湖北省襄阳四中2023年数学高一上期末教学质量检测模拟试题含解析

湖北省襄阳四中2023年数学高一上期末教学质量检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1．若幂函数的图象经过点，则＝A. B.C.3 D.92．将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为（）A. B.C. D.3．函数的单调减区间为（）A. B.C. D.4．已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（）A. B.C. D.5．函数的定义域为（）A.(－∞,4) B.[4,＋∞)C.(－∞,4] D.(－∞,1)∪(1,4]6．已知，则的值为（）A. B.C. D.7．集合用列举法表示是（）A. B.C. D.8．把函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A.， B.，C.， D.，9．已知集合，则中元素的个数为A.1 B.2C.3 D.410．如果函数对任意的实数x，都有，且当时，，那么函数在的最大值为A.1 B.2C.3 D.4二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11．设为向量的夹角，且，，则的取值范围是_____.12．已知一个扇形的面积为，半径为，则其圆心角为___________.13．若函数f（x）=的定义域为R，则实数a的取值范围是：_____________.14．化简求值（1）化简（2）已知：，求值15．已知A，B，C为的内角.（1）若，求的取值范围；（2）求证：；（3）设，且，，，求证：三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．已知二次函数满足对任意，都有；；的图象与轴的两个交点之间的距离为.（1）求的解析式；（2）记，（i）若为单调函数，求的取值范围；（ii）记的最小值为，若方程有两个不等的根，求的取值范围.17．设S＝{x|x＝m＋n，m、n∈Z}(1)若a∈Z，则a是否是集合S中的元素？(2)对S中的任意两个x1、x2，则x1＋x2、x1·x2是否属于S？18．某企业为抓住环境治理带来的历史性机遇，决定开发生产一款大型净水设备．生产这款设备的年固定成本为万元，每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足台时，万元，当年产量不少于台时，万元．若每台设备的售价为万元，经过市场分析，该企业生产的净水设备能全部售完（1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；（2）年产量为多少台时，该企业在这一款净水设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？19．已知定义域为D的函数fx，若存在实数a，使得∀x1∈D，都存在x2∈D满足（1）判断下列函数是否具有性质P0，说明理由；①fx=2x；（2）若函数fx的定义域为D，且具有性质P1，则“fx存在零点”是“2∈D”的___________条件，说明理由；（横线上填“（3）若存在唯一的实数a，使得函数fx=tx2+x+4，x∈0,220．已知函数，.（1）求方程的解集；（2）定义：.已知定义在上的函数，求函数的解析式；（3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数的简图，并根据图象写出函数的单调区间和最小值.21．已知，向量，.（1）当实数x为何值时，与垂直.（2）若，求在上的投影.

参考答案一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1、B【解析】利用待定系数法求出幂函数y＝f（x）的解析式，再计算f（3）的值【详解】设幂函数y＝f（x）＝xα，其图象经过点，∴2α，解得α，∴f（x），∴f（3）故选B【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题2、B【解析】直接利用函数图像变化原则：“左加右减，上加下减”得到平移后的函数解析式【详解】函数图像向右平移个单位，由得，故选B【点睛】本题考查函数图像变换：“左加右减，上加下减”，需注意“左加右减”时平移量作用在x上，即将变成，是函数图像平移了个单位，而非个单位3、A【解析】求出的范围，函数的单调减区间为的增区间，即可得到答案.【详解】由可得或函数的单调减区间为的增区间故选：A4、B【解析】因为线段的垂直平分线上的点到点，的距离相等，所以即：，化简得：故选5、D【解析】根据函数式的性质可得，即可得定义域；【详解】根据的解析式，有：解之得：且；故选：D【点睛】本题考查了具体函数定义域的求法，属于简单题；6、B【解析】利用诱导公式由求解.【详解】因为，所以，故选：B7、D【解析】解不等式，结合列举法可得结果.【详解】.故选：D8、D【解析】利用三角函数图象变换依次列式求解作答.【详解】函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，所得图象的解析式为，把图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是，.故选：D【点睛】易错点睛：涉及三角函数图象变换问题，当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量是不同的9、A【解析】利用交集定义先求出A∩B，由此能求出A∩B中元素的个数【详解】∵集合∴A∩B＝{3}，∴A∩B中元素的个数为1故选A【点睛】本题考查交集中元素个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用10、C【解析】由题意可得的图象关于直线对称，由条件可得时，为递增函数，时，为递减函数，函数在递减，即为最大值，由，代入计算可得所求最大值【详解】函数对任意的实数x，都有，可得的图象关于直线对称，当时，，且为递增函数，可得时，为递减函数，函数在递减，可得取得最大值，由，则在的最大值为3故选C【点睛】本题考查函数的最值求法，以及函数对称性和单调性，以及对数的运算性质的应用，属于中档题．将对称性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据对称性判断出函数在对称区间上的单调性(轴对称函数在对称区间上单调性相反，中心对称函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性求解.二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11、【解析】将平方可得cosθ，利用对勾函数性质可得最小值，从而得解.【详解】两个不共线的向量，的夹角为θ，且，可得：，可得cosθ那么cosθ的取值范围：故答案为【点睛】本题考查向量的数量积的应用，向量夹角的求法，考查计算能力，属于中档题.12、【解析】结合扇形的面积公式即可求出圆心角的大小.【详解】解：设圆心角为，半径为，则，由题意知，，解得，故答案为:13、【解析】根据题意，有在R上恒成立，则，即可得解.【详解】若函数f（x）=的定义域为R，则在R上恒成立，则，解得：，故答案为：.14、（1）（2）【解析】（1）利用诱导公式化简即可；（2）先进行弦化切，把代入即可求解.【小问1详解】.【小问2详解】因为，所以.所以.又，所以.15、（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】（1）根据两角和的正切公式及均值不等式求解；（2）先证明，再由不等式证明即可；（3）找出不等式的等价条件，换元后再根据函数的单调性构造不等式，利用不等式性质即可得证.【小问1详解】,为锐角，，，解得，当且仅当时，等号成立，即.【小问2详解】在中，，,,.【小问3详解】由（2）知，令，原不等式等价为，在上为增函数，，，同理可得，，，，故不等式成立，问题得证.【点睛】本题第3问的证明需要用到，换元后转换为，再构造不等式是证明的关键，本题的难点就在利用函数单调性构造出不等式.三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16、（1）；（2）（i）；（ii）或.【解析】（1）根据二次函数的对称轴、求参数a、b、c，写出的解析式；（2）（i）利用二次函数的性质，结合的区间单调性求的取值范围；（ii）讨论、、，结合二次函数的性质求最小值的表达式，再令并应用数形结合的方法研究的零点情况求的取值范围.【详解】（1）设由题意知：对称轴，，又，则，，设的两根为，，则，，由已知：，解得.（2）（i），其对称轴为为单调函数，或，解得或.的取值范围是.（ii），，对称轴①当，即时，区间单调递增，.②当，即时，在区间单调递减，③当，即时，，函数零点即为方程的根令，即，作出的简图如图所示①当时，，或，解得或，有个零点；②当时，有唯一解，解得，有个零点；③当时，有两个不同解，，解得或，有4个零点；④当时，，，解得，有个零点；⑤当时，无解，无零点综上：当或时，有个零点.【点睛】关键点点睛：第二问，（i）分类讨论并结合二次函数区间单调性求参数范围，（ii）分类讨论求最小值的表达式，再应用换元法及数形结合求参数范围.17、（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）由a＝a＋0×即可判断；（2）不妨设x1＝m＋n，x2＝p＋q，经过运算得x1＋x2＝(m＋n)＋(p＋q)，x1·x2＝(mp＋2nq)＋(mq＋np)，即可判断.试题解析：(1)a是集合S的元素，因为a＝a＋0×∈S(2)不妨设x1＝m＋n，x2＝p＋q，m、n、p、q∈Z则x1＋x2＝(m＋n)＋(p＋q)＝(m＋n)＋(p＋q)，∵m、n、p、q∈Z．∴p＋q∈Z，m＋n∈Z．∴x1＋x2∈S，x1·x2＝(m＋n)·(p＋q)＝(mp＋2nq)＋(mq＋np)，m、n、p、q∈Z故mp＋2nq∈Z，mq＋np∈Z∴x1·x2∈S综上，x1＋x2、x1·x2都属于S点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多．对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错18、（1）；（2）当年产量为台时，该企业在这款净水设备的生产中获利润最大，最大为万元【解析】（1）分别在和两种情况下，由可得函数关系式；（2）利用二次函数性质、基本不等式可分别求得和时的最大值，比较即可得到结果.【小问1详解】当，时，；当，时，；综上所述：.【小问2详解】当，时，，则当时，的最大值为；当，时，（当且仅当，即时等号成立）；当年产量为台时，该企业在这款净水设备的生产中获利润最大，最大为万元19、（1）①不具有性质P0；②具有性质（2）必要而不充分条件，理由见解析（3）t=【解析】（1）根据2x>0举例说明当x1>0时不存在x1+fx22=0；取x2=2-x1∈0，1可知fx=log2x，x∈0，1具有性质P0.（2）分别从fx存在零点，证明2∉0，1.和若2∈D，fx具有性质P（1）时，f【小问1详解】函数fx=2x对于a=0，x1=1，因为1+2所以函数fx=2函数fx=log2对于∀x1∈0，因为x1所以函数fx=log【小问2详解】必要而不充分理由如下：①若fx存在零点，令fx=3x-1因为∀x1∈0，1，取所以fx具有性质P（1②若2∈D，因为fx具有性质P取x1=2，则存在x2所以fx2=0，即f综上可知，“fx存在零点”是“2∈D”的必要而不充分条件【小问3详解】记函数fx=tx2+x+4，x∈因为存在唯一的实数a，使得函数fx=tx2+x+4，x∈0，2有性质①当t=0时，fx=x+4，由F=A得a=3.②当-14≤t，且t≠0时，由F=A得t=0，舍去.③当-12≤t<-14最小值为4，所以fx的值域F=由F=A得t=-18当t<-12时，fx=tx所以fx的值域F=由F=A得t=-2-34（舍去20、（1）（2）（3）图象见解析，单调递减区间是，单调递增区间是，最小值为1【解析】（1）根据题意可得，平方即可求解.(2)由题意比较与大小，从而可得出答案.(3)由（2）得到的函数关系，作出函数图像，根据图像可得函数的单调区间和最小值.【