴上取一点O1，以O1为圆心，单位长为半径作圆，从⊙O1与x轴的交点A起，把⊙O1分成12等份（等份越多，画出的图象越精确）．过⊙O1上各分点作x轴的垂线，得到对应于等角的正弦线．相应地，再把x轴上从0到(≈6．28)这一段分成12等份．把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合，再把这些正弦线的终点用光滑的曲线连接起来，即得到函数y=sinx，的图象．将函数y=sinx，的图象向左、向右平行移动（每次个单位长度），就可以得到正弦函数y=sinx，x∈R的图象，如图．正弦函数y=sinx，x∈R的图象叫做正弦曲线（sinecurve）．知识点②五点法作图★★★3．五点法作y=sinx,的简图在函数y=sinx，的图象上，起关键作用的点有以下五个：,如下表：x0y=sinx0100描出这五个点后,函数y=sinx，的图象形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不高时，我们可以先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线顺次将它们连接起来，就得到函数的简图，这种作图的方法称为五点法作图．知识点③余弦函数的图像★★☆1．利用图象变换作余弦函数的图象根据诱导公式，由，可知余弦函数的图象可以通过将正弦曲线向左平移个单位长度而得到．如图所示．类似地，我们把余弦函数的图象叫做余弦曲线（cosinecurve）．2．用五点法作余弦函数的图象与正弦函数的图象一样，在函数的图象上，起关键作用的点有以下五个：,如下表：x0y=cosx1001同样，在精确度要求不高时，我们可以先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线顺次将它们连接起来，就得到函数的简图，这种作图的方法也称为五点法作图．用五点法作函数y＝2sinx－1的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是（）A．0，，π，，2πB．0，，，，πC．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，不等式的解集为（）A． B． C． D．使得正确的一个区间是（）A．B．C． D．用“五点法”作函数在上的图象时，应取的五个点依次为___________､___________､___________､___________､___________.根据函数图像，可得方程的解为___________.函数相邻最高点与最低点之间距离为__________．已知余弦函数过点，则的值为__________．若函数与x轴有5个交点，则实数a的取值范围是___________.用五点法作函数图像时，最高点为___________.满足的的取值范围是_________．（2020·全国高一课时练习）利用“五点法”作出函数y＝1－sinx(0≤x≤2π)的简图．（2020·全国高一课时练习）利用正弦曲线，求满足的x的集合．知识点2：正弦、余弦函数的性质知识点④正、余弦函数的图像的应用★★★知识点⑤正、余弦函数的图像与性质★★☆知识点⑥函数的周期性★★☆知识点⑦求与三角函数有关的函数的定义域★☆☆知识点⑧求与三角函数有关的几种常见函数的值域（或最值）★☆☆知识点⑨正、余弦函数的单调性★★☆1．周期性由正弦函数的图象和周期函数的定义可得：正弦函数是周期函数，都是它的周期，最小正周期是．同理可得，余弦函数也是周期函数，都是它的周期，最小正周期是．2．奇偶性观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对称，因此正弦函数y=sinx，x∈R为奇函数，余弦函数为偶函数．3．单调性正弦函数y=sinx，x∈R在每一个闭区间上都是增函数，其值从−1增大到1；在每一个闭区间上都是减函数，其值从1减小到−1．类似地,余弦函数在每一个闭区间上都是增函数，其值从−1增大到1；在每一个闭区间上都是减函数，其值从1减小到−1．4．最大值与最小值(值域)正弦函数y=sinx，x∈R,当且仅当时，取得最大值1；当且仅当时，取得最小值-1．余弦函数,当且仅当时，取得最大值1；当且仅当时，取得最小值−1．【微点拨】1.正弦函数的图象与性质：性质图象定义域值域最值当时，；当时，．周期性奇偶性,奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数．对称性对称中心对称轴，既是中心对称又是轴对称图形。2.余弦函数的图象与性质：性质图象定义域值域最值当时，；当时，．周期性奇偶性偶函数单调性在上是增函数；在上是减函数．对称性对称中心对称轴，既是中心对称又是轴对称图形。考法01函数的周期性及其应用求三角函数的周期，一般有两种方法：（1）公式法，即将函数化为或的形式，再利用求得;（2）定义法，即利用定义去研究，但这种方法需要证明T是最小正周期，高考中对此不作要求，往往采取的是利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察图象得到最小正周期．已知函数，则它的最小正周期为（）A． B． C． D．函数y＝|cosx|的周期为（）A．2πB．πC． D．考法02函数的奇偶性及其应用（1）对于函数（A>0,ω>0）：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数．（2）对于函数（A>0,ω>0）：时，函数为偶函数；时，函数为奇函数．已知函数，则函数的部分图象可以为（）A． B． C． D．下列函数不是奇函数的是（）A．y＝sinxB．y＝sin2xC．y＝sinx＋2 D．y＝sinx下列函数中，周期为π，又是偶函数的是（）A．y＝sinxB．y＝cosxC．y＝cos2x D．y＝sin2x考法03函数的单调性及其应用（1）求函数或的单调区间，一般将视作整体，代入或相关的单调区间所对应的不等式，解之即得．（2）当ω<0时，先利用诱导公式将变形为，将变形为，再求函数的单调区间．（3）当A<0时，要注意单调区间的变化，谨防将增区间与减区间混淆．（4）比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．（5）比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．求函数y＝2sin(－x)的单调递增区间．【名师点睛】讨论函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性的一般步骤：（1）若ω<0，利用诱导公式二把y＝Asin(ωx＋φ)中x的系数化为大于0的数；（2）引入变量u＝ωx＋φ(ω>0)；（3）讨论函数y＝sinu的单调性；（4）解关于x的不等式得出y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间．不求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：（1）sin14°与sin156°；（2）cos515°与cos530°．考法04三角函数的最值（1）对于求形如(或)的函数的最值或值域问题,常利用正、余弦函数的有界性求解．求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．（2）求解形如(或),的函数的值域或最值时,一般先通过换元,令t=sinx(或cosx),将原函数转化为关于t的二次函数,然后利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t=sinx(或cosx)的取值范围．在上的最大值与最小值的和为（）A．0 B．1 C．2 D．3设函数的定义域为，值域为，令，则t的最大值与最小值的和为（）A． B． C． D．求下列函数的值域：（1）y＝cos(x＋)，x∈[0，]；（2）y＝cos2x－4cosx＋5．在下列函数中，不是周期函数的是（）A．B．C． D．已知函数在上是增函数，则在上是（）A．增函数 B．减函数 C．增函数或减函数 D．以上都不对设M和m分别表示函数的最大值和最小值，则等于（）A． B． C． D．-2的取值所在的范围是（）A． B． C． D．函数y＝sin2x取得最小值时x的集合为________．下列函数中，最小正周期为的奇函数是A． B． C． D．（2022春•河东区期末）函数的最小正周期为，则的值为A．4 B．2 C．1 D．（2022秋•深州市校级月考）下列函数中，最小正周期为的奇函数是A． B． C． D．已知函数在上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为，则的值可能是A． B． C．1 D．函数的一个对称中心是A．， B．， C．， D．，已知函数在区间上有零点，则实数的取值范围为A． B． C． D．函数在区间，的值域为A．， B．， C．， D．，已知函数，其中，，若的值域是，，则的取值范围是．函数的值域是．知识点3：正切函数的图像与性质知识点⑩正切函数的图像与性质★☆☆知识点①①正切函数图像的应用★★☆知识点①②正切函数的单调性★★☆正切函数的性质1．周期性由诱导公式可知，，因此是正切函数的一个周期.一般地，函数的最小正周期．2．奇偶性正切函数的定义域为，关于原点对称，由于，因此正切函数是奇函数．3．单调性和值域单位圆中的正切线如下图所示．利用单位圆中的正切线研究正切函数的单调性和值域，可得下表：角x正切线AT增函数增函数由上表可知正切函数在，上均为增函数，由周期性可知正切函数的增区间为．此外由其变化趋势可知正切函数的值域为或，因此正切函数没有最值．正切函数的图象利用正切线作出函数的图象（如图）．作法如下：(1)作直角坐标系，并在y轴左侧作单位圆．(2)把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线．(3)描点．（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线）(4)连线．根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数，且的图象，我们把它叫做正切曲线(如图)．正切曲线是被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的．考法01正切函数的性质熟练掌握正切函数的性质：（1）定义域：；（2）值域：；（3）最小正周期：；（4）奇偶性：奇函数；（5）单调性：在每一个开区间内均为增函数．求函数的定义域、值域，并判断它的奇偶性和单调性.【名师点睛】（1）正切函数的定义域为，这是解决正切函数相关问题首先要关注的地方．（2）求函数的单调区间时，将视为整体，代入函数的单调区间即可，注意的符号对单调区间的影响．考法02正切函数的性质的应用（1）利用正切函数的单调性比较两个正切值的大小，实际上是将两个角利用函数的周期性或诱导公式放在一个单调区间内比较大小．（2）三角函数与二次函数的综合问题，一般是研究函数的值域或最值，求解方法是通过换元或整体代换将问题转化为二次函数型的函数值域问题，对于新引入的元或整体，要注意其范围的变化．求下列函数的定义域：（1）函数y＝＋lg(1－tanx)；（2）函数y＝tan(sinx)．求函数y＝－tan2x＋10tanx－1，x∈[，]的值域．考法03正切函数的图象及其应用（1）的周期性：函数及的周期是其对应函数周期的一半，而函数的图象是把在x轴下方的图象翻折到x轴上方，但其周期与的周期相等，均为π.（2）解三角不等式的方法一般有两种：一是利用三角函数线，借助于单位圆在直角坐标系中找出角的区域，再求出不等式的解集；二是利用三角函数图象，先在一个周期内求出x的范围，再在整个定义域上求出不等式的解集.利用正切函数的图象求角的范围时，主要是利用其单调性.这是数形结合思想方法的一个具体应用.设函数.（1）求函数f(x)的最小正周期､对称中心；（2）作出函数f(x)在一个周期内的简图.函数的图象与轴的两个相邻的交点坐标分别为，且函数图象过点，求函数解析式．作出函数y＝|tanx|的图象，并根据图象求其最小正周期和单调区间．考法04利用函数性质求待定参数：若函数在上是递增函数，则的取值范围是________下列点不是函数的图象的一个对称中心的是（）A． B． C． D．在内，使成立的x的取值范围为（）A．B．C． D． 已知函数的图象经过原点，若，则（）A．﹣3 B．﹣ C．3 D． 已知函数y=3tan．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的定义域；（3）说明此函数的图象是由y=tanx的图象经过怎样的变换得到的？已知函数．（1）求的定义域；（2）求的周期；（3）求的单调递增区间．已知函数的图像经过原点，若，则A． B． C． D．3的图象与直线的两相邻交点间的距离为，则A． B． C．1 D．2函数的单调递增区间是A． B． C． D．（2022春•汉中期中）已知函数，则下列结论正确的是A．函数的定义域为 B．函数的最小正周期为4 C．函数的单调递增区间为， D．函数图像的对称中心为，（2022春•辽宁期中）已知函数的图像与直线的相邻两个交点的距离为，则的图像的一个对称中心是A．， B．， C．， D．