2023年湖北省武汉市蔡甸区第二高级中学高三数学理期末试卷含解析

2023年湖北省武汉市蔡甸区第二高级中学高三数学理

期末试卷含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

2

1.已知函数f(x)=1n，若有二个不同的实数a,b,c,使得f(a)=f

(b)=f(c)，则a+b+c的取值范围为()

3x4035M

A.(2兀，20177T)B.(271,2018n)C.(T,2)D.(n,2017兀)

参考答案：

B

【考点】根的存在性及根的个数判断.

【分析】作出y=f(x)的函数图象，根据函数的对称性可得a+b=;r,求出c的范围即可得

出答案.

【解答】解：当xE［O,兀］时，f(x)=cos(x-2)=sinx,

・・・f(X)在［0,兀］上关于X=2对称，且fmax(X)=1,

X

又当x€(兀，+00)时，f(x)=10g2017兀是增函数，

作出产f(X)的函数图象如图所示：

令log2017冗=1得x=2017兀，

vf(a)=f(b)=f(c),

••・a+b=7c,c6(兀，2017兀)，

••・a+b+c=7t+cC(2兀，2018兀).

故选：B.

2.曲线y=x3—2x2在点(i,一1)处的切线方程为()

A.y=X—2B.y=-3x+2C.y=2x—3D.y=-x

参考答案：

D

略

3.一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何的体积为

()

(4+

(4+

(A)(B)办。

(8+噂馅

(C)(D)

参考答案：

D

略

4已知M=((xj)3=J-VjwQ),N={(x,y)|了=x+b},若MD州w。，则

be()

A.[-减.3囱B.

（-3抬3点）

C.（-3./]D.

[-3.3^]

参考答案：

C

略

2r-y<2

<x-y>-i

5.设变量x、y满足约束条件I**/",则”的最大值为（）

A.22B.20C.18D.16

参考答案：

C

6.（5分）设A是整数集的一个非空子集，对于k£A,如果k-1?A且k+l?A,那么称k是

集合A的一个“好元素”.给定集合$={1,2,3,4,5,6,7,8）,由S的3个元素构成

的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（）

A.2个B.4个C.6个D.8个

参考答案：

C

【考点】：元素与集合关系的判断.

【专题】：集合.

【分析】：根据题意，要使S的三个元素构成的集合中不含好元素，只要这三个元素相

连即可，所以找出相连的三个数构成的集合即可.

解：根据好元素的定义，由S的3个元素构成的集合中，不含好元素的集合为:

{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8).

故选C.

【点评】：考查对好元素概念的理解，以及子集的概念，元素与集合的关系.

7.已知皿不由“：那么8$a=()

二，£2

A.B.5c.D.5

参考答案：

C

略

8.对于平面上点P和曲线C,任取C上一点。，若线段PQ的长度存在最小值，则称该值

为点P到曲线C的距离，记作d(BC),若曲线C是边长为6的等边三角形，则点集

所表示的图形的面积为()

A.36B,36-3^5

C.36+元D.%—34+JT

参考答案：

D

【分析】

画出点集5={2|"(P,/)0}所表示图形，分别求出各部分图形的面积，作和得答案.

【详解】点集S={Pk/(P,/)W1}所表示图形如图中的阴影部分所示：

其中三个顶点处的扇形正好是一个半径为1的圆，其面积为方,

等边三角形ABC外的三个矩形面积为6X1X3=18,

6x6x4（6-M）'x百„r

等边三角形ABC内的部分面积为4-4=18-3V3

故面积和为％-3石+元，

故选D.

【点睛】本题考查曲线与方程，考查数形结合的解题思想方法，关键是对题意的理解，是

中档题.

log2x（x>0）1

9.已知函数3，xS。则的值是（）

A.9B.9C.-9D.-9

参考答案：

B

略

10.过抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点F的直线1与抛物线交于M,N两点，若

近一4百，则直线I的斜率为（）

3234

A.+2B.±3C.±4D.±3

参考答案：

D

【考点】抛物线的简单性质.

【分析】作MB垂直准线于B,作NC垂直准线于C,作NA垂直MB于A,根据抛物线

定义，可得tan4NMA就是直线1的斜率

【解答】解：如图，作MB垂直准线于B,作NC垂直准线于C,

根据抛物线定义，可得MB=MF,NC=NF

作NA垂直MB于A,设FN=m,则MN=5m,NA=MF-NF=3m

AN=l

在直角三角形AMN中tan/NMA=AM~3,

_4

・••直线1的斜率为±5,

故选：D

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

工

11.求曲线丫=y，y=2-x,y=-3x所围成图形的面积为.

参考答案：

13

~6

考点：定积分在求面积中的应用.

专题：导数的综合应用.

分析：分别求出曲线的交点坐标，然后利用积分的应用求区域面积即可.

((x=i

解答：解：由1尸2-x解得1尸1,即A(1,1).

'y=2-x

,1fx=3

=

y一一Y«4

由I3,解得l尸-1,即B(3,-1),

1

.•.曲线丫=爪，y=2-x,y=-5x所围成图形的面积为

Jo(4-(-4x))dx+J；(2-x-(--1x))dx

3

222

Jo(、x+«)dx+J；(2~-1x)dx(-^x+-|x)|Q(2x-^x)|j

二UJL=00u+J，=

i46-3-2+H

13

故答案为：T；

点评：本题主要考查定积分的应用，根据曲线方程求出曲线交点是解决本题的关键，要

求熟练掌握常见函数的积分公式.

.a-I(sinx+cosx)dx2

12.已知Jo'则二项式Jx展开式中X的系数是

参考答案：

-192

略

13.若函数了=是函数丁=a'（a>°，且。*D的反函数，且函数了=/（力的图像经过

点（G.a）,则.

参考答案:

loglX

=1r

14.椭圆75(a为定值，且a的左焦点为尸，直线x=加与椭圆相交于点

A,B,的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是.

参考答案：

2

3

-2i

15.i是虚数单位，复数币的虚部为—

参考答案：

-1

16.我国南宁数学家秦九韶在《数书九章》中记载了利用三角形三边求三角形面积的公

称为“三斜求积”公式，它虽然形式上与海伦公式不一

样，但两者完全等价，它填补了我国传统数学的一个空白，充分说明我国古代已有了很高

的数学水平，现有三角形三边分别为4、6、8,则三角形的面积为.

参考答案:

3岳

17.如图所示，在正方形468中，点为边8c的中点，点,为边8上的靠近点C的

四等分点，点G为边抬上的靠近点Z的三等分点，则向量所用屈与万表示

为.

参考答案:

5——51

FQ=一AB--AD

126

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.已知函数/(x)=xev-a\nx(无理数e=2.718...).

(1)若/(x)在(0,1)单调递减，求实数a的取值范围；

(2)当a=-1时，设g(x)=x(/(x)—xe')—T+K—b,若函数g(x)存在零点,

求实数6的最大值.

参考答案：

(1)a>2e；(2)0

【分析】

(1)由题得/,(力加即生(x2+x)ex在(0,1)上恒成立，再构造函数求函数的最大

值即得解；(2)问题等价于方程b=xlnx-x3+x2在(0,+oo)上有解，先证InxWx—1

(x>0),再求得b的最大值为0.

-a

/'(xjsj®1+•*--=

【详解】(1)Xx

由题意：尸(%),x£(0,1)恒成立，即(x2+x)ex—a<0,

也就是哈(x2+x)F在(0,1)上恒成立，

设h(x)=(x2+x)ex,

则%(由=e、(2x+l)+(x2+x)ex=ex(x2+3x+l),

当x£(0,I)时，x2+3x+1>0,

故A'(目)>0,h(x)在(0,1)单调递增，h(x)<h(1)=2e,

因此a>2e.

(2)当a=-l时，f(x)=xex+lnx,g(x)=xlnx—x3+x2—b,

由题意：问题等价于方程b=xlnx—x3+x2在(0,+oo)上有解，

/=----1

先证：Inxgx—1(x>0),事实上：设y=lnx—x+1,则X

令K,x=1,x£(0,1)时，，y，＞0函数递增，x£(1,+oo)时:y'VO函数递

减，

ymax=yix=i=O，即ySO,也就是Inxgx-1.

由此:k(x)=xlnx—x3+x2<x(x—I)—x3+x2=2x2—x—x3=—x(x2—2x+1)<0,

故当x=l时，k(1)=0,所以b的最大值为0.

【点睛】本题主要考查利用导数研究不等式的恒成立问题和零点问题，意在考查学生对这

些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

19.(本小题满分15分)已知函数/(x)=-1+2|x-a|.

(1)若函数•>'=."公为偶函数，求实数a的值；

£

(2)若“一］，求函数>'=/(公的单调递增区间；

(3)当&>0时，若对任意的》占［°，-8),不等式/(x-l)22/(x)恒成立，求实数a的

取值范围.

参考答案：

【知识点】函数恒成立问题.B14

【答案解析】(1)a=0；(2)(2】及切；⑶娓

解析：(1)解法一：因为函数f(x)=-x?+2|x-a|

又函数y=f(x)为偶函数，

所以任取x€R,则f(-x)=f(x)恒成立，

即-(-x)2+2|-x-a|=-x2+2|x-a|恒成立....(3分)

所以|x-a|=|x+a|恒成立,

两边平方得：x2-2ax+a2=x2+2ax+a2

所以4ax=0,因为x为任意实数，所以a=0...(5分)

解法二(特殊值法)：因为函数y=f(x)为偶函数，

所以f(-1)=f(1),得|1-a|=|l+a|,得:a=0

所以f(x)=-x2+2|x|,

故有f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数...(5分)

x2-2x+l,x<-1

f(x)=~x2+2|x-2I

X乙x2+2xf」8分)

(2)若咤，则

由函数的图像可知，函数的单调递增区间为(°*、U及3...........io分

(3)不等式"-二小)化为卜-1叫=A-4kT

即：4kN2lx0小广⑵1(*)对任意的xT°Ja)恒成立

因为4.、0,所以分如下情况讨论：

①04x4a时,不等式(*)化为-4(x-a)+2[x-(l+a)]<x2+2x-1,

即x2+4x+l-2a20对任意的xG[0,a]恒成立,

因为函数g(x)=x?+4x+l-2a在区间[0,a]上单调递增，

则g(0)最小，所以只需g(0)20即可，得、2,

又a>0所以2...(12分)

②aVxVl+a时，不等式(*)化为4(x-a)+2[x-(1+a)]<x2+2x-1,

即x?-4x+l+6aN0对任意的xW(a,1+a]恒成立，

-0<a4—、

由①，2,知：函数h(x)=x?-4x+l+6a在区间(a,1+a]上单调递减，

则只需h(1+a)20即可，即a2+4a-220,得a4-2一加或a>%-2.

因为加一2<,所以，由①得遍一2《哀臣..Q4分)

③x>l+a时，不等式(*)化为4(x-a)-2[x-(1+a)]<x2+2x-1,

即x2+2x-320对任意的

xG(a+l,+8)恒成立，

因为函数力(x)=x?+2x-3在区间(a+1,+8)上单调递增，

则只需巾(a+1)20即可，

BPa2+4a-2>0,得我一2-&或>加-2,由②得述一之《哀，

综上所述得，a的取值范围是…(16分)

【思路点拨】(I)因为函数y=f(x)为偶函数，所以可由定义得f(-x)=f(x)恒成

立，然后化简可得a=0；也可取特殊值令x=l,得£(-1)=£(1),化简即可，但必须检

验.

1<1

(D)分已2x2将绝对值去掉，注意结合图象的对称轴和区间的关系，写出单调

增区间，注意之间用"和(HI)先整理f(x-1)>2f(x)的表达式，有绝对值的放到

左边，然后分①04x4a②a<x41+a③x>l+a讨论，首先去掉绝对值，然后整理成关于x

的一元二次不等式恒成立的问题，利用函数的单调性求出最值，从而求出a的范围，最后

求它们的交集.

20.椭圆7(«>>>o)的左、右焦点分别为4,耳，过弓作垂直于”轴的

直线I与椭圆区在第一象限交于点P,若忸区k5,且3a=尿.

(I)求椭圆£的方程；

(II)A,不是椭圆C上位于直线J两侧的两点.若直线人乃过点(LD,且

NA咫=4居，求直线的方程.

参考答案：

(I)由题可得四卜:“，因为阙由椭圆的定义得a=4,所以〃一12,所

乙2=]

以椭圆6方程为1612~.

(II)易知点P的坐标为(Z笏.因为"黑〃军，所以直线E4,府的斜率之和

为0.设直线的斜率为上，则直线产出的斜率为一上，设H(马•为),则直线

正波的方程为尸3=M1-2),

jr-3=M“-2)

工仁」

由I16*12可得0**)12♦啊5一狗1+40一狗2一福=°,[KS5UKS5匚KS5U

3+衣

同理直线的方程为y3=-*U2),可得

/&K2i-3)_8k(2il3)

巧3+4一3+4,

1(UP-12^l&k

=春衣，

.」一外_咐一0+3.乜弓F-3HR♦5)-4*1

夕fAfAf2

,X,0

v+l=—lr-Dccc

...满足条件的直线/6的方程为2,即为工一2尸一3=0.

21.已知函数/(x)=4sin(x+©Q>Q0<e<;r),xeR的最大值是匕其图像经过点

鸣2

求/(X)的解析式；

已知小吟，且/⑹q3吟・求偿”的值。

参考答案：

(1)依题意有月=1,则/")=sin(.x+@)，

河(彳，7)代入，曲(牙+>)=7

将点3232,

*TT5”

Q<<P<7T,：,—+*=-H,：.(P--

而362

/