初中数学几何模型汇总-六 对角互补模型

数学模型-对角互补模型

旋转型

类型一(“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(异侧型))

已知直角AABC和等腰直角△DBC,则AB+AC=V2AD.

B

1.如图1,在RtZ\ABC中，ZABC=90°,BA=BC,直线MN是过点A的直线

CD1MN于点D,连接BD.

(1)观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC,AD,BD之间有什么数量关

系.经过观察思考，小明出一种思路：如图1,过点B作BELBD,交MN于点E,

进而得出：DC+AD=BD.

(2)探究证明

将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC,AD,BD之间的数

量关系，并证明

(3)拓展延伸

在直线MN绕点A旋转的过程中，当4ABD面积取得最大值时，若CD长为1,请

直接写BD的长.

【答案】⑴血；(2)AD-DC=72BD；(3)BD=AD=V2+1.

【解析】

【分析】（I）根据全等三角形的性质求出DC,AD,BD之间的数量关系

（2）过点B作BELBD,交MN于点E.AD交BC于0,

证明ACD3/AAE3,得到CD=AE,EB=BD,

根据MED为等腰直角三角形，得到。七=近8。，

再根据OE=AO-AE=AD—CD,即可解出答案.

（3）根据A、B、C、D四点共圆，得到当点D在线段AB的垂直平分线上且在

AB的右侧时，AABD的面积最大.

在DA上截取一点H,使得CD=DH=1,则易证

由比＞=AD即可得出答案.

【详解】解：（1）如图1中，

由题意：\BAE^\BCD,

，AE=CD,BE=BD,

CD+AD=AD+AE=DE,

•；ABOE是等腰直角三角形,

ADE=V2BD,

/.DC+AD=V2BD,

故答案为也.

（2）AD-DC=0BD.

证明：如图，过点B作BELBD,交MN于点E.AD交BC于O.

...ZABE+ZEBC=ZCBD+ZEBC,

...ZABE=NCBD.

•:NBAE+NAOB=90°,NBCD+/COD=90。,ZAOB=ZCOD,

：.NBAE=ZBCD,

：.ZABE^ZDBC.又<AB=CB,

：.LCD哙MEB,

:.CD=AE,EB=BD,

AfiD为等腰直角三角形，DE=6BD.

"：DE=AD-AE=AD—CD,

:.AD-DC=6BD.

（3）如图3中，易知A、B、C、D四点共圆，当点D在线段AB的垂直平分线上

且在AB的右侧时;AABD的面积最大.

图3

此时DG_LAB,DB=DA,在DA上截取一点H,使得CD=DH=1,则易证

CH=AH=血，

AD=0+1.

【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及图形的应

用，正确作辅助线和熟悉图形特性是解题的关键.

类型二(“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(同侧型))

已知直角AABC和等腰直角△DBC,则AB-AC=&AD.

-R---------------

2.已知:AABC中，CA=CB,ZACB=90°,D为^ABC外一点，且满足

ZADB=90°

(1)如图所示，求证：DA+DB=72DC

占C

D

(2)如图所示，猜想DA.DB.DC之间有何数量关系？并证明你的结论.

c

D

(3)如图所示，过C作CH_LBD于H,BD=6,AD=3,则CH=:

3

【答案】（1）详见解析；（2）DA-DB=0DC；（3）-

【解析】

【分析】（1）过C点作CQ_LCD交DB的延长线于Q点，由余角的性质可得

NACD=NQCB,ZADC=ZQ,由“A4S'可证△ACDgaBC。，可得CD^CQ,AD=BQ,

由等腰直角三角形性质可得。。=夜C。，即可得结论；

（2）过点C作CQLCO交A。于点Q,由“SAS'可证△4C。丝△8CO,可得

AQ=BD,可证CQ=CO,且NQCO=90。，即可得D4、DB、QC之间关系；

（3）过点C作CQ_LCD交8。于点Q,由“SAS'可证△4C£>ZZ\BC。，可得

AD=BQ,可证△OCQ是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可求C”的

长.

【详解】证明：（1）如图，过C点作C。，CD交08的延长线于。点

ZACB=90°,CQLCD,ZADB=9Q°

：.ZACD+ZDCB=90°,ZDCB+ZQCB=90°,ZADC+ZCDQ^90°,

ZCDg+Z(2=90°

:.NACANQCB,ZADC=ZQ,且AC=BC

A(AAS)

：.CD=CQ,AD=BQ

：.DQ=DB+BQ=DB+AD

"：CDLCQ,ZDCQ=90°

:.DQ=QCD

：.DB+AD=42CD

(2)DA-DB=yf2CD

理由如下：如图，过点C作CQ_LC。交AD于点Q,

'：CA=CB,NACB=90。，

ZABC=ZCAB=45°

•.,NACB=90。，QCLCD

：.NACB=N4DB=90。，

.•.点A,点B,点。，点C四点共圆，

，ZADC=ZABC=45°

"：QCLCD

：.NCQD=/CDQ=45。

：.CQ=CD,且NQCO=90。

：.QD==y/2CD

ZACB=ZDCQ=90°,

：.ZACQ^ZDCB,MAC=BC,CQ=CD

：./XACQ^^BCD(SAS)

：.AQ=BD

，QD=V2CD^DA-AQ^DA-BD,

即：DA-DB=6DC

（3）如图，过点。作CQ_LC£＞交8。于点。,

•.•NACB=90。，QC^CD

：.ZACB=ZADB=90°,

.•.点A,点8,点C,点。四点共圆，

/.ZCDQ=ZCAB=45°

\'QCLCD

：.ZCQD=ZCDQ=45°

：.CQ=CD,且NQC£>=90。

.,.△Dee是等腰直角三角形，

,?NAC3=NOCQ=90。，

AZACD=ZQCB,KAC=BC,CQ=CD

：./\ACD^/\BCQ(SAS)

：.AD=BQ,

：.DQ=DB-BQ=DB-AD=3

••,△OCQ是等腰直角三角形，DQ=3,CHLDB

：.CH=DH=HQ=JDQ=1.

3

故答案啊.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形

的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.

类型三“等边三角形对120。模型”.

△ABC是等边三角形，ZBPC=120°,则有PB+PC=PA；

类型四“120。等腰三角形对60。模型

△ABC是等腰三角形，且NBAC=120。，NBPC=60。，则有PB+PC=&PA；

3.例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难

为易的一种策略.截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过

延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题.

(1)如图1,AABC是等边三角形，点D是边BC下方一点,NBDC=120。,探索

线段。A、DB、0c之间的数量关系.

解题思路：将△A3。绕点A逆时针旋转60。得到△人(7£可得AE=AD,CE=BD,

ZABD=ZACE,ZDAE=60°,根据N5AC+NBOC=180。，可知

ZABD+ZACD=\SQ°,则ZACE+ZACD=\S0°,易知△ADE是等边三角形，所以

AD^DE,从而解决问题.

根据上述解题思路，三条线段D4、DB、0c之间的等量关系是；

(2)如图2,中，ZBAC=90°,AB=AC.点。是边8c下方一点，

ZBDC=90°,探索三条线段OA、DB、OC之间的等量关系，并证明你的结论.

图1图2

【答案】⑴DA=DB+DC;⑵0DA=DB+DC,证明见解析.

【解析】

【分析】(1)由旋转60。可得CE=BD,ZABD^ZACE,NZME=60。，根据

NZMC+N80c=180°,可知NA6£)+NACO=180°,则ZACE+ZACD=\80°,易知

△ADE是等边三角形，所以从而解决问题.

⑵延长DC到点E,使CE=BD,连接AE,由已知可得NA5O+NAC£>=180°,根据

NACE+NACO=180°,可得ZAB£>=NACE,可证△ABDMAACE,进而可得AD=AE,

/RM)=NC4E,可得NZME=NBAC=90°,由勾股定理可得：DA2+AE2=DE2

行等量代换可得结论.

【详解】⑴结论：DA=DB+DC.

理由：•.'△ABD绕点A逆时针旋转60。得到aACE,

AAE=AD,CE=BD,NABD=NACE,ZDAE=60°,

VZBAC+ZBDC=180°,

.•.NABD+NACD=180。，

.,.ZACE+ZACD=180°,

.•.D,C,E三点共线，

VAE=AD,ZDAE=60°,

.•.△ADE是等边三角形，

；.AD=DE,

AD=DC+CE=DB+DC;

⑵结论：>/2DA=DB+DC,

证明如下:

如图所示，延长DC到点E,使CE=BD,连接AE,

,/ABAC=90°,NBDC=90°,

ZAB。+NACO=180°,

,/ZACE+ZACD=1SO°,

：.ZABD=ZACE,

VAB=AC,CE=BD,

，△ABDMAACE(SAS),

/.AD=AE,NBAD=NCAE,

ZDAE=ZBAC^90\

DA2+AE2^DE2,

：.2DA2^(DB+DC)\

：.72DA=DB+DC.

【点睛】本题主要考查了截长补短的方法，通过全等三角形得到线段间的等量关

系，正确作出辅助线找到全等三角形是解题的关键.

4.如图1,在四边形ABCD中，AB=AD,NB+NADC=180。，点E,F分别在四

边形ABCD的边BC,CD上，ZEAF=yZBAD,连接EF,试猜想EF,BE,DF

之间的数量关系.

A

(1)思路梳理

将AABE绕点A逆时针旋转至AADG,使AB与AD重合，由NB+/ADC=180。，

得NFDG=180°,即点F,D,G三点共线，易证AAFG之△AFE,故EF,BE,DF

之间的数量关系为

(2)类比引申

如图2,在图1的条件下，若点E,F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边

CB,DC延长线上，ZEAF=yZBAD,连接EF,试猜想EF,BE,DF之间的数

量关系，并给出证明.

(3)联想拓展

如图3,在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点D,E均在边BC上，且

NDAE=45。，若BD=1,EC=2,直接写出DE的长为.

【答案】(1)EF=BE+DF；(2)EF=DF—BE；证明见解析；(3)亚.

【解析】

【分析】(1)将AABE绕点A逆时针旋转至aADG,使AB与AD重合，首先证明

F,D,G三点共线，求出NEAF=NGAF,然后证明AAFG四Z\AFE,根据全等三角

形的性质解答；

(2)将AABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到AADE,首先证明

E',D,F三点共线，求出NEAF=NEAF,然后证明△AFEZaAFE,根据全等三

角形的性质解答；

(3)将AABD绕点A逆时针旋转至AACD,使AB与AC重合，连接ED,同

(1)可证AAED之AED,求出NECD&90。，再根据勾股定理计算即可.

【详解】解：(1)将4ABE绕点A逆时针旋转至AADG,使AB与AD重合，

VZB+ZADC=180°,

ZFDG=180°,即点F,D,G三点共线,

VZBAE=ZDAG,ZEAF=-ZBAD,

2

/.ZEAF=ZGAF,

AE=AG

在AAFG和AAFE中，＜ZEAF=ZGAF,

AF=AF

.'.△AFG^AAFE,

.•.EF=FG=DG+DF=BE+DF；

(2)EF=DF-BE；

证明：将AABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到AADE,则

△ABEgADE',

.•.NDAE'=NBAE,AE'=AE,DE'=BE,ZADE'=ZABE,

ZABC+ZADC=180°,ZABC+ZABE=180°,

AZADE'=ZADC,即E,D,F三点共线，

ZEAF=-ZBAD,

2

.\ZE'AF=ZBAD-(ZBAF+ZDAE')=ZBAD-(ZBAF+ZBAE)=

NBAD-NEAF=-ZBAD,

2

.•.NEAF=NE'AF,

AE=AE'

在AAEF和AAE'F中，JZEAF=ZE'AF,

AF=AF

/.△AFE^AAFE'(SAS),

...FE=FE',

又•.•FE'=DF—DE',

...EF=DF-BE；

(3)将AABD绕点A逆时针旋转至AACD，，使AB与AC重合，连接ED,

同(1)可证△AEDgAED',

/.DE=D'E.

ZACB=NB=ZACD'=45°,

.•.NECD'=90°,

在RSECD'中，ED'=V£C2+D,C2=y]EC2+BD2=^5即DE=6,

故答案为：y/5.

【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等

知识，灵活运用利用旋转变换作图、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题

的关键.

构造全等型

类型五-全等型90°

条件：①NAOB=NDCE=90。，②OC平分NAOB

2

结论：①CD=CE；②OD+OE=0OC；(3)SADCE=SAOCD+SAOCE=OC

辅助线的做法，可有下面两种方法来证明.

当C与AO的延长线相交时，也是相同的方法.

2

结论变：①CD=CE；®OE-OD=V2OC；@SAOCE-SAOCD=yOC

5探究：如图1和2,四边形ABC。中，已知AB=AD,N84Z)=90。，点E,尸分

别在8C、CO上，ZE4F=45°.

(1)①如图1,若£)8、NADC都是直角，把ZiABE绕点A逆时针旋转90。至

△ADG,使4B与4)重合，则能证得£F=BE+DF,请写出推理过程；

②如图2,若D8、NO都不是直角，则当£>8与ZD满足数量关系时，仍

有EF=BE+DF；

(2)拓展：如图3,在△A5C中，N84C=9Oo,A5=AC=20，点。、E均在边

【答案】(1)①见解析；②NB+N£>=180°,理由见解析•；(2)力E=|

【解析】

【分析】(I)①根据旋转的性质得出AE=AG,ZBAE=ZDAG,BE=DG,求出

NEAF=NGAF=45。，根据SAS推出△EAF04GAF,根据全等三角形的性质得出

EF=GF,即可求出答案；

②根据旋转的性质得出AE=AG,NB=NADG,ZBAE=ZDAG,求出C、D、

G在一条直线上，根据SAS推出AEAF丝Z\GAF,根据全等三角形的性质得出EF

=GF,即可求出答案；

(2)根据等腰直角三角形性质好勾股定理求出NABC=NC=45。，BC=4,根据

旋转的性质得出AF=AE,ZFBA=ZC=45°,NBAF=NCAE,求出NFAD=

ZDAE=45°,证△FADgaEAD,根据全等得出DF=DE,设DE=x,则DF=

x,BF=CE=3-x,根据勾股定理得出方程，求出x即可.

【详解】(1)①如图1,

,/把/XABE绕点A逆时针旋转90°至AAOG,使A3与AD重合,

/.AE=AG,ZBAE=/DAG,BE=DG

,：/BAD=90°,NEAF=45°,

/.ZBAE+ZDAF=45°,

：.ZDAG+ZDAF=45°,

即N£4E=NG4E=45。，

在△外/和AGAF中

AF=AF

<NEAF=NGAF

AE=AG

^EAF^GAF(SAS),

/.EF=GF,

"：BE=DG,

：.EF=GF=BE+DF；

②/B+NO=180°,

理由是：

把△ABE绕A点旋转到AADG,使AB和AD重合,

则AE=AG,ZB^ZADG,NBAE=NDAG,

,/ZB+ZADC=180°,

ZADC+ZADG=180°,

：.C,D,G在一条直线上，

和①知求法类似，N£AF=NG4E=45。，

在△外/和AGAF中

AF=AF

<ZEAF=NGAF

AE=AG

：.^EAF^AGAF(SAS),

，EF=GF,

•；BE=DG,

:.EF=GF=BE+DF；

故答案为：ZB+ZD=180°

(2)•.♦△ABC中，A3=AC=20，ZBAC^90

：.ZABC=ZC=45°,由勾股定理得：

BC=1AB?+AC?="(2扬2+(2扬2=4，

把AAEC绕A点旋转到△AFB,使AB和AC重合，连接DF.

则AF=AE,NKB4=NC=45。，ZBAF=ZCAE,

•；ZZXE=45。，

/.ZFAD=ZFAB+ABAD=Z.CAE+ABAD=ABAC-ADAE=90°-45°=45°,

：.ZFAD=ZDAE=45°,

在△E4£>和AEAO中

'AD=AD

«ZFAD=NEAD

AF^AE

：./\FAD^/\EAD,

：.DF^DE,

设DE=x,则DF=x,

,?BC=1,

BF=CE=A-\-x=3-x,

VZFBA=45°,ZABC=45°,

/.NFBD=90。,

由勾股定理得：DF2^BF2+BD2,

x2=(3-x)2+12,

解得：x=g，

即。E=3.

3

【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此

题是开放性试题，首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生

的分析问题，解决问题的能力要求比较高.

类型六-全等型120°

条件：①NAOB=2NDCE=120。，②OC平分/AOB

2

结论：①CD=CE；®OD+OE=OC；®SADCE=SAOCD+SAOCE=—OC

4

证明提示：①可参考“全等型-90。”证法一；

②如图：在OB上取一点F,使OF=OC,证明△OCF等边三角形.

6.如图，已知乙4。3=60。，在NAOB的角平分线上有一点C,将一个120。

角的顶点与点C重合，它的两条边分别与射线OAOB相交于点。,£

国3

roiraz

（1）如图1,当NDCE绕点、C旋转到CD与OA垂直时，请猜想OD+OE与0C的

数量关系，并说明理由；

（2）当NOCE绕点C旋转到CO与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结

论是否成立？并说明理由；

（3）如图3,当/DCE绕点C旋转到点。位于OA的反向延长线上时，求线段

OROE与之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.

【答案】（1）OD+OE=y/3OC,见解析；（2）结论仍然成立，见解析；（3）

OE-OD=^OC

【解析】

【分析】（1）先判断出NOCE=60。，再利用特殊角的三角函数得出OD=BOC,

2

同OE=3oc,即可得出结论；

2

（2）同（1）的方法得0F+0G=60C,再判断出△CFDgZSCGE,得出DF=EG,

最后等量代换即可得出结论；

（3）同（2）的方法即可得出结论.

【详解】解：（1）QOM是NAOB的角平分线

ZAOC=NBOC=-NAOB=30°

2

■.CD1OA,：.ZODC=90°,.-.ZOCD=60°

ZOCE=ZDCE-ZOCD=60°

在肋AOCD中，OO=OCcos30°=正OC,

2

同理：OE=^OC

2

OD+OE=j3OC

（2）（1）中结论仍然成立，理由：

过点。作C「_LQ4于尸，CG_LQB于G

:.ZOFC=ZOGC=90°

vZAO5=60°

.-.ZFCG=120°

由（1）知，OF^—OC,OG^—OC

22

OF+OG=yf3OC

：CF1OA,CG1OB,且点。是ZAOB的平分线OM上一点

:.CF=CG

\ZDCF=120°,ZFCG=120°

.../DCF=ZECG,\CFDMACGE

:.DF=EG

：.OF=OD+DF^OD+EG,OG=OE-EG

OF+OG=OD+EG+OE-EG=OD+OE

：.OD+OE=y[3OC

（3）结论为：OE-OD=y/3OC.

理由：过点C作CFLOA于F,CGLOB于G,

.•.ZOFC=ZOGC=90°,

VZAOB=60°,

/.ZFCG=120°,

同（1）的方法得，OF=且OC,OG=也OC,

22

.•.OF+OG=GOC,

VCF1OA,CG1OB,且点C是/AOB的平分线OM上一点,

，CF=CG,VZDCE=120°,ZFCG=120°,

/.ZDCF=ZECG,

.".△CFD^ACGE,

，DF=EG,

Z.0F=DF-OD=EG-OD,OG=OE-EG,

，OF+OG=EG-OD+OE-EG=OE-OD,

/.OE-OD=V3OC.

【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判

定和性质的综合运用，正确作出辅助线，构造全等三角形是解本题的关键.

7.如图，一伞状图形，己知408=120。，点P是NAO3角平分线上一点，且

OP=2,/MPN=60。,PM与0B交于点F,PN与OA交于点E.

（1）如图一，当PN与P。重合时，探索PF的数量关系

（2汝口图二，将NMPN在（1）的情形下绕点P逆时针旋转a度（0<&<60。），继续探

萦PE,尸产的数量关系，并求四边形OE"的面积.

【答案】（1）PE=PF,证明详见解析；（2）PE=PF,M

【解析】

【分析】（1）根据角平分线定义得到NPOF=60°,推出4PEF是等边三角形，得到

PE=PF；

（2）过点P作PQLOA,PHLOB,根据角平分线的性质得到PQ=PH,

/PQO=NPHO=90°,根据全等三角形的性质得到PE=PF,S四边形OEPF=S四边彩OQPH，

求得0Q=l,QP=e，根据三角形的面积公式即可得到结论.

【详解】解：（1）VZAOB=420°,0P平分ZAOB,

：.ZPOF=60°,

AMPN=60°,

：.ZMPN=ZFOP=a)°,

...AP防是等边三角形,

PE=PF；

(2)过点p作PQ_LOA,PHYOB,

,/0P平分NAOB,

...PQ=PH,ZPQO=ZPHO=9Q°,

ZAOB=i20°,

/.ZQPH=60o,

/.ZQPE+ZFPH+ZEPH,

ZQPE=ZEPF,

在AQPE与gpF中

ZEQP=ZFHP

<ZQPE=ZHPF,

PQ=PH

AQPEPF(AAS),

:.PE=PF,

S四边形OEPF一S四边形q2PH,

VPQ±OA,PHVOB,OP平分ZAO5,

/.NQPO=30。,

.••。2=1,QP=722-12=,

SA”Q=5X1XG=,

/z

四边形OEPF的面积=2SAOPQ=6

【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三

角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键.

8.(1)方法导引：

问题：如图1,等边三角形ABC的边长为6,点。是NABC和ZACB的角平分线交

点，ZFOG=120°，绕点。任意旋转NR9G,分别交AABC的两边于。，E两

点.求四边形0D8E面积.

讨论：

①小明：在NFOG旋转过程中，当OF经过点3时，OG一定经过点C.

②小颖：小明的分析有道理，这样我们就可以利用“ASA”证出△QDBGAOEC.

③小飞：因为△OD3g&9£C,所以只要算出AOBC的面积就得出了四边形。。BE

的面积.

老师：同学们的思路很清晰，也很正确.在分析和解决问题时，我们经常会借用特

例作辅助线来解决一般问题：请你按照讨论的思路，直接写出四边形ODBE的面

积：.

(2)应用方法：

①特例：如图2,NFOG的顶点。在等边三角形A8C的边上，08=2,

OC=4,边OGJ_AC于点E,。尸，45于点0,求ABOD的面积.

②探究：如图3,已知NR?G=60°,顶点。在等边三角形ABC的边BC上，

03=2,OC=4,记ABOD的面积为x,ACOE的面积为V,求孙的值.

③应用：如图4,已知NFOG=60°,顶点0在等边三角形ABC的边CB的延长线

上，。8=2,BC=6,记ABOD的面积为。，ACOE的面积为力，请直接写出。

与b的关系式.

A

【答案】（I）3石；⑵①△8。。的面积=#；②xy=12；③必=48.

【解析】

【分析】（1）连接。8、0C,利用ASA证出&ODBgJJEC,从而得出QBC的面

积与四边形。OBE的面积相等，过点。作于”点，利用锐角三角函数求

出0H即可求出aOBC的面积，从而得出结论；

（2）①根据等边三角形的性质可得NB=60°,从而求出NBOD,然后根据30°所

对的直角边是斜边的一半和勾股定理即可求出OD和BD,从而求出结论；

②过点。作OM_LAB于M，QVL4c于N,根据相似三角形判定定理可得

△%>8ACO£,根据相似三角形的性质列出比例式，变形可得

BDEC=OBOC=8,然后根据三角形的面积公式即可求出结论；

③过点。作OM_LAB交A3的延长线于M,ON工AC于N,根据相似三角形的

判定定理可得ABOOSACOE,根据相似三角形的性质列出比例式，变形可得

BDEC=OBOC=T6,分别求出OM和ON,再结合三角形的面积公式即可求出

结论.

【详解】解：（1）连接08、OC

NA8C=NAC8=60°

•••0是NABC和ZACB的角平分线交点

，ZDBO=ZOCG=NCBO=30°

:.OB=OC,ZBOC=ZFOG=120°

，ZDOB=ZCOE

：.QDB%OEC

:.QBC的面积与四边形ODBE的面积相等

过点。作于〃点

：BC=6,

：.BH=3

':"80=30°，

OH=BH»tanNOBH=上,

=—x6xV3=36

2

•••四边形ODBE的面积为3省.

故答案为：36.

(2)①•；AAfiC是等边三角形,

/.4=60°

•••。/_1/止于点。,

，ZBOD=3(f

•.•08=2,

；.BD=g0B=l,OD=y/OB2-BD2=73>

ic

:•&BOD的面积=—xlxg=——

22

②过点。作0M_LAB于"，ON上AC于N.

由①得：0M=6同理：0N=26

•••AABC是等边三角形，

:.NB=NC=60°

NFOG=60°，

/.ZBDO+NDOB=NEOC+NDOB=120°

ZBDO=ZEOC,

：.ABDOS《X)E

.OBBD

''~EC~^C，

：.BDEC=OBOC=8

xy=(g百呵｛g.26Ec|=12

③ab=48

过点。作OM_LAB交A5的延长线于M,ONA.AC于N.

,/ZBDO+NDOC=ZABC=60",

，ZFOG=ZEOC+ZDOC=60°

/."DO=NEOC,

'：NDBO=ZECO=120°

：.ABDM卫OE,

.OBBD

"'~EC~^C

：.BDEC=OBOC=T6

,/ZOBN=ZABC=60°,08=2,

...NBOM=30°,

/.OM=6

VZACB=60°,OC=S,

NCON=30°,

；•ON=4百

1

W)BD4V3ECj=48

2

【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等边三角形的性质、相似三角形

的判定及性质和锐角三角函数，掌握全等三角形的判定及性质、等边三角形的性

质、相似三角形的判定及性质和锐角三角函数是解决此题的关键.

类型七-全等型a

条件：①/AOB=2a,ZDCE=180-2a.；②CD=CE；

结论：①OC平分/AOB；②OD+OE=2OC.cosa

2

③S四边形OOCE=SAOCD+SAOCE=OCsinacosa

当NDCE的一边交AO的延长线于点D时，上述条件不变，结论有所变化

q.综合实践

初步探究：

如图，已知NAOB=60。，在NAOB的平分线0M上有一点C,将一个120。角的顶

点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E.

⑴当NDCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1）,请猜想OE+OD与OC的数

量关系为:

解决问题：

（2）当NDCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论

是否成立？并说明理由；

⑶当NDCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述