第21章 二次函数与反比例函数全章复习攻略（2个概念2个性质2种关系1个比例系数3个应用4种思想）与检测卷（原卷版）

第21章二次函数与反比例函数全章复习攻略与检测卷【目录】倍速学习六种方法【2个概念】1.二次函数的概念2.反比例函数概念【2个性质】1.二次函数的图象与性质2.反比例函数图象与性质【2种关系】1.抛物线的位置与字母系数的关系2.二次函数与一元二次方程关系【1个比例系数】反比例函数的比例系数k的几何意义【3个应用】1.二次函数的实际应用2.反比例函数与一次函数的综合应用3.反比例函数的实际应用【4种思想】1.数形结合思想2.方程思想3.分类讨论思想4.函数建模思想【检测卷】【倍速学习六种方法】【2个概念】1.二次函数的概念（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．1．（2022秋•霍邱县期中）下列函数表达式中，一定为二次函数的是（）A．y＝2x+2 B．s＝3t2﹣1 C．y＝ax2+bx+c D．2．（2022秋•定远县期末）若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（）A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣13．（2022秋•宣州区期末）若关于x的函数y＝（a+1）x2﹣3ax﹣2+a是二次函数，则a必须满足的条件是．2.反比例函数概念（1）反比例函数的概念形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．（2）反比例函数的判断判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．4．（2022秋•包河区期中）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（）A．y＝3x+1 B．y＝3x2 C． D．5．（2023•无为市一模）已知函数是关于x的反比例函数，则m的值是．【2个性质】1.二次函数的图象与性质（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．6．（2023•亳州模拟）下列抛物线中，与抛物线y＝x2﹣2x+8具有相同对称轴的是（）A．y＝4x2+2x+4 B．y＝x2﹣4x C．y＝2x2﹣x+4 D．y＝﹣2x2+4x7．（2023春•蚌埠月考）二次函数y＝a（x+3）2﹣1图象的顶点坐标是（）A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）2.反比例函数图象与性质反比例函数的图象用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．反比例函数的性质（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．8．（2023•南陵县二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．9．（2022秋•宣城期末）反比例函数的图象的一个分支在第二象限，则m的取值范围是．10．（2022秋•池州期末）已知反比例函数y＝的图象在第一、三象限内，则k（）A．k＞2 B．k≥2 C．k＜2 D．k≤211．（2023•合肥一模）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（）A．y＝﹣2x+1 B．y＝（x+1）2+1 C．y＝﹣x2﹣1 D．12．（2023•芜湖模拟）已知函数，（k＞0）．当1≤x≤3时，函数y1的最大值为a，函数y2的最小值为a﹣4，则k＝．【2种关系】1.抛物线的位置与字母系数的关系13．（2022秋•安徽期中）一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．14．（2022秋•安徽期中）函数y＝ax+1与y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象可能是（）A． B． C． D．2.二次函数与一元二次方程关系15．（2023•雨山区校级一模）若函数y＝（a﹣1）x2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴有且只有一个交点，那么a满足（）A．a＝且a≠1 B．a＝ C．a＝1 D．a＝或a＝116．（2022秋•天长市校级期末）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，有下列4个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝3；④关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＞﹣2．其中正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．417.（2023•凤台县校级二模）已知函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是．（2）当﹣2≤m≤3时，该函数图象的顶点纵坐标k的取值范围．【1个比例系数】反比例函数的比例系数k的几何意义在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．18．（2023•南谯区校级一模）在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积为2，则k的值为．19．（2023•杜集区校级模拟）如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，若四边形PAOB的面积为5，则k＝．【3个应用】1.二次函数的实际应用20．（2023•金安区一模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+2与x轴有两个交点．（1）当m＝﹣3时，求抛物线与x轴交点的坐标；（2）过点P（0，m﹣1）作直线l⊥y轴，抛物线的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上的情况），求m的范围；（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与直线l相交于点B，当△ABO的面积最大时，求m的值．21．（2023•安徽）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（3，3），对称轴为直线x＝2．（1）求a，b的值；（2）已知点B，C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t+1．过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E．（i）当0＜t＜2时，求△OBD与△ACE的面积之和；（ii）在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B，C，D，E为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由．2.反比例函数与一次函数的综合应用22．（2023•蜀山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A（5，0），C（﹣3，4），点B在反例函数的图象上，一次函数y＝kx+b的图象与双曲线相交于B、D两点，且D点的横坐标为﹣1．（1）求一次函数的解析式；（2）求△ABD的面积；（3）直接写出的解集．23．（2023•蜀山区校级一模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数第一象限内的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点B．（1）求n和k的值；（2）如图，以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交CD于点E，连接AE、BE，求S△ABE．3.反比例函数的实际应用24．（2023•舒城县二模）在压力不变的情况下，某物体承受的压强（单位：Pa）与它的受力面积（单位：m2）是反比例函数关系，平平记录了几次测量所得的数据，由于疏忽，其中有一次记录的数据有误，观察表格，有误的那一次是（）第1次第2次第3次第4次…受力面积（m2）0.10.20.30.4…压强（Pa）1000500300250…A．第1次 B．第2次 C．第3次 D．第4次25．（2022秋•宣城期末）学校下午放学时校门口的“堵塞”情况已成为社会热点问题，某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一个调查发现：每天放学时间2分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”y（%）与放学后时间x（分钟）的函数关系描述．如图，2～12分钟呈二次函数状态，且在第12分钟达到该函数最大值100，此后变化大致为反比例函数的图象向右平移4个单位得到的曲线趋势．若“拥挤指数”y≥36，校门外呈现“拥挤状态”，需要志愿者维护秩序、疏导交通．（1）求该二次函数的解析式和k的值；（2）“拥挤状态”持续的时间是否超过20分钟？请说明理由．【4种思想】1.数形结合思想26．（2021秋•金安区期末）已知等腰直角△ABC的斜边AB＝4，正方形DEFG的边长为，把△ABC和正方形DEFG如图放置，点B与点E重合，边AB与EF在同一条直线上，将△ABC沿AB方向以每秒个单位的速度匀速平行移动，当点A与点E重合时停止移动．在移动过程中，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积S与移动时间t（s）的函数图象大致是（）A． B． C． D．27．（2022•定远县校级一模）如图，函数的图象，若直线y＝x+m与该图象只有一个交点，则m的取值范围为．2.方程思想28．（2023•六安模拟）如图，已知A的坐标是（4，4），AB⊥x轴于点B，反比例函数的图象分别交AO，AB于点C，D，连接OD，△OBD的面积为2．（1）求k的值和点C的坐标．（2）若点P（a，b）在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），求b的取值范围．29．（2023•合肥二模）反比例函数与一次函数y＝﹣x+m的图象交于A、B两点，A坐标为（1，2）．（1）求出B点坐标；（2）若M（x1，y1）是反比例函数图象上的点，N（x2，y2）是一次函数y＝﹣x+m图象上的点，当点M在点N下方时，判断自变量x的取值范围．3.分类讨论思想30．（2022•云冈区一模）综合与实践如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A和B，点B的坐标是（4.0），与y轴交于点C（0．﹣3）．点D在抛物线上运动．（1）求抛物线的表达式；（2）如图2．当点D在第四象限的抛物线上运动时，连接BD，CD，BC，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标及△BCD的最大面积；（3）当点E在x轴上运动时，借助图1探究以点B，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形，并直接写出点E的坐标．4.函数建模思想31．（2023•黟县校级模拟）某地方政府出台了一系列“乡村振兴战略”优惠政策，使广大农户收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种农产品的成本价为每千克20元，经市场调查发现，该农产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种农产品每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式．（2）若物价部门规定这种农产品的销售价不得高于30元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，则销售价应定为多少元/千克？（3）该农产品的销售价定为多少元/千克时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？32．（2023春•安庆月考）某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价、日销售量、日销售利润的部分对应数据如下表所示．【注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）】销售单价x（元）757882日销售量y（件）15012080日销售利润w（元）52504560a（1）填空：该商品的成本单价是元，表中a的值是．（2）求该商品日销售利润的最大值．（3）由于某种原因，该商品进价降低了m元/件（m＞0）．该商店在今后的销售中，规定该商品的销售单价不低于68元，日销售量与销售单价仍然满足上表中的函数关系．若日销售利润最大是6820元，求m的值．33．（2023•霍邱县一模）祁门红茶是中国名茶，某茶叶公司经销某品牌祁门红茶，每千克成本为50元，规定每千克售价需超过成本，但不高于90元．经调查发现：其日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：​（1）求y与x之间的函数表达式；（2）设口利润为W（元），求W与x之间的函数表达式，并说明日利润W随售价x的变化而变化的情况以及最大日利润；（3）若公司想获得不低于2000元日利润，请直接写出售价范围．【检测卷】一、单选题1．如图是反比例函数的图象在第二象限内的一个分支，则下列说法错误的是（

）A．另一个分支在第四象限内B．常数C．在每个象限内，y随x的增大而增大D．若A(-1，h），B(2，k)在图象上，则hk2．若抛物线的顶点在第二象限，则的取值范围是（）A． B． C． D．3．抛物线的顶点坐标是（）A．（2，3） B．（–2，3） C．（2，–3） D．（–2，–3）4．如图，是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，若水面上升1m，则水面宽为（

）A．m B．2m C．2m D．2m5．如图，菱形OABC的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为(－3，2)．若反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点A，则k的值为()A．－6 B．－3 C．3 D．66．在平面直角坐标系中，若抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得到的抛物线的解析式为（）A． B．C． D．7．如图，、是函数的图象上的点，且、关于原点对称，轴于，轴于，如果四边形的面积为，则（

）.A． B． C． D．8．已知点是反比例函数图象上一点，它到原点的距离为，到轴的距离为，若点在第二象限内，则这个反比例函数的表达式为（）A． B． C． D．9．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，则的面积等于（

）A．1.5 B．2 C．3 D．6.510．如图，已知二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于x的一元二次方程的一个根．其中正确的有（）A．个 B．个 C．个 D．个二、填空题11．某广告公司设计一幅周长为20米的矩形广告牌，设矩形的一边长为x米，广告牌的面积为S平方米，则S与x的函数关系式为．12．已知反比例函数的图象经过，则当时，自变量的取值范围是．13．已知抛物线y=-x2+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，则△ABC的面积=.14．已知点A（x1，y1）与点B（x2，y2）都在反比例函数y＝的图象上，且0＜x1＜x2，那么y1y2（填“＞”或“＝”或“＜”）．三、解答题15．已知二次函数，当时有最大值，且此函数的图象经过点，求此二次函数的关系式，并指出当为何值时，随的增大而增大．16.求直线y＝2x＋8与抛物线y＝x2的交点坐标A、B及△AOB的面积．17．株洲五桥主桥主孔为拱梁钢构组合体系（如图1），小明暑假旅游时，来到五桥观光，发现拱梁的路面部分有均匀排列着9根支柱，他回家上网查到了拱梁是抛物线，其跨度为20米，拱高(中柱)10米，于是他建立如图2的坐标系，发现可以将余下的8根支柱的高度都算出来了，请你求出中柱左边第二根支柱CD的高度.18．如图，在直角坐标系中，为坐标原点．已知反比例函数的图象经过点，过点作轴于点，且的面积为．（1）求和的值；（2）求当时函数值的取值范围．19．已知二次函数的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A，B两点，与y轴的负半轴交于点C，．(1)求二次函数的表达式及点坐标；(2)点D位于第三象限且在二次函数的图象上，求的面积最大时点D的坐标．20．如图，在平面直角坐标系中，点A（1