高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第六节 双曲线习题 理试题

第六节双曲线[基础达标]一、选择题(每小题5分,共30分)1.双曲线=1的一条渐近线的倾斜角为30°,则双曲线的离心率为 ()A. B. C. D.21.A【解析】由题意可知,双曲线的焦点在x轴上,且一条渐近线的斜率是,所以,即e2=,故e=.2.已知圆x2+y2-10x+24=0的圆心是双曲线=1(a>0)的一个焦点,则此双曲线的渐近线方程为 ()A.y=±x B.y=±xC.y=±x D.y=±x2.B【解析】因为圆心(5,0)是双曲线的一个焦点,所以a2+9=25,a>0,解得a=4,所以渐近线方程为y=±x=±x.3.(2015·西北师大附中三诊)已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1,F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为 ()A.=1 B.=1C.=1 D.=13.C【解析】由题意可得c=5,,则b2=a2=25-a2,解得a2=9,b2=16,故该双曲线的方程为=1.4.(2015·新课标全国卷Ⅱ)已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为 ()A. B.2 C. D.4.D【解析】设双曲线方程为=1(a>0,b>0),且不妨设点M在第一象限,则由题意得M(2a,a),则=1,所以a=b,所以e=.5.已知点F1,F2分别是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABF2是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是 ()A.(1,) B.(,2)C.(1+,+∞) D.(1,1+)5.D【解析】由△ABF2是锐角三角形,得∠AF2F1∈,所以AF1<F1F2,即<2c,c2-a2<2ac,即为e2-2e-1<0,又e>1,解得1<e<1+.6.已知不平行于坐标轴的直线l与以原点O为中心的双曲线=1(a>0,b>0)的两支及其两条渐近线从左到右依次交于A,B,C,D不同的四点,则下列一定成立的是 ()A.|AD|=2|BC| B.|AB|=|BC|=|CD|C. D.6.C【解析】设直线l为y=kx+m.联立方程组得(b2-a2k2)x2-2kma2x-a2m2-a2b2=0.联立方程组得(b2-a2k2)x2-2kma2x-a2m2=0.∴xA+xD=xB+xC,即线段AD与线段BC的中点重合,故|AB|=|CD|,.二、填空题(每小题5分,共10分)7.若双曲线x2-ky2=1的一个焦点是(3,0),则实数k=.

7.【解析】该双曲线的标准方程为x2-=1,所以1+=9,解得k=.8.(2015·镇江调研)若双曲线=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的,则该双曲线的渐近线方程是.

8.y=±x【解析】双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离d==b,焦距为2c,则由题意可得b=×2c,4b2=c2=a2+b2,3b2=a2,,所以该双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.三、解答题(共20分)9.(10分)求过和(4,-3)两点的双曲线的标准方程.9.【解析】设双曲线方程为mx2-ny2=1(mn>0).由题意得解得所以所求双曲线方程为=1.10.(10分)已知定圆M:(x-2)2+y2=8,动圆P过点N(-2,0),且与定圆M外切,求动圆P的圆心的轨迹方程.10.【解析】因为动圆P过点N,所以|PN|是圆P的半径,又因为动圆P与圆M外切,所以|PM|=|PN|+2,即|PM|-|PN|=2.故点P的轨迹是以M,N为焦点,实轴长为2的双曲线的左支.因为实半轴长a=,半焦距c=2,所以虚半轴长b=.从而动圆P的圆心的轨迹方程为=1(x≤-).[高考冲关]1.(5分)过双曲线=1(a>0,b>0)的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若,则此双曲线的离心率是 ()A. B. C. D.1.C【解析】由题意可得-<-1,b>a,直线l:y=-x+a与渐近线y=x相交于点B,与渐近线y=-x相交于点C,又,则,得b=2a,b2=c2-a2=4a2,c=a,所以离心率e=.2.(5分)(2015·湖州二模)已知椭圆C1:=1(a1>b1>0)和双曲线C2:=1(a2>0,b2>0)有相同的焦点F1,F2,且椭圆C1与双曲线C2在第一象限的交点为P,若2=||2(O为坐标原点),则双曲线C2的离心率的取值范围是 ()A.(,+∞) B.(2,+∞) C.(,+∞) D.(3,+∞)2.B【解析】设P(x,y),F2(c,0),则由2=||2可得x=,分别代入椭圆和双曲线方程可得y2=,y2=,且=c2,则c2,可得),解得e1e2=2,e2=,因为e1∈(0,1),所以e2∈(2,+∞).3.(5分)(2015·安庆三模)若以A,B为焦点的双曲线经过点C,且|AB|=|AC|,cos∠ABC=,则该双曲线的离心率为 ()A. B.2 C.3 D.3.C【解析】不妨设点A,B分别为左、右焦点,实半轴长为a,半焦距为c,若点C在双曲线的左支上,设BC中点为D,则由定义知|BD|=|BC|=(2c+2a)=c+a,在Rt△ABD中,由cos∠ABC=,得,e=-3,不可能,故C在双曲线的右支上,设BC中点为D,则由双曲线定义知|BD|=|BC|=(2c-2a)=c-a,在Rt△ABD中,cos∠ABD=,故,得e==3.4.(5分)(2015·重庆巴蜀中学三诊)已知F是双曲线=1的左焦点,点A(1,3),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为.

4.11【解析】双曲线的右焦点F'(5,0),由于点P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|=2a+|PF'|+|PA|≥6+|F'A|=11,当且仅当F',P,A三点共线时取等号,故|PF|+|PA|的最小值为11.5.(5分)(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为.

5.【解析】如图,x-y=0为双曲线x2-y2=1的一条渐近线.设点P到直线x-y+1=0的距离为d,直线x-y=0与直线x-y+1=0的距离为d1,由渐近线的性质,可知d>d1=,又因为d>c恒成立,所以c的最大值为.6.(5分)设双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,与双曲线的其中一个交点为P,设O为坐标原点,若=m+n(m,n∈R),且mn=,则该双曲线的离心率为.

6.【解析】不妨设点A在第一象限,由已知可得A,B,代入=m+n,解得P(m+n)c,(m-n),代入双曲线方程,化简得4e2mn=1,所以e2=,解得e=.7.(10分)已知椭圆x2+=1的左、右两个顶点分别为A,B.曲线C是以A,B两点为顶点,离心率为的双曲线.设点P在第一象限且在曲线C上,直线AP与椭圆相交于另一点T.(1)求曲线C的方程;(2)设P,T两点的横坐标分别为x1,x2,证明:x1·x2=1.7.【解析】(1)依题意可得A(-1,0),B(1,0).设双曲线C的方程为x2-=1(b>0),因为双曲线的离心率为,所以,即b=2.所以双曲线C的方程为x2-=1.(2)解法1:设点P(x1,y1),T(x2,y2)(xi>0,yi>0,i=1,2),直线AP的斜率为k(k>0),则直线AP的方程为y=k(x+1),联立方程组整理得(4+k2)x2+2k2