初中数学正弦综合强化练习

初中数学正弦综合强化练习

学校:姓名：班级:考号：

一、单选题

1.如图，。。的半径为6,将劣弧沿弦AB翻折，恰好经过圆心。，点C为优弧上

的一个动点，则AABC面积的最大值是（）

A.6百B.12百C.27&D.54右

2.图①是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的

直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形。钻C.若48=8C=1,

ZAOB=a,贝han/BOC的值为（）

A.sineB.cosaC.tanaD.-------

sina

3.如图1,在平行四边形A8CZ）中，NB=60。，BC=2AB,动点尸从点A出发，以

每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点8停止，同时动点。从点8出发，以每秒4

个单位的速度沿折线3-C-D运动到点。停止.图2是点P、。运动时，VBPQ的面

积S与运动时间/函数关系的图象，则。的值是（）

A.6百B.C.6D.12

4.正五边形ABCDE内接于圆，连接AC,AD,BE,BE分别与4C,AD交于点凡

G,连接。尸.若AB=2,下列结论：①/尸£>G=18。；②BF=非-1；③四边形

A.4个B.3个C.2个D.1个

5.如图，菱形4BCD的边长为2cm,动点E,尸同时从点A都以lcm/s的速度出发,

点E沿A—B—C路线，点F沿ATD—C路线运动，连接EE设运动时间为后，

△4E尸的面积为Scm2,则下列图象中能大致表示S与，的函数关系的是（）

6.如图中的每个小正方形的边长均相等，则sinN84c的值为（）

B.受

2

3M

JnU.-------

10

7.如图，四边形A8CQ中，AB//DC,DEA.AB,CFA.ABf垂足分别为E,F,且

AE=EF=FB=5cm,£>E=12cm.动点P,。均以Icm/s的速度同时从点A出发，

其中点尸沿折线AD-OC-CB运动到点8停止，点。沿AB运动到点B停止，设运动

时间为，(s),AAPQ的面积为)，(cm),则y与，对应关系的图象大致是()

8.如图，点A,B,C在正方形网格的格点上，则sin/BAC=()

6261313

9.一个长方体木箱放置在斜面上，其端点A落在水平地面上，相关数据如图所示，则

木箱端点C距地面m的高度是()

A.〃cosa+Z?sinaB.asina+hcosa

C.asina+bsinaD.acosa+bcosa

10.如图，点4B,C在正方形网格的格点处，sinNABC等于（）

二、填空题

11.将直线y=3x向下平移1个单位长度得到直线/,直线/与x轴交于点A,与y

轴交于点B,贝ijsinZABO=.

12.如图，在矩形ABCQ中，点E在边上，BE,AC于点尸，若AD=2,

AB=CF,则sinZABE的值为.

13.在/?必48（7中，ZC=90°,BC=2,sinA=-,则边AB的长为______.

4

14.如图所示，NAO8是放置在正方形网格中的一个角，贝UsinZAOB的值是

15.如图，PA,P8是。。的切线，A、B为切点，AC是OO的直径，若AC=10,

16.如图，在圆内接四边形ABC。中，若/80Q=NA,则sinC=

17.如图，在△ABC中，AB=AC,以AC边为直径作。。交BC于点。，过点。作

力EL48交AB于点E,交AC的延长线于点F.

(1)求证：QE是OO的切线；

3

(2)若EB=1,且sin/C尸。==，求。尸的长.

18.如图，AB=2,射线点P为上一点，以3P为直径作。C,点。

在。C上，AD^AB,连接PD,点。为弦PD上一点，射线QC交。C于点E.

(1)求证：为OC的切线;

(2)若NAC8=30。，求：

①劣弧PQ的长；

②QE长的取值范围.

19.计算：|6—2|+(sin36°-y)74.

20.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10x10网格中，线段AB的端

(1)将线段A8先向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度得到线段A/8’,画

出线段A/囱；

(2)将线段A/B/绕点4顺时针旋转90。得到线段4/历，画出线段4比；

⑶连接8B/,直接写出sinNB/8A=.

21.如图，在。。中，AB是直径，弦。垂足为H,E为BC上一点,F为弦

0c延长线上一点，连接正并延长交直径AB的延长线于点G,连接AE交于点

P,若FE=FP.

(1)求证：正是。。的切线；

(2)若。。的半径为8,sinF=|,求BG的长.

22.如图，AABC中，AC=BC,点/是AABC的内心，点。在边8c上，以点。为圆

心，长为半径的圆恰好经过点/,连接C/,BI.

A

(1)求证：。是。。的切线；

(2)若AC=BC=5,AB=6,求sin/A8/值.

23.如图是某飞机模型的示意图，其中AE为固定支架，机身C。可以绕点E旋转调节

摆放角度.经测量，支架AE的长为30cm,旋转点E到机头。的距离为40cm,且支

架AE与底座AB的夹角NBAE=70。.已知当ED与底座AB的夹角为30。时，模型摆放

最稳定，求此时机头。到底座4B的距离.(结果精确到1cm,参考数

据：sin700~0.94,cos700~0.34,tan70°~2.75,6n.73,底座厚度忽略不计)

24.如图1的风力发电机，风轮的三个叶片均匀分布，当风轮的叶片在风力作用下旋

转时，最高点距地面145加，最低点距地面55m.如图2是该风力发电机的示意图，发

电机的塔身。。垂直于水平地面MN(点。，A,B,C,D,M,N在同一平面

内).

(1)求风轮叶片。4的长度；

(2)如图2,点A在。。右侧，且tz=14.4。.求此时风叶OB的端点8距地面的高

度.(参考数据：sin44.4°®0.70,tan44.4。a0.98)

25.如图，四边形ABC。中，对角线AC,有交点，且/ABC+90。.点E

与点(7在8。同侧，连接BE,CE,DE,若XABDs/\CBE.

(1)求证：DC±CE；

出若黑=：闻=20,山8=25«)£,求ABDE的面积

£>CO10

参考答案:

1.c

【解析】

【分析】

如图，过点C作CTL4B于点7,过点。作。于点H,交。。于点K,连接A0、

AK,解直角三角形求出A8,求出CT的最大值，可得结论.

【详解】

解：如图，过点C作CTA.AB于点T,过点0作OHLAB于点H,交。。于点K,连接

AO.AK,

由题意可得AB垂直平分线段0K,

：.AO=AK,0H=HK=3,

,/OA=OK,

：.OA=OK^AK,

：.NO4K=/AOK=60°,

/.AH=OAX5Z7?60°=6X=3^3,

2

<?OH.LABf

：.AB=2AH=6y/3,

•・・OC+OH>CT,

：.CT46+3=9,

・・・CT的最大值为9,

•・.△ABC的面积的最大值为gx6百x9=27g,

故选：C.

【点睛】

答案第1页，共29页

本题考查垂径定理、三角函数、三角形的面积、垂线段最短等知识，解题的关键是求出CT

的最大值，属于中考常考题型.

2.A

【解析】

【分析】

在WV。由中，sina="，可得。8的长度，在中，tanZBOC=^-,代入即可

OBOB

得出答案.

【详解】

解：VAB=BC=\,

在RNOAB中，sina=——，

tanNBOC==—■—

在心AOBC中,OB1

sina

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题

的关键.

3.B

【解析】

【分析】

根据题意计算得A3=6；再结合题意，得当动点。在BC上时，VBPQ的面积S随运动时

间f变化呈现二次函数关系；当动点。在8上时，V3PQ的面积S随运动时间f变化呈现

一次函数关系，从而得a对应动点Q和点C重合；通过计算SMPC，即可得到答案.

【详解】

解：•••动点尸从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动到点8停止，一共用6

秒钟，

A8=lx6=6.

BC=2AB=2x6=\2,

答案第2页，共29页

,/四边形ABCD为平行四边形,

：.AB=CD=6,

当动点Q在BC上时，VBPQ的面积S随运动时间，变化呈现二次函数关系,

当动点Q在C。上时，VBPQ的面积S随运动时间，变化呈现一次函数关系,

对应动点。和点C重合，如图：

•••动点Q以每秒4个单位的速度从点8出发，

，4f=12,

；・1=3,

AP=■=3,

:.BP=AB-AP=6-3=3,

如图，过点C作CELAB,交A8于点E,

・•・CE=BCxsinZB=12x—=6^,

2

；・SVBPC=gx5PxCE=；x3x66=9百，EfJa=9\f3.

故选：B.

【点睛】

本题考查了平行四边形、函数图像，二次函数、一次函数、三角函数,与三角形高有关的计

算等知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、三角函数的性质，从而完成求

解.

4.B

【解析】

【分析】

对每个选项逐个判断，①根据正五边形的性质以及等腰三角形的性质，求解即可；②证明

AABFSAACB,利用对应线段成比例的性质求解即可；③根据菱形的判定方法，先证明

四边形COE尸为平行四边形，再证明为菱形；④取正五边形外接圆圆心为0,连接0。，

0E,作。”于点”，求得半径，再根据S阴影=S扇形DOE-SQDE+SQEG求解即可.

答案第3页，共29页

【详解】

解：在正五边形A5COE中，AB=BCfZBCD=ZABC=180-=108；

:.^BAC=^ACB=36°,

・•・ZACD=108-36°=72°,

同理可得：N4O石=36

*/^BAE=]08,AB=AE

：-ZABE=36

J/CM=108°-36°=72°

・・・^fCBF+ZBCD=180°

/.BE

：.ZCBF=ZCFB=ZFCD=72°

・・・BC=FC

♦：BC=CD

：.FC=CD

1QA:_7?。

JNCDF=NCFD==54°,

2

/.ZFDG=ZCDE-ZCDF-ZADE=108-54-36=18;即①正确；

VZABE=ZACB=36°,ZBAC=ZBAF

JAABF^AACB

AQftp

・・・——=——，EPABED=ACBF

ACED

■:AB=ED=2,AC=BE=BG+EF—FG=2AB—FG=4—FG,

BF=BG-FG=2-FG

：.22=(2-FG)(4-FG),解得尸G=3+6>2(舍去)，FG=3-标

:・BF=2-FG=y5-l,即②正确；

•/NEBC=72。,NBCD=108；

JNEBC+NBCD=180,

:.EF

;EF=CD=2

・・・四边形CQE/为平行四边形,

答案第4页，共29页

又•:EF=ED

・・・四边形CDEb为菱形，即③正确;

如图，取正五边形外接圆圆心为。，连接0。，0E,

'：OD=OE

/.EH=DH=-DE=1,/EOH=-ZEOD=36,

22

：.OE=—―~=r=―5—

,OH=~~-

sinNEOHsin363tan36

作于点",

ME=DE•sin36'=2sin36,

_J_:

S阴影=§塌形-S4DE+SQEG，S扇r形）DOE=M7n.

•••^=-^2-5+S=-^x—^--x2x+—x2x2sin36

OO£4O£Ctan362

4乃

+2si〃36〉g,即④错误,

2sin36tan36

综上，正确的有①②③，个数为3

故选：B

【点睛】

本题属于几何综合题，考查了相似三角形的判定与性质,勾股定理，正五边形的性质，平

行四边形和菱形的判定和性质，正多边形和圆，有难度,熟练掌握正多边形的性质是解题

的关键，属于选择题压轴题.

5.C

答案第5页，共29页

【解析】

【分析】

分两种情况，当点E在48上运动时和当点E在BC上运动时，分别得出S和f之间的关

系，然后对照选项即可确定答案.

【详解】

解：当魄12时，如图1,连接8。，过点。作。//LAB,垂足为点H,过点下作

图1

由选项知，当t=2时，S*=Su皿=辰疗，

-ABDH=>/3,

2

-x2DH=43,

2

DH=0,

在RsAHD中,

DHy/3

,/sinA

~AD~~2

/.ZA=60°,

在Rt^AFG中,

,抛物线开口向上，排除8、。选项;

当2＜心4时，如图2,过点B作BNLOC,过点E作EMLDC,垂足分别为点N、M,

答案第6页，共29页

易知CE=OF=4—ttDF=t-2,

・・•四边形ABC。是菱形，

/.ZC=ZZMB=60°,

在RYCME中,

ME=CE-sinC=(4-r)-sin60°=^(4-Z),

SgEF=S菱形48CO-S&cEF-SMOF一^MBE，

S=2x>/3—gx(4—r)x^^(4—[)—；x(r—2)x>/3—；x2x[>/3—^-(4—/)]

=(--+V3r)c/n2,

gn

------<0,

4

••・抛物线开口向下，排除A选项，

故选：C.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、解直角三角形、二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握

菱形的性质、解直角三角形、二次函数的图象与性质以及灵活应用.

6.D

【解析】

【分析】

根据网格的特点以及勾股定理求得AC=8C=2括，过点C作CDLAB,再三线合一求得

CD,进而根据正弦的定义求解即可.

【详解】

解：如图，

答案第7页，共29页

•.♦AC=j22+42=2后,BC=d展+42=2后，AZJ=V22+22=2^，

•,.AC=BC=2y/5

.♦.△ABC是等腰三角形

过点C作CO,AB

：.BD=AD=-AB=^2

2

在用A4)C中,CD=y)AC2-AD2=372

.厮4£=0=芈=亚

AC2亚10

故选D

【点睛】

本题考查了勾股定理，求正弦值，掌握勾股定理，等腰三角形的性质，正弦的定义是解题

的关键.

7.D

【解析】

【分析】

分四段考虑，①点尸在A。上运动，②点尸在QC上运动，且点。还未到端点8,③点、P

在QC上运动，且点。到达端点8,④点尸在BC上运动，分别求出y与f的函数表达式，

继而可得出函数图象.

【详解】

解：在Rt4ADE中AD=y/AE2+DE2=13(cm),

在RtxCFB中，BC=^BF2+CF-=13(的)，

AB=AE+EF+FB=15(cm),

①点尸在AD上运动，AP=f,AQ=t,BP0</<13,

如图，过点P作PGJ_A8于点G,

答案第8页，共29页

sinA=—=—,则PG=—"04Y13),

PA13

此时产;AQxPG=2/(0W3),图象是一段经过原点且开口向上的抛物线;

②点P在。C上运动，且点。还未到端点B,即13<f<15,

此时y=gAQxDE=6/(13<r<15),图象是一段线段；

③点尸在OC上运动，且点。到达端点8,即15«『418,

此时>'=；ABXDE=90(15<r<18),图象是一段平行于x轴的水平线段;

④点尸在BC上运动，PB=31-t,即18<fW31,

如图，过点P作于点H,

答案第9页，共29页

sinfi=—=—,则尸〃=超（31-『），

BCPB13v7

止匕时）=；ABxPH=t+詈（18<f431）,图象是一段线段；

综上，只有D选项符合题意，

故选：D.

【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是分段讨论y与f的函数关系式，

8.B

【解析】

【分析】

作BD_LAC于D,根据勾股定理求出AB、AC,利用三角形的面积求出BD,最后在直角

△ABD中根据三角函数的意义求解.

【详解】

解：如图，作BDLAC于D,

由勾股定理得，AB=>/32+22=V13,AC=^32+32=3及，

,：S.=-ACBD=-x3yf2BD=-x]x3,

"曲Kr222

/.BD=—,

2

答案第10页，共29页

交L

f嘿飞考・

故选：B.

【点睛】

本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格

构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键.

9.B

【解析】

【分析】

过点C作CF，地面机于尸，交AO于“，过点。作QELCF于E,DGJ.地面，”于G,

由此得到四边形。EFG是矩形，EF=DG,在RAAZ)G中，解得

EF=DG=ADsma=asma,在RVCEZ)中，解得CE=6-cos0,最后根据

EF=CE+EF解题即可.

【详解】

解：如图，过点C作C尸，地面机于F,交AD于H,过点。作£>E_LC尸于£,OGJ•地

面机于G,则四边形。EFG是矩形，

/.EF=DG

在Rl^ADG中，

DG=ADsina

EF=DG=AO-sin«=«-sina

QNDCE+ZCHD=90°,ZAHF+ZHAF=90°,ZAHF=ZCHD

:.ZDCH=ZHAF=a

在/ftVCED中，

CE=CD-cosZ.DCE=CDcosa=bcosa

CF-CE+EF="cosa+asma

答案第11页，共29页

故选：B.

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用，正确添加辅助线是解题关键.

10.B

【解析】

【分析】

由勾股定理求出4C,AB,BC的长度，由勾股定理的逆定理判断AABC是BC为斜边的直

角三角形，即可求得sinNA8c.

【详解】

解：由勾股定理可得

AC5+22=布,AB"。=2逐，BC=V32+42=5

AC2+AB2=(75)2+(2舟=25=BC2

...AABC是8c为斜边的直角三角形

sinZABC=—=—

BC5

故选：B

【点睛】

本题考查勾股定理及其逆定理，求正弦，解答本题的关键是判断出AABC的形状.

11.g

2

【解析】

【分析】

先根据函数的平移规律求得直线/的解析式，再求得OA与。B的值，最后利用正弦函数的

定义即可求解.

【详解】

解：直线y=向下平移1个单位长度得到直线/的解析式为y=/x-l,

令x=0,则y=-l,

AB(0,-1),

：・OB=1,

答案第12页，共29页

令y=0,贝IJ也》-1=0,解得x=VL

3

，A(50),

，OA=6,

2

在RfAAOB中，AB=y/OA2+OB2=J(A/3)+12=2,

../.DCOA5/3

•,sin/AB()=----=—f

AB2

故答案为：g.

2

【点睛】

本题考查了一次函数的平移规律和正弦函数的应用，根据平移规律正确地得到直线/是解

题的关键.

12.垦1

2

【解析】

【分析】

先证得△A8E丝竹CB,可得BE=BC=2,AE=BF,MilEWAABF^/XEBA,可得

A序=2AE，然后由勾股定理可得Af2+2AE-4=0,即可求解.

【详解】

解：在矩形A8CD中，ZBAE=90°,AE//BC,AD=BC^2,

：.NCBF=NAEB,

,/BEVAC,

：.NBFC=NBAE=90。,

'：AB^CF,

：.AABE义AFCB,

：.BE=BC=2,AE=BF,

VZAFB=ZBAE=90°,NABF=NABE,

：.XABFsXEBA,

.ABBFABAE

••=,RanJ=,

BEABBEAB

**.AB2=2AE^

VAB2+AE2=B£2=4，

答案第13页，共29页

/.AE2+2AE-4^0,

解得：AE=6-1或-柄-］（舍去）,

../.DJ74E>/5—1

・・sinZ-ABE=---=------

BE2

故答案为：必二!■

2

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股

定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

13.8

【解析】

【分析】

在R/AABC中，因为NC=90。，BC=2,sinA=—,根据正弦=，得出：sinA.-^-,把

4斜边AB

有关数据代入即可求出边AB的长.

【详解】

解：如图：：NC=90。，BC=2,sinA=-

4

.BC1

•.---一,

AB4

BP—

AB4

解得：A8=8

故答案为：8

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正弦、余弦、正切的定义.

14.—

2

【解析】

【分析】

由题意可知，要求出答案首先需要构造出直角三角形，连接AB,设小正方形的边长为1,

答案第14页，共29页

可以求出OA、OB,AB的长度，由勾股定理的逆定理可得AABO是直角三角形，再根据

三角函数的定义可以求出答案.

【详解】

连接AB如图所示：

设小正方形的边长为1,

OA2=32+1=10,BA2=32+l=10,OB2=42+22=20,

•••AABO是直角三角形，

；.sinNAOB=a=%=①,

OB而2

故答案为：也.

2

【点睛】

本题主要考查了勾股定理的逆定理和正弦函数的定义，熟练掌握技巧即可得出答案.

【解析】

【分析】

连接。5、OP,根据圆的性质可知NC=/AOP,利用勾股定理求出OP的值，即可求出

sin/ACB的值.

【详解】

解：如图所示，连接。8、0P,

答案第15页，共29页

・・・必、P8是O。的切线，4、B为切点,OA=OB,

：.OP上AB,

〈AC是OO的直径，

：.CB±ABf

・•・OP〃BC,

:・/C=/AOP,

•・・QA_LAP,曰=12,OA=-AC=5

2f

，在R/ZXO4P中，由勾股定理得：

OP=y/o^+AP2=752+122=13»

AP17

・・・sin/ACB=sinZAOP=——=—,

OP13

12

故答案为：—.

【点睛】

本题主要考查的是圆中的切线的性质及应用，三角函数的应用，进行角度转换是解题的关

键.

,,G

10.------

2

【解析】

【分析】

根据圆周角定理和圆内接四边形的性质得到g/8O£>+NBOZ>180。，于是得到NC=；

ZBOD=60°,从而可得结论.

【详解】

答案第16页，共29页

解：VZC=yZBOD,ZBOD=ZA,ZC+ZA=180°,

：.^ZBOD+ZBOD=]SO°,

：.ZBOD=]20°,

：.ZC=^ZBOD=60°,

/.sinZC=sin600=—

2

故答案为：2.

2

【点睛】

本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理和求正弦值，熟练掌握圆内接四边形的对角

互补是解题的关键.

17.(1)见解析

衅

【解析】

【分析】

(1)连接on,直接利用切线判定定理证明即可；

(2)根据sin/C77)=器，则设。Z>3x,OF=5x,可得EB=gx=l,解出x,用勾股定理

即可.

(1)

(1)连接。£>,

'：AB=AC,

：.NB=NACD,

"：OD^OC,

：.ZODC=ZOCD,

.'.ZB=ZODC,

：.OD//AB,

'：DE±AB,

：.ODLEF,

是。。的切线；

答案第17页，共29页

⑵

3

•・•sinZCF£)=1,

设OQ=3x,OF=5xf

贝IJ43二AG6x,AF=Sxt

24

・•・AE=AFsinZAFE=—x,

5

・・・EB=AB-AE=-x,

5

525

：.0D=-t0F=—t

26

DF=yJOF2-OD2=—.

3

B

【点睛】

本题是圆的综合问题，涉及到切线的判定和性质，三角函数，勾股定理等知识点，本题第

二问关键在于能够用表示0D的字母表示出EB.

18.(1)见解析；

⑵①延万；②30WQE446

3

【解析】

【分析】

(1)连接C。，证明△AC。//XACB(SSS),即可得到结论；

(2)①由NAC3=30。，求出NPCD=120。，4C=4,BC=2百，利用弧长公式计算即可求

出劣弧PO的长；②当点。与点。重合时，QE的长最大，最大值为4石.当QCLP。

答案第18页，共29页

时，QE的长最小，由4PD=30。，利用三角函数求出CQ,即可得到QE的最小值，由此

得到QE长的取值范围.

(1)

证明：连接C£>,如图1.

图1

,:AD=AB,DC=BC,AC=AC,

：.^ACD^^ACB.

：.NCZM=NC8A=90。.

而CO为半径，

...为G)C的切线.

(2)

解：①若NAC8=30。，则N£>CB=2NACB=60。，:.NPCD=120。.

又AB=2,:•AC=4,BC=2g.

：.劣弧PD的长为1207x2.=迪万.

1803

②当点。与点。重合时，QE的长最大，最大值为4g.

当QCLPO时，QE的长最小，如图2,此时，PQ=DQ.

图2

BP=2BC=46ZDCB=60°,

，ZBPD=30°.

：.CQ=CP-sinZBPD=6.

答案第19页，共29页

/.QE=CQ+CE=43+2y/3=3y/3.

：.QE长的取值范围为3力<QE<4x/3.

【点睛】

此题考查了证明直线是圆的切线，全等三角形的判定及性质，弧长公式，三角函数，正确

掌握各知识点是解题的关键.

19.1-73

【解析】

【分析】

先计算绝对值，0次累和二次根式，再计算加减.

【详解】

解：原式=2-6+1—2

=1—g.

【点睛】

此题考查了实数的混合运算能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能对各种运算进行准

确计算.

20.⑴见解析

(2)见解析

⑶丁

【解析】

【分析】

(1)根据所给平移方向作图即可；

(2)根据所给旋转方式作图即可；

(3)如图所示，过点A作AC_L网于C,利用面积法求出AC,再由sin/^BA进行求解即

可.

(1)

解：如图所示，线段A片即为所求；

答案第20页，共29页

(3)

解：如图所示，过点A作AC，8用于。，

由题意得：4?=々+32=厢,44=5,BB『库1=5,

明4MC=；x3A用，

:.AC=3,

・•・sin/8燃=生=心=也

'ABV1010

答案第21页，共29页

【点睛】

本题主要考查了平移作图，旋转作图，求正弦值，勾股定理，熟知相关知识是解题的关

键.

21.(1)见解析；(2)BG=2

【解析】

【分析】

(1)连接0E,证明OELEF即可；

34

(2)由sinR=1证得sinG=£,运用正弦的概念可得结论.

【详解】

解：(1)证明：连接0E,如图，

•・•OA=OE

：.ZOAE=ZOEA.

•:EF=PF,

：.ZEPF=ZPEF

/APH=/EPF,

答案第22页，共29页

・・・ZAPH=ZEPF,

：.NAEF=/APH.

■:CDLAB,

・・・ZAHC=90°.

・・・NOAE+NAPH=900.

・・・ZOEA+ZAEF=90°

・♦・ZOEF=90°

：.OELEF.

・・・0E是O。的半径

尸是圆的切线，

(2)uCCDLAB

・・・△H/G是直角三角形

3

\*sinF=-

5

.GH3

**FG-5

设G〃=3x,则FG=5x

由勾股定理得，FH=4x

由(1)得，AOEG是直角三角形

..OEFH4x

..sinG===——

OGFG5x

.0E_4,OE4

"0G-5'艮BrOE+BG~^

0E=8

.8=4

"8+BG~5

解得，BG=2

【点睛】

此题主要考查了圆的切线的判定，勾股定理和解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定

是解答此题的关键.

22.(1)证明见解析

(2)sinZ/lB/=—

【解析】

答案第23页，共29页

【分析】

(1)连接0/,延长C7交A8于点O.由三角形内心为角平分线的交点结合等腰三角形“三

线合一，，的性质可知B/平分NA8C,CDLAB.从而可得出ZA8/=NOB/,再根据等边对

等角，得出NO/3=NO8/,即ZAB/=NO/B,由此可证明AB//O/,即得出8_LO/,即

可判断。是。。的切线；

(2)由等腰三角形“三线合一”的性质可知">==3.在RMBCD中,利用勾股

定理可求出C£>=4.设O3=x,则O/=x,OC=BC-OB=5-x.易证VCO/:VCBD,

即得出£：=罢，代入数据，即可求出x的值.从而可得。/和0C的长，进而在RNOC7

BDBC

中，利用勾股定理可求出C/的长，得出£>/的长.最后在RfV8£>/中，再次利用勾股定理

可求出瓦的长，再利用正弦的定义计算即可解答.

(1)

如图，连接0/,延长C/交AB于点。.

•点/是4ABC的内心，AC=BC,

二8/平分ZA8C,CDA.AB,

：.XABI=NOBI.

'：OB=OI,

：.ZOIB=ZOBI,

：.ZABI=NOIB,

：.ABHOI,

J.CDYOl,

...a是。。的切线；

(2)

.♦点/是小ABC的内心，AC=BC,

答案第24页，共29页

:.AD=BD=-AB=3.

2

・••在RhBCD中，CD=NBC?-Blf=4.

设O5=x,贝i]O/=x,OC=BC-OB=5-x.

■:ABHOI,

/.VCO7:YCBD,

.01OCx5-x

••=,Rnr|Jl=,

BDBC35

解得：x=v.

o

22

.•.在HfVB"中，BI7BD。+

3

/.sinZABI=—=

BI量

【点睛】

本题考查三角形内心的性质，切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的

判定和性质以及求角的正弦值.正确的作出辅助线是解题关键.

23.机头O到底座48的距离是48cm.

【解析】

【分析】

根据题意结合锐角三角函数关系得出EF、DM的长即可得出答案.

【详解】

解：如图所示，过点。作£W_LA3于N,过点E作£FJ_AB于尸，作于M,

答案第25页，共29页

个一千

〃70。1B:

FN

图②

-.-ZEAF=70°,AE=30cm,

:.EF=AE-sin700=30x0.94«28.2(cm),

vDE=40cm,ADEN=30°,

DM=DEsin30°=20(cm),

故£W=28.2+20a48(cm),

答：机头。到底座AB的距离是48cm.

【点睛】

此题主要考查了解直角三角形的应用，正确选择锐角三角函数关系是解题关键.

24.⑴45加

(2)131.5/n

【解析】

【分析】

(1)以点。为圆心，04的长为半径作圆，延长。。交。。于点尸，设直线。。与。。交于

点Q,根据题意可得PD=145m,DQ=55m,从而求出尸。的长，进而可得

OA=OP=^PQ,进行计算即可解答；

(2)过点、B作BELMN,垂足为E,过点。作OF