新高考数学一轮复习提升训练6.1 等差数列（精讲）（解析版）

6.1等差数列（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一等差中项【例1】（2022·青海）已知等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的两根，则SKIPIF1<0的前21项的和为（

）A．6 B．30 C．63 D．126【答案】C【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的两根，由韦达定理得：SKIPIF1<0，所以等差数列SKIPIF1<0的前21项的和SKIPIF1<0．故选：C【一隅三反】1．（2022·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】C【解析】因为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：C.2．（2022·江西）设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．56 B．63 C．67 D．72【答案】B【解析】设SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B3．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知数列SKIPIF1<0是等差数列，数列SKIPIF1<0是等比数列，若SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．2 D．4【答案】B【解析】由等差中项的性质可得SKIPIF1<0，由等比中项的性质可得SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故选：B.4.（2022·安徽滁州）已知SKIPIF1<0是公差不为零的等差数列，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【解析】由等差数列的性质得，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0故选:A考点二等差数列的前n项和性质【例2-1】（2022·青海）已知等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．－10 B．－20 C．－120 D．－110【答案】C【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：C【例2-2】．（2022·全国·高三专题练习）两个等差数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】两个等差数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A【例2-3】（2022·全国·高三专题练习）等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设SKIPIF1<0的公差为d，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即{SKIPIF1<0}为等差数列，公差为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0故选：A﹒【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．8 B．12 C．14 D．20【答案】D【解析】等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0构成首项为2，公差为2的等差数列则SKIPIF1<0SKIPIF1<0+(SKIPIF1<0)+(SKIPIF1<0)+(SKIPIF1<0)=2+4+6+8=20故选：D2．（2022·湖北武汉·模拟预测）设公差不为零的等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．-1 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：C.3．（2022·全国·模拟预测）设等差数列SKIPIF1<0与等差数列SKIPIF1<0的前n项和分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若对于任意的正整数n都有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B.4．（2022·广东习）等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1011 B．2022 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】数列SKIPIF1<0公差为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故选：B．考点三等差数列的最值【例3-1】（2022·北京）设等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0取最大值n等于（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】设公差为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取最大值故选：B【例3-2】．（2022·陕西）设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0SKIPIF1<0（

）时，SKIPIF1<0最大.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，根据等差数列性质，因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；所以得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以等差数列SKIPIF1<0为递减的数列，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最大.故选：B.【例3-3】（2022·全国·高三专题练习（理））已知等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下面结论错误的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0均为SKIPIF1<0的最小值【答案】C【解析】对于A选项，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，A选项正确；对于C选项，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，C选项错误；对于D选项，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0均为SKIPIF1<0的最小值，D选项正确；对于B选项，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，B选项正确．故选：C．【一隅三反】1．（2022·内蒙古包头·高一期末）等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，公差为d，已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．则使SKIPIF1<0成立的最小正整数n的值为（

）A．4 B．5 C．8 D．9【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以使SKIPIF1<0成立的最小正整数n的值为9.故选：D.2．（2022·全国·高三专题练习（文））在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的前n项和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则无法判断正负的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】设公差为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可知：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不确定正负，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故选：B3．（2022·河南许昌）已知SKIPIF1<0是等差数列SKIPIF1<0的前n项和，若对任意的SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0．成立，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题意，等差数列SKIPIF1<0，对任意的SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0是等差数列SKIPIF1<0的前n项和中的最小值，必有SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等差数列SKIPIF1<0的前n项和中的最小值，此时SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0是等差数列SKIPIF1<0的前n项和中的最小值，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，综合可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：D.4．（2022·湖北·荆州中学高三开学考试）已知等差数列SKIPIF1<0的公差不等于0．其前SKIPIF1<0为项和为SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．18 B．20C．22 D．24【答案】B【解析】设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，否则SKIPIF1<0，矛盾，于是得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，否则SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0，矛盾，因此，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则公差SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，于是有等差数列SKIPIF1<0是递减数列，其前5项都是非负的，从第6项起为负，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值为20.故选：B考点四等差数列的综合运用【例4】（2022·广东深圳·高三期末）（多选）已知d为等差数列SKIPIF1<0的公差，SKIPIF1<0为其前n项和，若SKIPIF1<0为递减数列，则下列结论正确的为（

）A．数列SKIPIF1<0为递减数列 B．数列SKIPIF1<0是等差数列C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0依次成等差数列 D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】BD【解析】由题意可知数列SKIPIF1<0是等差数列，且递减，则SKIPIF1<0，不妨举例如：SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，这三项不构成递减数列，故A错；而SKIPIF1<0,这三项不构成等差数列，说明C错；对于B，SKIPIF1<0，是关于n的一次函数，因此SKIPIF1<0是等差数列，故B正确；对于D，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故D正确，故选：BD.【一隅三反】1．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）（多选）记数列SKIPIF1<0是等差数列，下列结论中不恒成立的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】设等差数列SKIPIF1<0的首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0，则对于A，由数列SKIPIF1<0是等差数列及SKIPIF1<0，所以可取SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不成立，故A正确；对于B，由数列SKIPIF1<0是等差数列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0恒成立，故B不正确；对于C,由数列SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0可取SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不成立，故C正确；对于D，由数列SKIPIF1<0是等差数列，得SKIPIF1<0，无论SKIPIF1<0为何值，均有SKIPIF1<0所以若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0恒不成立，故D正确.故选：ACD.2．（2022·广东湛江·高三阶段练习）（多选）设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．数列SKIPIF1<0是递增数列 B．SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【解析】等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可得B正确；SKIPIF1<0SKIPIF1<0故数列为递减数列，故A错误；因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为数列是递减数列，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，C是正确的；SKIPIF1<0，故D错误；故选：BC3．（2022·全国·高三专题练习）（多选）在等差数列SKIPIF1<0中，其前SKIPIF1<0的和是SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0是递增数列 B．其通项公式是SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0取最小值时，SKIPIF1<0的值只能是SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】由SKIPIF1<0，可知等差数列SKIPIF1<0为递增数列，A正确；由题设，SKIPIF1<0，B正确；SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取最小值且为SKIPIF1<0，故C错误，D正确.故选：ABD4．（2022·福建漳州·三模）（多选）已知数列{SKIPIF1<0}的前n项和为SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）．A．SKIPIF1<0是递增数列 B．SKIPIF1<0是递减数列C．SKIPIF1<0 D．数列SKIPIF1<0的最大项为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】因为SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0的最大项为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，故D正确；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，两式相减得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，适合上式，所以SKIPIF1<0，故C正确；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是递减数列，故A错误，B正确；故选：BCD考点五等差数列的实际运用【例5-1】（2022·湖北·模拟预测）（多选）在新加坡举行的2020世界大学生辩论赛中，中国选手以总分230.51分获得冠军．辩论赛有7位评委进行评分，首先7位评委各给出某队选手一个原始分数，评定该队选手的成绩时从7个原始分数中去掉一个最高分、去掉一个最低分，得到5个有效评分．若某队选手得到的7个原始分成等差数列，且公差不为零，则5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是（

）A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差【答案】AB【解析】7个原始分成公差SKIPIF1<0的等差数列，设为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则中位数及平均数均为a，方差为SKIPIF1<0，极差为SKIPIF1<0则5个有效分为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，中位数及平均数均为a，方差为SKIPIF1<0，极差为SKIPIF1<0∴A、B正确，C、D错误．故选：AB．【例5-2】（2021·全国·高二单元测试）数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的正整数按从小到大的顺序排成一列，构成数列SKIPIF1<0，则满足SKIPIF1<0的正整数SKIPIF1<0的最小值为（

）A．132 B．135 C．136 D．138【答案】C【解析】由题意归纳可知，数列为8，23，38，…，即所求数列是首项为8公差为