2023年高考第三次模拟考试卷-数学（北京A卷）（全解全析）

2023年高考数学第三次模拟考试卷

高三数学

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

第一部分(选择题40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求

的一项。

1.(4分)已知集合4=3-1融x-13},B={X|X2-3X<0},则48=()

A.(0,2]B.[0,2]C.[0,3)D.[0,3]

【答案】C

【分析】先利用不等式的解法化简集合，再利用并集的定义求解即可.

【详解】因为A={x|-啜蚁-13}={x|0M2)=[0,2],B={X|X2-3X<0}={X|0<X<3}=(0,3),

所以AU8=10，2]|J(0,3)=[0,3).

故选：C.

2.(4分)在复平面内，复数z对应的点的坐标为(-2,-1),则三=()

i

A.—1—2iB•—2—zC.—l+2iD.2—i

【答案】C

【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解.

【详解】复数Z对应的点的坐标为(-2,-1),

则z=—2—3

tez=-2-Z=(-2-0f=_1+2.

iii

故选：C.

3.（4分）已知P为AA8C所在平面内一点，BC=2CP,贝4（）

1312

A.AP=一一AB+-ACB.AP=-AB^-AC

2233

3i71

C.AP=-AB一一ACD.AP=-AB+-AC

2233

【答案】A

【分析】直接利用向量的线性运算求出结果.

【详解】由于3C=2CP,

利用向量的线性运算，AC-AB=2AP-2AC,

1a

整理得：AP=--AB+-AC.

22

故选：A.

4.（4分）已知数列｛2｝为首项为2,公差为2的等差数列，设数列｛%｝的前〃项和为5“，则

%吗=（）

2022

A.2021B.2022C.2023D.2024

【答案】C

【分析】利用等差数列的前〃项和公式求解即可.

【详解】数列｛〃"｝为首项为2,公差为2的等差数列，

20222021

..・S2G22=2022X2+X2=2022x2+2022x2021,

S

/.^^-=2+2021=2023,

2022

故选：C.

5.（4分）双曲线C:f—5=1的渐近线与直线x=l交于A,8两点，且|A例=4,那么双曲线C

的离心率为（）

A.y/2B.6C.2D.5/5

【答案】D

【分析】由双曲线的方程可得渐近线的方程，与直线x=l联立求出|AB|的值，进而求出|切的值，

求出双曲线的离心率.

【详解】由双曲线的方程可得。=1,且渐近线的方程为：y=±bx,

与x=1联立可得y=±b,所以|AB\=\2b\f

由题意可得4=2|。|,解得|b|=2,c2=a2+b2,

所以双曲线的离心率e=(===石，

故选：D.

6.(4分)已知a,/?是两个不同的平面，直线/Ua,且a_L/?,那么"///a”是“/_L尸”的(

)

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据空间线面位置关系，结合必要不充分条件的概含判断即可.

【详解】当直线/仁。，且Illa,则////，/与尸相交，故充分性不成立；

当直线且aJ■尸，/J■小时,，Ula,故必要性成立，

-U/a"是"/_L£，的必要而是不充分条件.

故选：B.

7.(4分)已知直线y+l=/n(x—2)与圆(x-l)2+(y-l)2=9相交于N两点.则|AfN|的最小值

为()

A.6B.2石C.4D.6

【答案】C

【分析】先求出圆心41,1)和半径，以及直线的定点8(2,7),利用圆的几何特征可得到当MJLMV

时，|MV|最小.

【详解】由圆的方程(了-1尸+(丫-1)2=9,可知圆心半径R=3,

直线y+1=m(x-2)过定点5(2,-1),

因为(2-1)2+(-1-1)2=5<9,则定点8(2,-1)在圆内，

则点8(2,-1)和圆心4(1,1)连线的长度为d=J(2-1>+(-1-1尸=石，

当圆心到直线MN距离最大时，弦长A/N最小，此时AB_LMN,

由圆的弦长公式可得|MN|=2疹二7=2旧-电『=4,

故选：c.

8.(4分)英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型.如果物体的

初始温度是4,环境温度是4,则经过"位〃物体的温度。将满足夕=%+(4-4)-其中k是一个

随着物体与空气的接触情况而定的正常数.现有90°C的物体,若放在10"C的空气中冷却，经过10〃创

物体的温度为50°C,则若使物体的温度为20°C,需要冷却()

A.1l.SminB.25.5minC.30m/nD.32.5min

【答案】C

【分析】根据已知函数模型和冷却10加加的数据可求得左，再代入所求数据，解方程即可求得结果.

11一_L加2

【详解】由题意得：50=10+(90-10)^,即e-心=；,：.k4/〃2,..，=4+(4-稣)e|。，

__L/〃21tj

由20=10+(90-10)e得：e10=-,BP--/n2=///-=-37M2,解得：r=30,

8108

若使物体的温度为20℃-需要冷却30min.

故选：C.

9.(4分)如果函数/(x)=sin(yx+gcos0x(<w>O)的两个相邻零点间的距离为2,那么

(2)+f(3)+...+/(9)的值为()

A.1B.-1C.6D.-6

【答案】A

【分析】化简函数fM，根据f(x)的图象两个相邻零点间的距离为2得出/(x)的最小正周期为4,

求出0的值，再计算/(1)+f(2)+f(3)+...+/(9)的值.

【详解】函数/(x)=sin5+y/3coscox=2sin(<yx+—)

且/(x)的图象两个相邻零点间的距离为2,

所以/(X)的最小正周期为4,

即T=—=4,解得(W=—；

(02

所以/(x)=2sin(yx+y)>

所以/(1)+/(2)+f(3)+...+/(9)

=2sin(—+—)+2sinO+—)+2sin(—+—)+...+2sin(—+—)

2332323

〜71

=2cos—

3

=1.

故选：A.

10.(4分)设函数/(x)=a'+〃-c*,其中c>a>0,c>b>0.若a,b,c•是AABC的三条边

长，则下列结论中正确的是()

①对一切xe(-co,1)都有f(x)>0；

②存在xe/r,使bx,c，不能构成一个三角形的三条边长；

③若AABC为钝角三角形，则存在xw(l,2),使/(x)=0.

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

【分析】①利用指数函数的性质以b.c,构成三角形的条件进行证明.②可以举反例进行判

断.③利用函数零点的存在性定理进行判断.

【详解】①a,h,c是AA8C的三条边长，.，.a+6>c,

c>a>0,c>b>0,0<—<1,0<-<l,

cc

当xe(e,1)时，f(x)=a'+bx-cx=cv[(-)v+(-/-1]

cc

>c，.(0+2—1)=d.£1^£>0,•①正确.

ccc

②令a=2,6=3,c=4,则a,b,c可以构成三角形，

但/=4,从=9,,2=16却不能构成三角形，.•.②正确.

③-<?>a>0,c>b>0,若AABC为钝角三角形，则T+bJ/cO,

f(1)=a+b—c>0,f(2)=a2+Z?2-c2<01

.•・根据根的存在性定理可知在区间(1,2)上存在零点，

即3xe(l,2),使f(x)=0,.•.③正确.

故选：D.

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.(5分)在(x+')6的二项展开式中，常数项是20.

【答案】20

【分析】写出二项展开式的通项，由X的指数为0求得r值，则答案可求.

【详解】由心=禺•尸.(与=禺.尸「

X

由6—2r=0,得r=3.

.••常数项是C；=20.

故答案为：20.

12.(5分)我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，“三药”分别为金花清感

颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方.若某

医生从“三药三方''中随机选出三种药方，事件A表示选出的三种药方中至少有一药，事件B表示

选出的三种药方中至少有一方，则P(A|3)=—.

-19―

【答案】-

19

【分析】利用古典概型求出事件3的概率及事件AB的概率，再利用条件概率公式计算作答.

C319c；C+Cc；「9

【详解】依题意,

P(B)=1一一L=—9P(AB)=

Cl20C；10

听以…二瑞18

历

故答案为：史.

19

13.(5分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的C的准线与x轴交于T点，P(0,l),尸是C的焦点，Q

是C上一点，FQ=-TP,则p=_2_.

4-6―

【答案】-

6

【分析】利用向量的关系式，求得点。的坐标，代入抛物线方程即可.

【详解】由题意T(-5,0),F(§0),

设Q(x°，%)，则7P=(gl),F0=(为-多％)，

因为尸Q=.p,所以&-§%)=：§/)，

山川

所以不=§9。，%=公5，

代入城=20为解得p=°(负值舍)，

所以p=3.

6

故答案为：--

6

14.(5分)设函数

[-2x,x>a

①若a=0,则的最大值为2；

②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是—.

【答案】2,(YO,—1).

【分析】①将a=0代入，求出函数的导数，分析函数的单调性，可得当x=-l时，/&)的最大值为

2；

,u>-1

②若f(x)无最大值，则J&T3，或-2a>〃-3a,解得答案

-2。>a-3a

〔[-2a>2

【详解】①若a=0,则，。)=卜。3羽％,。，

[-x,x>0

.・/(x)=p：-3：o,

[—1,x>0

当*<-1时，ra)>o,此时函数为增函数，

当x>T时，f'(x)<0,此时函数为减函数，

故当x=-l时，/(x)的最大值为2；

②.r(x)=F『-3，X，a,

-l,x>a

令ra)=o,则工=±1,

ra>-\

若/(x)无最大值，则]13c，或一2。>。3一3a,

-2a>a'-3a

l[-2。>2

解得：aw(Yo,-l).

故答案为：2,(—oo,-l).

15.(5分)如图，在棱长为2的正方体A8CD—A4G。中，点N分别在线段AR和4G上.

出下列四个结论:

①MN的最小值为2；

②四面体MWBC的体积为3：

3

③有且仅有一条直线MN与AR垂直；

④存在点〃，N,使AMBN为等边三角形.

其中所有正确结论的序号是①②④.

【答案】①②④

【分析】对于①，利用直线之间的距离可求解；对于②，以M为顶点，AAEC为底面即可求解；对

于③，利用直线的垂直关系即可判断；对于④，利用空间坐标能求解.

【详解】对于①，由M在AR上运动，N在上运动，

的最小值为两条直线之间距离IAGI,而|D,C,|=2,

」.MN的最小值为2,故①正确；

I2

，

对于②=§,SMNC"RC1，

SABNc=gx2x2=2,.•.四面体MWBC的体积为:，对②正确；

对于③，山题意知当M与"重合时，D.C,1/1D,,

又根据正方体性质得AR1平面A4co,

.•.当M为A"中点，N与乌重合时，MN1AD,,

/.与AR垂直的MN不唯一，故③错误；

对于④，当&WBN为等边三角形时，BM=BN,则此时=

只需要3M与BN的夹角等于工即可，

3

以。为原点，DA,DC,。。分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图,

z

n

设则由题意得-〃，

AM=B1N="M（2-忑3(2,2,0),N(22,2),

BN=(-n,0,2),

隼+缶

BMBN日夜____

/.cos4MBN=—=|

18Ml.|8N|HM2+4

整理得仁--I)/?-2〃+20=0,

2

该方程看成关于"的二次函数,

5

i=4-4x(---1)x272=8>/2-4>0,

2

.•.存在“，使得&WSN为等边三角形.

故答案为：①②④.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（13分）在AA8C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且atanB=2bsinA.

（1）求角3的大小;

（2）若BC=4,A=工，求AABC的面积.

4

【答案】⑴巳；（2）6+26.

3

【分析】（1）根据已知条件及同角三角函数的商数关系，结合三角形内角的特点及特殊值对应的特

殊角即可求解；

（2）根据（1）的结论及三角形的内角和定理，再利用两角和的正弦公式及正弦定理，结合三角形

面积公式即可求解.

【详解】（1）atan3=2Z?sinA,

,sin3_._..

..sinA---------2sino•sinA，

cosB

OvAvi,B<兀，

「.sinA>0，sini5>0,

cosB=—

2

0<,

.*•B=一;

3

(2)由(1)知，B=-,

3

,冗

A=一，

4

(7=yr—A—B，

.C.Z.D.oO1贬6瓜+A/2

，sinC=sin(4A+8Dx)=sinAAcos3+cosAAsin8=——x—+——x——=-------,

22224

4xV6+V2

由正弦定理4=工，得c=£当£=——/—=2+273,

sinAsinCsinAV2

~T

故心Bc=gacsin8=gx4x(2+2G)x*=6+26.

17.(13分)如图，在四棱锥P-A8a)中，小_L底面A8C£>,在底面ABCO中，BC//AD,CDA.AD,

AD=CD=\,BC=2.

(I)求证：AC_L平面R48;

(II)若平面R4B与平面PS的夹角等于工，求异面直线PB与CD所成角的余弦值.

3

【分析】(1)利用勾股定理证明AC_LAB,结合AC_LAP及线面垂直的判定定理即可得证;

(2)设AP=a,建立空间直角坐标系，求出对应点的坐标，然后结合空间向量的数量积运算求解

即可.

【详解】(1)证明：过A作AEJ.3C交BC于点£,

又・BC//AD,CD1AD>AD=CD=\,BC=2,

AC=\lAD2+CD2=V2,A8=^AE2+BE2=夜,

BC2=AB2+AC2,

即ACLAB,

又•.孙1.底面ABC。，

ACYAP,

又AP^AB=A,

.・.AC_L平面Q4B：

(2)解：设AP=a,

建立如图所示的空间直角坐标系，

则8(a,0,0),C(0,A/2,0),P(0,0,〃)，A(0,0,0),D(-\,学，0),

由已知可得平面PAB的法向量为AC=(0,72,0),

设平面尸CD的一个法向量为〃=(x,y,z),

n-DC=0

则nl《，

y?­PC=0

即件y=°，

[\/2y-az=0

令y=®,

则〃=(-五，夜,2),

a

又平面PAB与平面PCD的夹角等于-,

3

A

C-

4cl

解得4=1,

则P(0,0,1),

则PB=(夜,0,-1),DC=(^,—,0),

22

叵xY+0xf+(-1)x0

PBDC

贝［Jcos<PB,DC>=

\PB\\DC\73x1

即异面直线P8与8所成角的余弦值为也.

3

18.（14分）根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）:

立定跳远单项等级高三男生高三女生

优秀260及以上194及以上

良好245〜259180〜193

及格205〜244150-179

不及格204及以下149及以下

从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到1cm）:

男生：180205213220235245250258261270275280

女生：148160162169172184195196196197208220

假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立.

（I）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；

（II）从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取1人，设X为这3人中立定

跳远单项等级为优秀的人数，估计X的数学期望EX:

（III）从该校全体高三女生中随机抽取3人，设“这3人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”

为事件A,“这3人的立定跳远单项至多有1个是优秀”为事件8.判断A与8是否相互独立.（结

论不要求证明）

【答案】(1)估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为巴=1;

123

估计高三女生立定跳远单项的优秀率为g=工.

122

⑵-

6

(3)相互独立

【分析】(1)样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为4,获得优秀的女生人数为6,计算频

率得到优秀率的估计值；

(2)由题设，X的所有可能取值为0,I,2,3,算出对应概率的估计值，得到X的数学期望的估

计值；

(3)利用两个事件相互独立的定义判断即可.

【详解】(1)样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为4,获得优秀的女生人数为6,

所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为巴=1;

123

估计高三女生立定跳远单项的优秀率为色=

122

(2)由题设，X的所有可能取值为0,1,2,3,

912

P(X=0)=(-)2x-=-,

329

2

P(X=l)=Clx|x|xi+(|)xl=^,

2

P(X=2)=C>|x|xi+(1)xi=A,

P(X=3)=(-)2X1=—,

3218

245I7

E(X)=0x-4-lx-+2x—+3x—=-.

9918186

(3)P(A)=C'x-x(I)2+C；x(I)2x1=-,

22224

P(B)=^xlx(i)2+^x(|)3=l,

ii3

P(AB)=C；x-x(-)2=-,

228

P(AB)=P(A)P(B),所以A与8相互独立.

19.(15分)已知函数f(x)=ox-(a+l)/nx-」.

X

(1)当“=0时，求曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线方程；

(2)若y=/(x)在x=2处取得极值，求f{x}的单调区间；

(3)求证：当0<a<l时，关于x的不等式/(x)>l在区间［1,e］上无解.

【答案】(1)y=-\(2)单调递增区间为(0,1)和(2,”)，单调递减区间为(1,2)；(3)证明见解析

【分析】(1)根据导数的几何意义求得切线斜率，即可求得切线方程；

(2)根据((2)=0可求出“=」，并对其进行检验即可求解；

(3)分L.e和l<」<e两种情况，求出函数f(x)在区间［1,e］上的最大值即可作答.

aa

【详解】(1)由/(x)=ar-(a+l)/nr-’,x>0,

x

可得/，3.£±1+」=加一"1"1_3一吁_1),

XX2X2X2

当a=0时，/(l)=-/nl--=-l,/⑴=0,

.•.y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-l；

(2)因为y=/(x)在x=2处取得极值，所以尸(2)=4^=0,解得“=；,

检验如下：

D(x-1)

令尸(x)=/——；-----=0,解得x=2或X=］,

x

若0<x<l或x>2时、贝!Jf'(x)>0；若l<x<2,则尸(x)<0.

所以/(x)的单调递增区间为(0,1)和(2,+oo),单调递减区间为(1,2),

故y=/(x)在x=2处取得极小值，满足题意，

故/(x)的单调递增区间为(0,1)和(2,+oo),单调递减区间为(1,2)；

(3)证明：由(1)知广(幻=处二毕二由0<。<1时，得4>1,因xe［l,e］,

xa

当L.c时，当xe(l,e)时，f'(x)<0,即函数/(x)在［1，e］上单调递减，则/(x)“=/(1)=a—1<1,

a

因此不等式不成立，即不等式f(x)>l在区间［1,e］上无解；

当l<!<e时，当时，/z(x)<0,当!<》<6时，/,(x)>0,即/*)在(1」)上递减，在(，,e)

aaaaa

上递增，

于是得/&)在［1,e］上的最大值为/(1)或/(e),

而/(1)=tz—1<1,f(e)=ae-(a+1)--,/(e)-1=6t(e-l)-2--<(^-l)-2--=e-3--<0,

eeee

BPf(e)<1,

因此不等式不成立，即不等式/(x)>l在区间［1,e］上无解，

所以当0<。<1时，关于X的不等式，幻>1在区间[1,e]上无解.

„2v2

20.(15分)已知椭圆E：F+马=l(a>b>0)的一个顶点为40,1),焦距为2.

crb~

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点P(2,0)的直线与椭圆E交于3,C两点，过点3,C分别作直线/:x=f的垂线(点5,

C在直线/的两侧).垂足分别为M,N,记ABA/尸，AMNP,△OVP的面积分别为S1,邑，S},

试问：是否存在常数f,使得；邑，邑总成等比数列？若存在，求出，的值.若不存在，请说

明理由.

【答案】(1)]+9=1⑵存在"1,使得少2，邑总成等比数列.

【分析】(1)根据a,b,c的关系求解；

(2)表示&3MP，AMNP,ACNP的面积，利用韦达定理表示出&即可求出常数f的值.

【详解】(1)根据已知可得b=l,2c=2,

所以b=l,c=l,a2=b2+c2=2f

所以椭圆E的方程为工+9=1；

2-

(2)由已知得，3c的斜率存在，且3,C在x轴的同侧，

设直线BC的方程为y=A(x-2),B(X[,乂)，C(x21%),不妨设玉<超，

贝ljy%>0，%<t<x?，

y=k(x-2)

由、得(1+2/»2-8%、+8公-2=0,

—+y2=1

2’

8k2-2

所以一=8(1-2K)>0,X|+x=------,x.X-,

■2\+2lc1+2公

因为，=3"-占)|乂应=3(2-：)|丫2—芦l，53=^(x2-r)|y2b

所以

111,

S|S=工(々T)(f-X|)lX%|=-(x2-t)(t-x]')yly2=-k(x,-f)(f-%)(4-2)(%-2)

2

=+x2)-xl-x2-Z]-[X|-x2-2(x,+x2)+4]

1,,,868k2-22、，8%2-216k2八

=-k-(-------------/)•(-----------7+4)

4\+2k27\+2k21+2/71+2/

22222

=-^-(2-t)(y2-y,)=^-k(2-t)(x2-^)

4lolo

=/(2­)2[()2_4]=J_r(2_)2_32」-8

16-112161+2公\+2k2

i2k2

=.......—[-2公。-2)2+(r-2)2]

4(1+2公产

要使1s2,其总成等比数列，则应有-/+2=(7-2)2解得t=l,

所以存在，=1,使得M，；邑，S3总成等比数列.

21.(15分)已知数列｛“”｝为有限数列，满足⑸-。2快团-。3快…W|ai-而|,则称｛斯｝满足性质P.

(1)判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P,请说明理由；

(2)若ai=l,公比为q的等比数列，项数为10,具有性质P,求q的取值范围；

(3)若｛“”｝是1,2,3,­,•,机的一个排列(机24),｛与｝符合仇：=飙+1(%=1,2,…，机-1),｛斯｝、

｛b｝都具有性质P，求所有满足条件的数列｛〃”｝.

【答案】⑴见解析⑵^e(-oo,-2]U(0,4w)(3)见解析

【分析】(1)根据定义，验证两个数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P即可；

(2)假设公比q的等比数列满足性质p