2023版高考数学一轮总复习10年高考真题分类题组1-2常用逻辑用语

1.2常用逻辑用语

考点一命题及其关系

1.（2015山东文,5,5分）设mGR,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是

（）

A.若方程x"+x-m=0有实根，则m>0

B.若方程x2+x-m=0有实根,则mWO

C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0

D.若方程x2+x-m=0没有实根，则mWO

答案D命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方程x2+x-m=0没有实

根,则mWO"，故选D.

2.（2014陕西理,8,5分）原命题为“若z“z互为共钝复数，则|z」=|zj"，关于其逆命题，否

命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）

A.真,假,真B.假,假,真C.真,真,假D.假,假，假

答案B先证原命题为真：当z”Z2互为共轿复数时，设z产a+bi（a,bGR）,则Zz=a-bi,则

01=01=7^^庐，.•.原命题为真,故其逆否命题为真;再证其逆命题为假:取ZLI,4=i,满足

Izj=|Z21,但是%不互为共帆复数，.•.其逆命题为假,故其否命题也为假.故选B.

3.（2013天津理,4,5分）已知下列三个命题：

①若一个球的半径缩小到原来的则其体积缩小到原来的!；

Z0

②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等；

③直线x+y+l=O与圆x'y'g相切.

其中真命题的序号是（）

A.①②③B.①②C.①③D.②③

答案C对于命题①,设原球的半径和体积分别为r,V,变化后的球的半径和体积分别为

r',V'4Ur'』r,由球的体积公式可知V'r'=n•Qr）4义:”/才,所以命题①为真命

题;命题②显然为假命题,如两组数据：1,2,3和2,2,2,它们的平均数都是2,但前者的标准差

为。，而后者的标准差为0;对于命题③,易知圆心到直线的距离匕所以直线与圆

相切,命题③为真命题.故选C.

4.（2013陕西文,6,5分）设z是复数,则下列命题中的假命题是（）

A.若z2^0,则z是实数B.若z2<0,则z是虚数

C.若z是虚数,则z2>0D.若z是纯虚数,则z2<0

答案C举反例说明，若z=i，则寸=-1<0,故选C.

考点二充分条件与必要条件

1.(2019北京文,6,5分)设函数£6)F。5*+6$皿*(15为常数)，则飞=0"是"f(x)为偶函数”

的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案C本题考查函数的奇偶性，充分、必要条件的判断，以及三角函数的性质;考查学生的

运算求解能力和推理论证能力；考查的核心素养是逻辑推理.

当b=0时,f(x)=cosx为偶函数;若f(x)为偶函数,则

f(-x)=cos(-x)+bsin(-x)=cosx-bsinx=f(x),

，-bsinx=bsinx对xWR恒成立，，b=O.故"b=0"是"f(x)为偶函数”的充分必要条件.故

选C.

易错警示本题在判断必要性时，易把函数化为f(x)=VT=sin(x+。)，其中tan6彳,再分

析小彳+kn(kCZ)在什么条件下成立.事实上，当eW+kn(kCZ)时，tan。不存在.

2.(2019天津文,3,5分)设*丘艮则“06<5”是的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案B|x-l|<l«-Kx-l<l«-0<x<2.

当0<x<2时,必有0<x<5;

反之,不成立.

所以，"O〈x<5”是的必要而不充分条件.

一题多解因为{x||x-l|<l}={x|0<x<2W{x|0<x<5},

所以"0<x<5"是的必要而不充分条件.

3.(2018北京文,4,5分)设@,"5£|是非零实数,则一£1=血”是“a,b,c,d成等比数列”的

()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2

答案B本题主要考查充分条件与必要条件，等比数列的性质.

由a,b,c,d成等比数列,可得ad=bc,即必要性成立；

当a=l,b=-2,c=-4,d=8时,ad=bc,但a,b,c,d不成等比数列，即充分性不成立,故选B.

方法总结充分条件与必要条件的判断方法：

1.直接法:分别判断命题“若P,则q”和“若q,则p”的真假.

2.集合法:设命题p,q中的变量构成的集合分别为P,Q.

若［与Q,则P是q的充分不必要条件；

若QSP,则P是q的必要不充分条件；

若P=Q,则P是q的充要条件；

若P&Q,且Q2P,则p是q的既不充分也不必要条件.

4.（2018天津，理4,5分）设xGR,则“卜眠”是“xY”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A本题主要考查解不等式和充分、必要条件的判断.

由上;恰得gxgg,解得0<x<l.

由x，<l得x〈l.当0<x<l时能得到x<l一定成立；当x<l时,0<x<l不一定成立.所以“|尸

是“x”l”的充分而不必要条件.

方法总结（1）充分、必要条件的判断.解决此类问题应分三步:①确定条件是什么，结论是什

么;②尝试从条件推结论,从结论推条件;③确定条件和结论是什么关系.

（2）探究某结论成立的充要、充分、必要条件.解答此类题目，可先从结论出发,求出使结论成

立的必要条件，然后验证得到的必要条件是否满足充分性.

5.（2018浙江,6,4分）已知平面a,直线m,n满足mda,nCa,则"m〃n"是"m〃a"的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案AVmda,nUa,m〃n,...m〃a,故充分性成立.而由m〃a,nUa,得m〃n或m与n

异面,故必要性不成立.故选A.

3

6.（2017北京理,6,5分）设m,n为非零向量，则“存在负数入，使得m=An”是“m•n〈0”的

（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案A由存在负数入，使得m=An,可得m、n共线且反向，夹角为180。，则

m,n=-1m||n|<0,故充分性成立.由m,n<0,可得m,n的夹角为钝角或180°,故必要性不成立.

故选A.

7.（2016北京理,4,5分）设a,b是向量.则“|a|=b"是“|a+b|=|a-b|”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案D当[a|=|b|=0时，|a|=|b|=|a+b|=|a-b|.

当|a|=|b|#0时，|a+b=Ia-b|<=>（a+b）?=（a-b）20a,b=0<=>a±b,推不出|a|=b.同样，由

|a|=|b|也不能推出a_Lb.故选D.

解后反思由向量加法、减法的几何意义知：当a、b不共线，且|a|=|b|时,a+b与a-b垂直；

当aJ_b时，|a+b|=|a-b|.

评析本题考查向量的模及运算性质，属容易题.

8.（2016天津理,5,5分）设｛aj是首项为正数的等比数列，公比为q,则“q<0”是“对任意的

正整数%由向+&/。”的（）

A.充要条件B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

答案C若对任意的正整数n,a2l+a2<0,则久+22<0,又a。。,所以a<0,所以q上kO.若q〈0,

1rnai

可取q=-l,%=l,则为+E=1-1=0,不满足对任意的正整数n.aze+a/O.所以可<0”是“对任

意的正整数n,也“产也“<0”的必要而不充分条件.故选C.

评析本题以等比数列为载体，考查了充分条件、必要条件的判定方法，属中档题.

9.（2016山东,6,5分）已知直线a,b分别在两个不同的平面a,B内.则“直线a和直线b相

交”是“平面a和平面6相交”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4

答案A因为直线a和直线b相交，所以直线a与直线b有一个公共点，而直线a,b分别在

平面a,B内，所以平面a与p必有公共点,从而平面a与p相交;反之,若平面a与p相交，

则直线a与直线b可能相交、平行、异面.故选A.

评析本题考查了线面的位置关系和充要条件的判断.

'y》尸1,

10.（2016四川,7,5分）设P：实数X,y满足（xT）2+（y-l）y2,q:实数x,y满足y2\-x,则p

（yW1,

是4的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A如图，作出p,q表示的区域，其中OM及其内部为p表示的区域,Z\ABC及其内部（阴

影部分）为q表示的区域,故P是q的必要不充分条件.

11.（2015重庆理,4,5分）“x〉l"是"logi（x+2）<0"的（）

2

A.充要条件B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

答案B当x>l时,X+2>3>1,又y=log[X是减函数，

2

logj^（x+2）<log|l=0,则x>l=log1（x+2）<0;当logj（x+2）<0时,x+2>l,x>T,则

2222

logi（x+2）<0=/x>l.故"xX"是"logi（x+2）C0"的充分而不必要条件.选B.

22

12.（2015天津理,4,5分）设*£兄则“16<2”是的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A因为|x-2|G等价于即l〈x<3,由于（1,2）[（1,3）,所以“kx<2”是

"|x-2|<lM的充分而不必要条件，故选A.

13.（2015湖南理,2,5分）设A,B是两个集合,则“ADB=A”是“AUB”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

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C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案C若ACB=A，任取xGA,则xGACB,

；.xGB,故AUB;若AUB,任取xGA,都有xeB,

...xGAAB,.,.AU（ACB）,又AABUA显然成立，，AnB=A.

综上，"AAB=A”是“AUB”的充要条件，故选C.

14.（2015陕西理,6,5分）“sina=cosa”是“cos2a=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案A由sina=cosa,得cos2aFos,a-sin2a=0,即充分性成立.

由cos2a=0,得sina=±cosa,即必要性不成立.故选A.

15.（2014安徽理,2,5分）“x<0”是“ln（x+l）<0"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案Bln（x+l）<0=0<x+l<lQT<x<0=x<0;而x<0=/-l<x<0,故选B.

16.（2014浙江理,2,5分）己知i是虚数单位,a,beR,则“a=b=l”是“（a+bi）、2i”的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案A当a=b=l时，有（l+i¥=2i,即充分性成立.当（a+bi）2=2i时,有a2-b2+2abi=2i,得

｛蒙J0,解得a=b=l或a=b=-l,即必要性不成立,故选A.

评析本题考查复数的运算，复数相等的概念,充分条件与必要条件的判定,属于容易题.

17.（2014北京理,5,5分）设瓜｝是公比为q的等比数列.则“q>l”是“｛aj为递增数列”的

（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案D若q>l,则当a产T时,an=-q7｛aj为递减数列所以“q>l"=/“｛aj为递增数

列”；若人｝为递增数"J,则当a.=-（,时,ai=W，q*l，即“人｝为递增数列"=/“q〉l”.

故选D.

考点三简单的逻辑联结词

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1.（2014湖南理,5,5分）已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题

①pAq；②pVq；③pAO；④（邛）Vq中，真命题是（）

A.①③B.①④

C.②③D.②④

答案C由不等式性质知:命题p为真命题，命题q为假命题，从而B为假命题,飞为真命题.

故pAq为假命题,pVq为真命题,pA（2）为真命题，Cp）Vq为假命题,故选C.

2.（2014辽宁理,5,5分）设a,b,c是非零向量.已知命题p:若a•b=0,b•c=0,则a•c=0;命

题4：若2〃13,1）〃5则@〃&则下列命题中真命题是（）

A.pVqB.pAq

C.5p）AQq）D.pVCq）

答案A由题意知命题p为假命题，命题q为真命题，所以pVq为真命题.故选A.

3.（2014重庆文,6,5分）已知命题p:对任意xCR,总有|x|》0;q:x=l是方程x+2=0的根.则

下列命题为真命题的是（）

A.pA-'qB.T>AqC.6八2D.pAq

答案A由题意知，命题p为真命题，命题q为假命题，故飞为真命题，所以p/\rq为真命题.

4.（2013课标I文,5,5分）已知命题p:VxGR,2<3';命题q:3xSR,x3=l-x2,则下列命题中为

真命题的是（）

A.pAqB.pAq

C.pAqD.pAq

答案B对于命题p,由于x=-l时,2彳>”;所以是假命题，故p是真命题；

对于命题q,设f（x）=Rx2-l,由于f（0）=-l<0,f（1）=1>0,所以f（x）=0在区间（0,1）上有解,即

存在xCR,故命题q是真命题.

综上，pAq是真命题,故选B.

考点四全称量词与存在量词

L（2015课标I理,3,5分）设命题p:mnGN,nZ>2",则”为（）

A.VneN,n2>2nB.3nGN,n2^2n

C.VnGN,n2<2"D.3nSN,n2=2n

答案C根据特称命题的否定为全称命题，知fp:VnGN,n2W2",故选C.

2.（2015浙江理,4,5分）命题“VnGN*,f（n）GN\af（n）Wn"的否定形式是（）

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A.VnWN*,f(n)&N*且f(n)>n

B.VnGN*,f(n)&N*或f(n)>n

C.mn