三角形全等的判定(HL)

SSSSASASAAAS旧知回顾我们学过的判定三角形全等的方法：三边对应相等的两个三角形全等。(简写成“边边边”或“SSS”）DEFABC“边角边”或“SAS”）两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等。(简写成DEFABC“角边角”或“ASA”）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(简写成DEFABCDEFABC两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。（简写成“角角边”或“AAS”）

如图，△ABC中，∠C=90°，直角边是_____、_____，斜边是______。CBA我们把直角△ABC记作Rt△ABC。ACBCAB思考：

前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？情境问题1:

舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量。你能帮工作人员想个办法吗？ABDFCE情境问题1:∠B=∠F=Rt∠

则利用可判定全等；①若测得AB=DF，∠A=∠D，则利用可判定全等；ASA②若测得AB=DF，∠C=∠E，AAS③若测得AC=DE，∠C=∠E，则利用可判定全等；AAS④若测得AC=DE，∠A=∠D，则利用可判定全等；AAS⑤若测得AC=DE，∠A=∠D，AB=DE，则利用可判定全等；SASABDFCE情境问题2:工作人员只带了一条尺，能完成这项任务吗？ABDFCE

工作人员是这样做的，他分别测量了没有被遮住的直角边和斜边，发现它们对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”。你相信他的结论吗？情境问题2:

对于两个直角三角形，若满足一条直角边和一条斜边对应相等时，这两个直角三角形全等吗？ABDFCE

任意画出一个Rt△ABC,∠C=90°。再画一个Rt△A´B´C´，使得∠C´=90°，B´C´=BC，A´B´=

AB。请你动手画一画∟BCAABC（1）画∠MC＇N=90°；（2）在射线C＇M上取B＇C＇=BC；（3）以B＇为圆心，AB为半径画弧，交射线C＇

N于点A＇；（4）连接A＇B＇．

现象：两个直角三角形能重合．

说明：这两个直角三角形全等．画法：A＇

NMC＇B＇斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(简写为“斜边、直角边”或“HL”。)几何语言：AB=A´B´

∵在Rt△ABC和Rt△A´B´C´中

Rt△ABC≌Rt△A´B´C´∴∟B´C´A´∟BCA（HL）BC=B´C´RtRtRtRt三角形全等判定定理5

通过刚才的探索，发现工作人员的做法是完全正确的。例题1.如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由

理由：∵AF⊥BC，DE⊥BC（已知）∴∠AFB=∠DEC=

°（垂直的定义）在Rt△

和Rt△

中∴

≌

（）∴∠

=∠

（）∴

（内错角相等，两直线平行）尝试应用：答:.例：如图：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.求证：BC=AD.ABCD证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C和∠D都是直角。在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB=BAAC=BD∴Rt△ABC≌Rt△BAD∴BC=AD（HL）（全等三角形对应边相等）1.判断：满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么?(1)一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形.全等(AAS)(2)一个锐角及这个锐角相邻的直角边对应相等的两个直角三角形.全等(

ASA)1.判断：满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么?(3)两直角边对应相等的两个直角三角形.全等(

SAS)1.判断：满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么?(4)有两边对应相等的两个直角三角形.不一定全等情况1：全等情况2：全等(SAS)(

HL)1.判断：满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么?情况3：不全等1.判断：满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么?(5)一个锐角及一边对应相等的两个直角三角形.不一定全等练习2.如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，

CE=BF.求证AE=DF.ABCDEF∵ＣＥ=ＢF∴ＣＥ－ＥＦ=ＢＦ－ＥＦ即ＣＦ=ＢＥ。课本14页练习2题练习1如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，

CE=BF.求证：AE=DF.ABCDEF证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC∴△ＡＢＥ和△ＤＣＦ都是直角三角形。又∵ＣＥ=ＢF∴ＣＥ－ＥＦ=ＢＦ－ＥＦ即ＣＦ=ＢＥ。在Ｒｔ△ＡＢＥ和Ｒｔ△ＤＣＦ中ＣＥ＝ＢＦＡＢ＝ＤＣ∴Ｒｔ△ＡＢＥ≌Ｒｔ△ＤＣＦ（ＨＬ）∴ＡＥ＝ＤＦＲｔＲｔ

练习3.如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D、E与路段AB的距离相等吗？为什么？BDACE实际问题数学问题求证：ＤＡ＝ＥＢ。①ＡＣ＝ＢＣ②ＣＤ＝ＣＥCD与CE相等吗？课本14页练习1题证明：∵DA⊥AB，EB⊥AB，∴∠A和∠B都是直角。AC=BCDC=EC∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL）∴DA=EB在Rt△ACD和Rt△BCE中，又∵C是AB的中点，∴AC=BC∵C到D、E的速度、时间相同，∴DC=ECBDACE（全等三角形对应边相等）判断两个直角三角形全等的方法有：(1)：；(2)：；(3)：；(4)：；SSSSASASAAAS(5)：；HL（1）

（）（2）

（）（3）

（）（4）

（）ABDCAD=BC∠DAB=∠CBABD=AC∠DBA=∠CABHLHLAASAAS

已知∠ACB=∠ADB=90，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？

写出这些条件，并写出判定全等的理由。AFCEDB如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF求证：BF=DE巩固练习AFCEDB如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF求证：BD平分EFG变式训练1如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF想想：BD平分EF吗?CDAFEBG变式训练2议一议如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？∠ABC+∠DFE=90°联系实际综合应用解：在Rt△ABC和Rt△DEF中

BC=EF,