专题06 二次函数的压轴题型专训（解析版）

专题06二次函数的压轴题型专训【精选最新30道二次函数的压轴题型专训】1．（2023·上海·九年级假期作业）已知二次函数（a，b，c为常数，且），满足以下条件：①；②是方程的一个根；③当时，．则该二次函数的图象可以是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】采用排除法及特殊值法，结合二次函数的图象与性质即可完成．【详解】解：∵，∴a、c异号，而选项D中，故选项D排除；∵是方程的一个根，∴，即当时，二次函数的函数值为3，由前三个选项知，选项C排除；∵当时，，∴当时，，即，而选项A中，选项A排除，则正确的是选项B；故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键，注意数形结合思想的应用．2．（2023·上海·九年级假期作业）已知函数，且时，取到最大值，则的值可能为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据抛物线的解析式求得抛物线开口向下，对称轴为直线根据二次函数的性质可得，即，即可选出最后答案．【详解】解：函数中，抛物线开口方向向下，对称轴直线为，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，当时，，取到最大值，，即，故选：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，找到对称轴确定二次函数的最值是解答本题的关键．3．（2023·上海·九年级假期作业）如图，二次函数的图象与x轴相交于，B两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（

）

A．当时， B．当时，y的值随x值的增大而增大C．点B的坐标为（4，0） D．【答案】D【分析】根据该抛物线的开口方向，对称轴，即可判断A、B；根据点A的坐标和对称轴，可求出点B的坐标，即可判断C；根据点B的坐标，即可判断D．【详解】解：∵该抛物线开口向下，该抛物线对称轴是直线，∴时，y的值随x值的增大而减少，∴y不一定大于0，故选项A、B不正确，不符合题意；∵，该抛物线对称轴是直线，∴，故选项C不正确，不符合题意；∵该抛物线对称轴是直线，∴当时，y的值随x值的增大而减小，∵，该抛物线开口向下，∴当时，，∴，故D正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性，对称性，根据图象确定各项系数的符号以及式子的正负．4．（2023·上海·九年级假期作业）如图，直线（a是常数，）与双曲线交于点A，与直线交于点B，当面积最小时，a的值是（）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】求得、，得到，利用三角形面积公式列式，根据二次函数的性质即可求解．【详解】解：∵，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴当时，有最小值，最小值为1，故选：B．【点睛】本题是反比例函数和一次函数的综合题，利用函数的解析式表示点的坐标，并表示线段的长，解题的关键是利用二次函数的性质解决问题．5．（2023·上海·九年级假期作业）已知抛物线与轴的公共点是，，将该抛物线向右平移个单位长度与轴的交点坐标为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用点平移的规律得到点，向右平移个单位长度后对应点的坐标为，，利用交点式，设平移后的抛物线解析式为，接着把把代入求得，于是原抛物线的解析式可设为，然后化为一般式得到、、的值，从而可计算出的值．【详解】解：点，向右平移个单位长度后对应点的坐标为，，设平移后的抛物线解析式为，把代入得，解得，原抛物线的解析式为，即，，，，．故选：B．【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数(是常数，)与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数图象上的点的坐标特征和二次函数图象与几何变换．6．（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于的方程有两个相等的实数根，则．正确的个数为(

)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由图象可知，图像开口向下，，对称轴为，故，故，且，则图象与轴的交点为正半轴，则，由此可知，故①错误，由图象可知当时，函数取最大值，将，代入，中得：，计算出函数图象与轴的另一交点为设函数解析式为：，将交点坐标代入得化简得：，将，代入可得：，故函数的最大值为，变形为：有两个相等的实数根，，则，将，，代入得：，因为，则，则，结合以上结论可判断正确的项．【详解】解：由图象可知，图像开口向下，，对称轴为，故，故，且，则故②正确，图象与轴的交点为正半轴，，则，故①正确，由图象可知当时，函数取最大值，将，代入，中得：，由图象可知函数与轴交点为，对称轴为将，故函数图象与轴的另一交点为，设函数解析式为：，将交点坐标代入得：，故化简得：，将，代入可得：，故函数的最大值为，故③正确，变形为：有两个相等的实数根，则，将，，代入得：，因为，则，则，，故④不正确则①②③正确，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标掌握数形结合思想是解决本题的关键．7．（2023·上海·九年级假期作业）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图像经过点；乙：函数图像经过第四象限；丙：当时，y随x的增大而增大．则这个函数表达式可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据所给函数的性质逐一判断即可．【详解】解：A.对于，当时，，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而减小．故选项A不符合题意；B.对于，当时，，故函数图像经过点；函数图象经过在一、二、三象限；当时，y随x的增大而增大．故选项B不符合题意；C.对于，当时，，故函数图像经过点；函数图象经过在一、二象限；当时，y随x的增大而增大．故选项C不符合题意；D.对于，当时，，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而增大．故选项D符合题意；故选：D【点睛】本题考查的是一次函数、二次函数以及反比例函数的性质，熟知相关函数的性质是解答此题的关键．8．（2023·上海·九年级假期作业）如图，抛物线与直线交于A、B两点，与直线交于点P，将抛物线沿着射线平移个单位，在整个平移过程中，点P经过的路程为（

）

A．6 B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可得由题意得，当抛物线沿着射线平移个单位时，相当于将点A先向右平移3个单位，再向上平移3个单位，设抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，则平移后的解析式为，再根据点P在直线，直接把代入得到点P的纵坐标与a的二次函数，然后根据二次函数的性质求解即可.【详解】解：由题意得，当抛物线沿着射线平移个单位时，相当于将点A先向右平移3个单位，再向上平移3个单位，设抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，∵原抛物线解析式为，∴平移后的解析式为令时，则，∴当时，，∵，∴当时，，当时，，∴当时，在平移过程中点P的运动路程为，当时，在平移过程中点P的运动路程为，∴整个平移过程中，点P的运动路程为，故选B．【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的特征等知识，解题的关键是灵活运用平移的性质解决问题，学会利用参数，构建二次函数解决问题，属于中考压轴题．9．（2022秋·九年级单元测试）若关于x的二次函数，当时，y随x的增大而减小，且关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和为（

）．A．1 B． C．8 D．4【答案】A【分析】根据抛物线的性质，得到；整理分式方程，得到y=，根据分式方程有整数解，且y=1时，对应a值不能取，确定符合题意的a值，最后求和即可．【详解】∵关于x的二次函数，当时，y随x的增大而减小，∴即a≤2；∵，∴(a-1)y=-4，当y=1时，a=-3，此值要舍去；∴y=，∵关于y的分式方程有整数解，∴1-a=±1；1-a=±2；1-a=±4；∴a=0或a=2；a=-1或a=3；a=-3或a=5；∵a≤2，且a≠-3，∴a=0或a=2或a=-1；∴符合条件的所有整数a的和-1+0+2=1，故选A．【点睛】本题考查了二次函数的对称性，分式方程的整数解，正确判定抛物线对称轴的属性，正确求得整数解的a值是解题的关键．10．（2022·九年级单元测试）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，有以下结论：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4ac﹣b2＜8a；④3a+c＜0；⑤a﹣b＜m（am+b），其中正确的结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴的交点即可得结论；②根据抛物线的对称轴即可得结论；③根据抛物线与轴的交点个数即可得结论；④根据抛物线的对称轴和等于1时小于0即可得结论；⑤根据抛物线的顶点坐标及其它任何坐标的纵坐标进行比较即可得结论．【详解】解：①根据抛物线可知：，，，，所以①错误；②因为对称轴，即，，．所以②正确；③因为抛物线与轴有两个交点，所以，所以．所以③正确；④当时，，即，所以，所以．所以④正确；⑤当时，有最大值，所以当时，的值最大，当时，，所以，即．所以⑤错误．所以有②③④正确．故选C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握抛物线的相关性质．11．（2023·上海·九年级假期作业）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，则；若，则m的取值范围是．【答案】或【分析】若，先求二次函数的对称轴，再利用二次函数的对称性对称两点的横坐标之和的一半等于对称轴横坐标即可解答；若，分两种情况：当对称轴在y轴右侧时，当对称轴在y轴左侧时，结合二次函数图象的特性分别进行解答即可．【详解】解：二次函数图象开口向上，对称轴是直线，①∵，∴点P、Q关于对称轴对称，∴，解得；②∵抛物线与y轴的交点为，当时，或，∴与关于对称轴对称，当对称轴在y轴右侧时，，∵，∴，且，解得；当对称轴在y轴左侧时，，此时，P、Q两点都在对称轴的右侧，y的值随x值增大而增大，∵，∴，解得；∴综上，m的取值范围是或．故答案为：；或．【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数图象与性质，并能够熟练运用数形结合是解题的关键．12．（2023·上海·九年级假期作业）二次函数，若函数的图象的顶点在函数的图象上，函数的图象的顶点在函数的图象上，且，则与所满足的关系式为．【答案】【分析】先根据顶点坐标公式得到两个函数的顶点坐标，再分别代入对应的解析式表示出来，最后通过化简，根据，即可得到答案．【详解】解：根据题意可得：二次函数的顶点坐标为：，二次函数的顶点坐标为：，函数的图象的顶点在函数的图象上，函数的图象的顶点在函数的图象上，，，整理得：，，，，得：，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标公式，是解题的关键．13．（2022春·上海·八年级上海市张江集团中学校考期末）已知点A是直线上一动点，以点A为顶点的抛物线交y轴于点B，作点B关于x轴的对称点C，连接AB、AC．若△ABC是直角三角形，则点A的坐标为．【答案】或或【分析】分两种情况：∠BAC=90°，则由题意得OA=OB，从而得到关于m的方程，解方程即可；∠ACB=90°，则点A、C的纵坐标相同，可得关于m的方程，解方程即可．【详解】由题意得：A(m，h)，且，上式中令x=0，得，∴．∵点A在直线上，∴，即，，∵点B、点C关于x轴的对称，则．①当∠BAC=90°，则OA是Rt△ABC的斜边BC上的中线，∴OA=OB，∵，，则，由于m≠0，解得：或，所以点A的坐标为或；②当∠ACB=90°时，如图，则AC⊥BC，此时点A、C的纵坐标相同，即，∴，m=0（舍去），所以点A的坐标为；综上所述，点A的坐标为或或．【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象，直角三角形的性质等知识，注意分类讨论，避免遗漏．14．（2022春·上海·八年级专题练习）已知实系数一元二次方程ax2+2bx+c＝0有两个实根x1，x2，且a＞b＞c，a+b+c＝0，设，则d的取值范围为．【答案】/【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出d2的表达式，再根据二次函数性质求其取值范围即可．【详解】解：∵实系数一元二次方程ax2+2bx+c＝0有两个实根x1、x2，∴x1+x2＝﹣，x1·x2＝，∴d2＝|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1·x2＝（﹣）2﹣＝﹣==＝4[（）2++1]＝4[（+）2+]，∵a＞b＞c，a+b+c＝0，∴a＞0，c＜0，a＞﹣a﹣c＞c，解得：﹣2＜＜﹣，∵y＝4[（+）2+]的对称轴为：＝﹣，∴当﹣2＜＜﹣时，y随增大而减小，∴3＜d2＜12，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次函数的最值问题等知识点．掌握是解题关键．15．（2022·上海·九年级专题练习）若抛物线的顶点为，抛物线的顶点为B，且满足顶点A在抛物线上，顶点B在抛物线上，则称抛物线与抛物线互为“关联抛物线”，已知顶点为M的抛物线与顶点为N的抛物线互为“关联抛物线”，直线MN与轴正半轴交于点D，如果，那么顶点为N的抛物线的表达式为【答案】【分析】设顶点为N的抛物线顶点坐标N为（a，b），由题意可知，即可求得D点坐标为（6，0），则有直线MD解析式为，因为N点过直线MD，N点也过抛物线，故有，解得，故N点坐标为（，），可设顶点为N的抛物线的表达式为，又因为M点过，即可解得a=-1，故顶点为N的抛物线的表达式为．【详解】设顶点为N的抛物线顶点坐标N为（a，b）已知抛物线的顶点坐标M为（2，3）∵∴即解得∵直线MN与轴正半轴交于点D∴D点坐标为（6，0）则直线MD解析式为N点在直线MD上，N点也在抛物线故有化简得联立得化简得解得a=或a=2（舍）将a=代入有解得故N点坐标为（，）则顶点为N的抛物线的表达式为将（2，3）代入有化简得解得a=-1故顶点为N的抛物线的表达式为故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的图象及其性质，三角函数的应用．理解题意所述“关联抛物线”的特点，即若抛物线的顶点为，抛物线的顶点为B，且满足顶点A在抛物线上，顶点B在抛物线上是解题的关键．16．（2022秋·上海青浦·九年级统考期末）如图，一次函数的图像与x轴，y轴分别相交于点A，点B，将它绕点O逆时针旋转90°后，与x轴相交于点C，我们将图像过点A，B，C的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数的关联二次函数是（），那么这个一次函数的解析式为．【答案】【分析】由题意可知二次函数与坐标轴的三个交点坐标为（0，k），（1，0），（-k，0），将其代入抛物线（）即可得m、k的二元一次方程组，即可解出，故这个一次函数的解析式为．【详解】一次函数与y轴的交点为（0，k），与x轴的交点为（1，0）绕O点逆时针旋转90°后，与x轴的交点为（-k，0）即（0，k），（1，0），（-k，0）过抛物线（）即得将代入有整理得解得k=3或k=-1（舍）将k=3代入得故方程组的解为则一次函数的解析式为故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象及其性质，解二元一次方程组，结合旋转的性质以及图象得出抛物线与坐标轴的三个交点坐标是解题的关键．17．（2022秋·九年级单元测试）如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连接DF，DG，则面积的最小值为．【答案】/1.5【分析】设，则，过点D作PQ∥EF交CE于Q，GF于P，证明四边形EQPF是矩形，得到EC=EF=PQ，即可推出，从而得到，由此利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CDE=90°，设，则，过点D作PQ∥EF交CE于Q，GF于P，∵四边形CEFG是正方形，∴∠QEF=∠EFP=90°，EF=EC=FG，∴∠EQP=90°，∴四边形EQPF是矩形，∴EC=EF=PQ，∴，，当时，面积的最小值为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，二次函数的应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．18．（2021·上海·九年级专题练习）如图，正方形的边长为1，点E为边上的一动点（不与B，C重合），过点E作，交于F．则线段长度的最大值为．【答案】【分析】由三角形相似，得出比例关系，构建二次函数，把函数式变换成顶点式，根据抛物线的性质得出答案．【详解】由题意知，是正方形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．设，正方形的边长为1，则，∴，∴．∴，∴可知抛物线的顶点为开口向下，∴时，函数有最大值，最大值为：，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，结合了三角形相似的性质，解题关键是通过相似三角形的性质列出二次函数解析式．19．（2021·上海·九年级专题练习）若关于x的函数的图象与坐标轴有两个交点，则a的值为．【答案】【分析】根据函数这一条件分两种情况讨论：一次函数和二次函数，又因为与纵轴必有一个交点，再根据与坐标轴有两个交点分情况讨论，即可得出结论．【详解】解：①当a=2时，原函数解析式为y=-3x+8此时b=8≠0故一次函数图象不过原点，则该函数与坐标轴有两个交点②当a≠2时，原函数为二次函数故该函数一定与y轴有一个交点，且仅有一个交点，其坐标为(0，4a)当该交点是原点时，a=0，此时函数解析式为方程的判别式△=25＞0故此时函数图象与x轴有两个交点，其中一个点是原点，即与坐标轴有两个交点当该交点不是原点时，a≠0因为该函数图象与坐标轴有两个交点所以该函数与x轴有且仅有一个交点则方程有两个相等的实数根，可得△=整理，得8a-25=0解，得a=综上可知a=2，0，．故答案为：2,0，．【点睛】本题考查一次函数和二次函数的性质，分类讨论的思想解决本题，需要注意两个词：①函数，②与坐标轴的交点．20．（2021·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+x+2上有一动点P，直线y=﹣x﹣2上有一动线段AB，当P点坐标为时，△PAB的面积最小．【答案】（-1，2）【分析】因为线段AB是定值，故抛物线上的点到直线的距离最短，则面积最小，平移直线与抛物线的切点即为P点，然后求得平移后的直线，联立方程，解方程即可．【详解】因为线段AB是定值，故抛物线上的点到直线的距离最短，则面积最小，若直线向上平移与抛物线相切，切点即为P点，设平移后的直线为y=-x-2+b，∵直线y=-x-2+b与抛物线y=x2+x+2相切，∴x2+x+2=-x-2+b，即x2+2x+4-b=0，则△=4-4（4-b）=0，∴b=3，∴平移后的直线为y=-x+1，解得x=-1，y=2，∴P点坐标为（-1，2），故答案为（-1，2）．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积以及解方程等，理解直线向上平移与抛物线相切，切点即为P点是解题的关键．21．（2023·河北石家庄·校考二模）如图1，某桥拱截面可视为抛物线的一部分，以为坐标原点、所在直线为轴建立平面直角坐标系．在某一时刻，桥拱内的水面宽米，桥拱顶点到水面的距离是4米．

(1)①直接写出、两点的坐标：（），（）；②求抛物线对应的函数解析式；(2)要保证高米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于米），求小船的最大宽度是多少？(3)如图2，桥拱所在的抛物线在轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图像，将新函数图像向右平移个单位长度，平移后的函数图像在时，的值随值的增大而减小，结合函数图像，直接写出的取值范围．【答案】(1)①，②(2)米(3)【详解】（1）①∵，且点A在x轴上，∴，根据抛物线的特点确定抛物线的对称轴为直线，∴点，故答案为：，．②设抛物线的解析式为，把原点代入得，解得，∴此二次函数的表达式．（2）∵二次函数的表达式，令得：，解得：，，∴小船的最大宽度为：米．（3）根据平移规律得到点O平移后的对应点为，对称轴平移后的对称轴为，点A平移后的对应点为，根据图像性质，得到函数在上，满足y随x的增大而减小，∴或，解得或（舍去），故n的取值范围是．

【点睛】本题考查了抛物线的解析式，抛物线的平移，函数的增减性，抛物线的应用，熟练掌握抛物线的平移，函数的增减性，抛物线的应用是解题的关键．22．（2023·福建厦门·统考模拟预测）函数的图象称为“类抛物线T”，已知“类抛物线T”经过原点，．(1)求m，c的值；(2)当时，①若点B在“类抛物线T”上，判断是否可能为以点A为直角顶点的等腰直角三角形？并说明理由；②，是“类抛物线T”上的任意两点，其中，．试探究是否存在实数b，使得当时，始终有x1＋x2＜0，若存在，求实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)①不可能为以点A为直角顶点的等腰直角三角形，理由见解析；②存在实数，使得，，当时，始终有【分析】（1）将和代入函数解析式求出c、m的值即可；（2）①如图，过点A作x轴的垂线，垂足为D，过点B作直线的垂线，垂足为C，证明，得出，，求出，将代入中，求出，与矛盾，得出不可能为以点A为直角顶点的等腰直角三角形；②根据，，且当时，始终有，得出，，设点N关于y轴的对称点为P，根据点N在抛物线上，得出点P在抛物线上，过点P作x轴垂线，与抛物线交于点，得出时，函数在上随x的增大而增大，根据题意得出，求出即可．【详解】（1）解：将原点代入中，解得，将代入中，则有，解得∴，.（2）解：①不可能；理由如下：如图，过点A作x轴的垂线，垂足为D，过点B作直线的垂线，垂足为C，如图所示：

∵是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，∴，，∵，，∴，，∴，∴，∴，，∴，将代入中，得，解得．∵，矛盾，∴不可能为以点A为直角顶点的等腰直角三角形．②∵，，且当时，始终有，∴，，设点N关于y轴的对称点为P，∴，∵点N在抛物线上，∴点P在抛物线上，过点P作x轴垂线，与抛物线交于点．∵函数在上随x的增大而增大，又∵，

∴当时，函数在上随x的增大而增大，∵，∴，又，∴，∵点在抛物线上，在抛物线上．∴当时，抛物线在抛物线上方，即在上，，整理得，在成立，∵，∴，要使得，只需当时，，即，解得：，综上所述存在实数，使得，，当时，始终有．

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，作出相应的辅助线，数形结合．23．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．已知，该抛物线的对称轴为直线．

(1)求该抛物线的函数表达式；(2)假设将线段平移，使得平移后线段的一个端点在这条抛物线上，另一个端点在轴上，若将点、平移后的对应点分别记为点、，当点在点右侧时，求以、、、为顶点的四边形周长的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）待定系数法求抛物线解析式即可；（2）根据平移的图像可得，当在这条抛物线上，且满足点在点右侧时，以、、、为顶点的四边形周长的最大，过点作于点，根据平行四边形的判定和性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，代入求得，根据勾股定理可得，，即可求得．【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线，∴将，代入抛物线得解得∴抛物线的解析式为：（2）当在这条抛物线上时，如图：

当在这条抛物线上时，且满足点在点右侧，如图：

故当在这条抛物线上，且满足点在点右侧时，以、、、为顶点的四边形周长的最大∵抛物线与轴交于点∴坐标为如图，过点作于点

∵线段平移后得到故四边形为平行四边形∴∴∴∴将代入解得，（舍去）所以在中，在中，以、、、为顶点的四边形周长为【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，平移的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是通过图像分析得到当在这条抛物线上，且满足点在点右侧时，以、、、为顶点的四边形周长的最大．24．（2023春·北京·九年级首都师范大学附属中学校考开学考试）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小明对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完成：(1)函数的自变量的取值范围是_______；(2)下表是与的几组对应值．…0123456……00062460…①________；②若，为该函数图象上的两点，则________0（填“>”、“<”或“=”）；(3)在平面直角坐标系中，，为该函数图象上的两点，且为范围内的最低点，点的位置如图所示．①标出点的位置；②画出函数的图象；③利用函数图象写出不等式的解集________．【答案】(1)全体实数(2)①；②(3)①见解析；②见解析；③或【分析】（1）根据题意可知函数的自变量没有任何限制，即自变量的取值范围为全体实数；（2）①把代入函数解析式中进行求解即可；②分别求出，，由此即可得到答案；（3）①观察给定表格中的数据可发现函数图象上的点关于点对称，作点A关于点的对称点，再在函数图象上找与点纵坐标相等的点即可；②先描点，再连线画出函数图象即可；③画出函数的函数图象，利用图象法求解即可．【详解】（1）解：由题意得，函数的自变量的取值范围是全体实数，故答案为：全体实数；（2）解：①在中，当时，，∴，故答案为：；②∵为该函数图象上的两点，∴，同理，∴，故答案为：；（3）解：①如图所示，即为所求；②如图所示，即为所求；

③由函数图象可知，不等式的解集为或，故答案为：或．

【点睛】本题主要考查了多次函数的图象与性质，画函数图象，函数的三种表示方法：列表法、图象法、解析式法等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键．25．（2023·黑龙江鸡西·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，B两点，交y轴于点C，轴，交抛物线于点D，．

(1)求抛物线的解析式；(2)在直线上方的抛物线上是否存在一点Q，连接，，使，若存在，求点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，或【分析】(1)根据抛物线解析式确定点，根据勾股定理，得到，确定抛物线的对称轴，把点A代入解析式计算即可．(2)设，分类用m的代数式表示三角形的面积，建立方程计算即可．【详解】（1）∵，令，得.∴.∴.∵，∴.∴.∴.∴抛物线对称轴为，∴.∴.将点代入中，得.∴，∴抛物线解析式为．（2）∵，，∴.设，当时，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为.过点A作轴，交于点E，

则,∴,∴,∵,∴，解得（舍去）故Q的横坐标为；当时，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为.过点D作轴，交于点G，则,∴,

∴,∵,

∴，解得（舍去）故Q的横坐标为；∴点Q的横坐标为或．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，交点法求三角形的面积，熟练掌握待定系数法，灵活分割表示三角形的面积是解题的关键．26．（2023·湖南永州·统考二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）．(1)求、两点的坐标（用含的式子表示）；(2)将该二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象．若当时，这个新函数的函数值随的增大而减小，结合函数图象，求的取值范围；(3)已知直线：，点在二次函数的图象上，点的横坐标为，二次函数的图象在、之间的部分记为（包括点，），图象上恰有一个点到直线的距离为，直接写出的取值范围．【答案】(1)，(2)或(3)或【分析】（1）当时，，解方程即可求解；（2）画出函数图象，当时，新函数G的函数值y随x的增大而减小；当时，新函数G的函数值y随x的增大而减小；（3）由题可知，到直线的距离为2的点在直线和上，分别求出，，画出函数图象，分①当C点在B点左侧，同时C点在直线上方时；②当C点在B点右侧，且在的下方时，两种情况讨论．【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）当时，即解得：∴，（2）解：当时，，解得或，∵，∴抛物线的对称轴为直线，如图1，当时，新函数G的函数值y随x的增大而减小；

如图2，当时，新函数G的函数值y随x的增大而减小；

综上所述：或时，新函数G的函数值y随x的增大而减小；（3）解：由题可知，到直线的距离为2的点在直线和上，当时，，∴，如图当点在点左侧，同时点在直线上方时，都符合题意，如图所示，

当在上时，∴解得：或∴如图所示，当点在上或者的下方时，且在对称轴的右侧时，解得：或（舍去）

综上所述，或时，图象M上恰有一个点到直线l距离为2；【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．27．（2023·湖北武汉·统考一模）已知二次函数的图象经过点，直线AB与抛物线相交于A、B两点．

(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，若直线AB的解析式为，且的面积为35，求k的值；(3)如图2，若，则直线AB必经过一个定点C，求点C的坐标．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）把代入函数解析式即可得到荅案；（2）先求出，可得，结合，可得方程，结合，即可求解；（3）设，，过点P作直线轴，分别过A、B两点作PN的垂线，垂足分别为N、M，由可得，联立方程组，可得，，进而即可求解.【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，∴，解得，∴抛物线的解析式为：；（2）如图1，已知直线AB的解析式为，令，则，∴直线AB过定点，∵，∴轴，，∴，∴，令，整理得，∴，，∴，整理得，解得或；（3）设，，如图2，过点P作直线轴，分别过A、B两点作PN的垂线，垂足分别为N、M，设直线AB的解析式为，∵，，∴，∴，即，∴，∴①，联立方程组，∴，∴，②，将②代入①，得化简，得，∴直线AB的解析式为，即，∴直线AB经过定点．

【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，掌握待定系数法，把函数问题化为一元二次方程问题是关键.28．（2023·福建泉州·南安市实验中学校考模拟预测）如图，已知抛物线（为常数，且）与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为．

(1)若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式；(2)在（1）条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止．当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少?【答案】(1)(2)【分析】（1）由点的坐标求出直线的解析式，再由点的横坐标代入直线的解析式求出点的坐标，然后将点的坐标代入抛物线解析式求，从而得到抛物线的函数表达式；（2）过点作轴于点，过点和点分别作轴的平行线和轴的平行线，交于点，过点作于点，由点和点的坐标求线段、和的长度，得到，结合速度可知时间为，然后利用“角所对的直角边是斜边的一半”得，从而得到，进而求得此时点坐标．【详解】（1）解：对于，当时，或，∴，，将点代入，得：∴，则直线的解析式为：，当时，，∴，将点代入，得：，∴，∴抛物线的表达式为：；（2）由题意得：点的运动时间为，过点作轴于点，

∵，，∴，，，∴，过点和点分别作轴的平行线和轴的平行线，交于点，∴，∴，∴，过点作于点，此时，∴与直线的交点即为所求点，∵，∴当时，，∴点的坐标为时，点在整个运动过程中用时最少．【点睛】本题考查了二次函数和一次函