奇偶性的概念讲义 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2函数的基本性质——奇偶性第20讲、3.2.2.1奇偶性的概念知识点一、函数奇偶性的概念问题1、观察下列函数图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？问题2、结合上图，请完成表格，思考如何利用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”呢？x…－4－3－2－101234…f(x)＝x2……g(x)＝2－|x|……问题3、观察函数f(x)＝x和g(x)＝eq\f(1,x)的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？你能用符号语言精确地描述这一特征吗？并自主探究结果．知识梳理知识梳理偶函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．奇函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．

注意点注意点：(1)函数的奇偶性是函数的整体性质．(2)先判断定义域是否关于原点对称，对于∀x∈D，都有－x∈D，即便定义域关于原点对称，还需判断f(－x)与f(x)的关系，若f(－x)＝f(x)，则函数是偶函数，若f(－x)＝－f(x)，则函数是奇函数，若f(－x)≠±f(x)，则函数为非奇非偶函数．(3)偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称．(4)若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)＝0.(5)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集，但有无数个既奇又偶的函数．二、函数奇偶性的判断例1、判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝－|x|；(2)f(x)＝eq\r(x2－1)＋eq\r(1－x2)；(3)f(x)＝eq\f(x,x－1)；(4)f(x)＝x－eq\f(1,x).反思感悟判断函数奇偶性的方法(1)定义法：(2)图象法：反思感悟判断函数奇偶性的方法(1)定义法：(2)图象法：1、判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝eq\f(1,x)；(2)f(x)＝x2(x2＋2)；(3)f(x)＝x4；(4)f(x)＝x3；(5)f(x)＝x+eq\f(1,x)；(6)f(x)＝0．2、判断下列函数的奇偶性．；；；（4）．3、函数的奇偶性是（）A．奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数

三、奇、偶函数的图象及应用例2、已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数y＝f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．(1)请补全函数y＝f(x)的图象；(2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间；(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合．延伸探究若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？【跟踪训练】定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示．(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；(2)比较f(1)与f(3)的大小．

四、利用函数的奇偶性求值例3、(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.(2)已知函数f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.(3)已知函数是偶函数，则实数的值反思感悟利用奇偶性求值的常见类型(1)求参数值：反思感悟利用奇偶性求值的常见类型(1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数．1、已知函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数，则m的值是()A．4B．3C．2D．12、设函数f(x)＝eq\f(x＋1x＋a,x)为奇函数，则a＝________.3、已知函数是定义在区间上的奇函数，则f(m)＝________．4、函数为偶函数,则a等于()A．－2B．－1C．1D．25、若函数是偶函数，则是（）A．奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数1．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于()A．－1B．0C．1D．无法确定2．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是()3．(多选)下列函数是奇函数的是()A．y＝x(x∈[0,1])B．y＝3x2C．y＝eq\f(1,x)D．y＝x|x|4．已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________．1．下列函数中为偶函数的是()A．f(x)＝x3B．f(x)＝x5C．f(x)＝x＋eq\f(1,x)D．f(x)＝eq\f(1,x2)2．若f(x)＝3x3＋5x＋a－1为R上的奇函数，则a的值为()A．0B．－1C．1D．23．若函数f(x)满足eq\f(f－x,fx)＝1，则f(x)的图象的对称轴是()A．x轴B．y轴C．直线y＝xD．不能确定4．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数5．已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－eq\f(a,x)，若f(2)＋f(0)＝1，则f(－3)等于()A．－4B．－3C．－2D．16．(多选)下列命题正确的是()A．偶函数的图象一定与y轴相交B．奇函数的图象一定通过原点C．若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则恒有f(0)＝0D．若函数f(x)为偶函数，则有f(x)＝f(－x)＝f(|x|)7.设偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是________________．8.已知函数f(x)是定义在[－3,0)∪(0,3]上的奇函数，当x>0时，f(x)的图象如图所示，那么f(x)的值域是________．9．判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝eq\r(x)；(2)f(x)＝eq\f(\r(1－x2),x)；(3)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x>0，,x2－x，x<0.))10．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；

(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．11．若函数f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)的图象上的是()A．(a，－f(a))B．(－a，f(a))C．(－a，－f(a))D．(a，f(－a))12．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x是有理数，,0，x是无理数))是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数13．(多选)对于定义在R上的函数f(x)，下列判断正确的是()A．若函数f(x)满足f(－2)＝f(2)，则f(x)是偶函数B．若函数f(x)满足f(－2)≠f(2)，则f(x)不是偶函数C．若函数f(x)满足f(2)>f(1)，则f(x)是R上的增函数D．若函数f(x)满足f(2)>f(1)，则f(x)不是R上的减函数14．已知定义域为[a－4,2