随机事件及概率3-4节

内容回忆1.概率论中的根本概念：样本点，样本空间，随机事件2.随机事件的四种关系和三种运算以及DeMorgen律3.概率的统计定义：频率越大，事件发生的可能性越大4.概率的公理化定义：非负性，标准性，可加性5.概率的五条性质2024/1/61古典概型一、古典概型的定义二、古典概型的公式三、应用第三节根本内容：2024/1/622024/1/63注:2º判断古典概型的两个依据：①的有限性；②各根本领件的等可能性.3º加法原理、乘法原理、排列与组合在古典概型中起着重要的作用.1º古典概型与样本空间的建立有关；2024/1/64预备知识：1.加法原理：完成1件事，有n类方法.在第1类方法中有m1种不同的方法，在第2类中有m2种不同的方法，……在第n类中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有2.乘法原理：完成1件事，需要分成n个步骤.做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有2024/1/653.排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数记为4.组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记为2024/1/66

例1：从0,1,2,···,9共10个数字中任取一个.假定每(1)7个数字全不同；(2)不含4和7；出7个数字，试求以下各事件的概率:个数字都以1/10的概率被取中,取后复原,先后取三、常见的古典概型1.随机取数模型2024/1/67解:样本空间所包含的根本领件总数：107.(1)A表示“7个数字全不同〞.A所包含的根本领件数：(2)B表示“不含4和7〞.2024/1/682.分房模型解：1º先求样本空间所含的样本点总数.有n个人，每个人都以同样的概率1/N被分配在N(n≤N)间房中的每一间中，试求以下各事件的概率：(1)某指定n间房中各有一人；(2)恰有n间房，其中各有一人；(3)某指定房中恰有m(m≤n)人.例2:2024/1/69分析

把n个人随机地分到N个房间中去,每一种分法就对应着一个样本点(根本领件)，由于每个人都可以住进N间房中的任一间，所以每一个人有N种分法,n个人共有Nn

种分法,即根本领件总数：2º(1)设A表示“某指定n间房中各有一人〞那么A所含样本点数：2024/1/610(2)设B表示“恰有n间房，其中各有一人〞

这n间房可以从N个房间中任意选取,共有

各有一人的分法有n!种,所以事件B所含的样本点数：种分法.而对于每一选定的n间房,其中分析对于事件B，由于未指定哪n个房间,所以2024/1/611求其中恰有2件次品的概率.例3：设一批产品共100件,其中共有95件正品和5件次品,按放回抽样方式从这批产品中抽取10件样本,放回地抽取10件样品共有根本领件数设事件A1表示“取出的10件样品中恰有2件次品〞,解：事件A1包含的根本领件数：3.产品检验模型2024/1/612根本领件的相当于从100件样品中取10件作组合,求取出的10件样本中恰有2件次品的概率.例4.上题按不放回抽样方式从这批产品中抽取10件样品,解1：从这批产品中不放回抽样抽取10件样品总数为设事件A2表示“取出的10件样品中恰有2件次品〞,那么事件A2包含的根本领件数为按古典概型的概率公式,2024/1/613那么事件A2包含的根本领件数为解2：第一次抽取有100种不同取法,第二次抽取有99种不同取法,……,第10次抽取有91种不同取法因此根本领件的总数为设事件A2表示“取出的10件样品中恰有2件次品〞,按古典概型的概率公式,2024/1/614(2)在不放回抽样的方式下,取出的n件样品中恰好有m件次品〔不妨设事件A2〕的概率为

(1)在放回抽样的方式下,取出的n件样品中恰好有m件次品〔不妨设事件A1〕的概率为设一批产品共N件,其中有M件次品,从这批产品中随机抽取n件样品，那么产品检验模型2024/1/615就是从N件产品中任取次取出的产品是次品的概率.例5.设一批产品共N件,其中有M件次品,每次从这批产品中任取1件产品,取出后不放回,求第解:到第i次取出的产品时,i件样品的排列,所以根本领件的总数为设事件Ai表示“第i次取出的产品是次品〞,它包含的根本领件数为2024/1/616

注：放回抽样或不放回抽样中,无论哪次抽取次品的概率都一样,即取出次品的概率与先后次序无关.按古典概型的概率公式,得2024/1/617同类型的问题还有：5)扑克牌花色问题；4)鞋子配对问题；6)英文单词、书、报及号码等排列问题.1)中彩问题；2)抽签问题；3)分组问题；2024/1/61819

解：假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来访者都是在周二、周四的概率为

212/712=0.0000003.例：某接待站在某一周曾接待12次来访，所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的? 人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的〞(称之为实际推断原理)。 现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此有理由疑心假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。2024/1/619条件概率概率乘法公式一、条件概率二、概率乘法公式三、全概率公式与贝叶斯公式根本内容：第四节2024/1/620条件概率是概率论中的一个重要概念，什么是条件概率？同时，我们将发现它也是用来计算复杂模型中概率的重要工具。2024/1/6212024/1/622所谓“事件A1已发生〞,是指A1中某一个样本点已出现。那么，“在事件A1已发生的条件下，事件A2再发生〞，必然是这个已出现的样本点又属于A2(属于A1A2).例：设在10个同一型号的元件中有7个一等品,从这些元件中不放回连续取两次,每次取一个元件,求在第一次取得一等品的条件下,第二次取得一等品的概率.分析：设Ai表示“第i次取得一等品〞(i=1,2),在新的样本空间中求事件A1A2的概率所以A1发生的条件下,A2发生的概率看成是2024/1/6232.条件概率的定义为事件A在事件B发生的条件下的条件概率.设A与B是两个随机事件,假设P(B)>0,那么称2024/1/6243.条件概率的性质(3)可列可加性：逆事件的条件概率:(1)非负性：0≤P(A|B)≤1;(2)标准性：对于可列无穷个互不相容事件故条件概率满足概率的5条性质，如2024/1/625例6.设在10个同一型号的元件中有7个一等品,从这些元件中不放回连续取两次,求在第一次取得一等品的条件下,第二次取得一等每次取一个元件,品的概率.解：设Ai表示“第i次取得一等品〞(i=1,2),那么解1：解2：假设按事件A1发生条件下缩减后的样本空间来计算,那么2024/1/626例7在肝癌普查中发现,某地区的自然人群中,每十万人中平均有40人患原发性肝癌，有34人出现甲胎球蛋白高含量，有32人既患原发性肝癌又出现甲胎球蛋白高含量。从这个地区的居民中任选1人，假设他患有原发性肝癌记为事件A，甲胎球蛋白高含量记为事件B，那么由条件概率的定义有：这两个条件概率有何现实意义？2024/1/627二、概率乘法公式定理1：对事件A和B，假设P(B)>0,那么或假设P(A)>0,那么此两个公式都称为概率乘法公式.推广:

设A1,A2,…,An为n个随机事件,P(A1A2…An-1)>0,那么有假设2024/1/628(2)三次中至少有一次取得一等品的概率.设在10个同一型号的元件中有7个一等品，从这些元件中不放回连续取三次，每次取一个元件,求(1)三次都取得一等品的概率；例7.解：设Ai表示“第i次取得一等品〞(i=1,2,3),2024/1/629A三、全概率公式与贝叶斯公式B1B2B3…Bi…Bn2024/1/630如图AB1B2B3…Bi…Bn化整为零各个击破2024/1/6312024/1/632以上这类问题在医药领域相当重要，显然，甲的可能性要大得多，因为甲产量多，次品率也高。

实际上因为人们常常需要从诊断的结果来寻找真正的原因。2024/1/633贝叶斯公式(或逆概率公式)AB1B2B3…Bi…Bn2024/1/634肝癌普查问题甲胎蛋白免疫检测法(简称AFP法)被普遍应用于肝癌的普查和诊断。设A={肝癌患者},B={AFP检验反响为阳性};由过去的资料：假阳性率又在人群中肝癌的发病率为的可能性有多大？今有一人AFP检测结果为阳性，现问该人患肝癌真阳性率2024/1/635解：由贝叶斯公式知由全概率公式知设A={肝癌患者},B={AFP检验反响为阳性};2024/1/636购置该厂的一件产品，将该厂所有产品混合投放市场，(1)求这件产品是次品的概率；各条生产线的产量分别占该厂总产量的25%,例8.某厂有①、②、③三条生产线生产同一种产品，35%,40%;各条生产线的产品的次品率分别是5%,4%,2%,某消费者(2)假设这件产品确实是次品,问这件次品最可能是哪一条生产线生产的？设事件A表示“消费者购得一件次品〞，表示“这件产品是第i条生产线的产品〞(i=1,2,3)事件Bi显然B1,B2,B3是互不相容的,且解：2024/1/637(1)按全概率公式得设事件A表示“消费者购得一件次品〞，表示“这件产品是第i条生产线的产品〞(i=1,2,3)事件Bi显然B1,B2,B3是互不相容的,且解：2024/1/638解(2)：按贝叶斯公式得所以这件次品最可能是第②条生产线生产的.(2)假设这件产品确实是次品,问这件次品最可能是哪一条生产线生产的？2024/1/639(2)在顾客买下的一箱玻璃杯中确实无残次品的概率.解：(1)例9(研).玻璃杯整箱出售，每箱12个，假设各箱中有0,1,2个残次品的概率分别为0.85,0.10,0.05.顾客购置一箱玻璃杯时，售货员任取一箱,而顾客开箱随机观察4个,假设未发现残次品,那么买下该箱玻璃杯;否那么不买.求(1)顾客买下该箱玻璃杯的概率；设事件A表示“顾客买下该箱玻璃杯〞,事件Bi表示“顾客观察的该箱玻璃杯中有i个残次品〞,那么B0,B1,B2互不相容,且2024/1/640根据全概率公式得(2)根据贝叶斯公式得计算条件概率2024/1/641条件概率、概率乘法公式、全概率公式以及贝叶斯公式的关系：条件概率乘法公式全概率公式

贝叶斯公式2024/1/642内容小结1.会计算古典概型的概率;2.理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式、全概率公式以及贝叶斯公式，并能应用这些公式进行概率计算.2024/1/643作业习题一〔P27〕：11、13、15、18、21、222024/1/644备用题1.

鞋子配对问题取走两只,求以下事件的概率.(1)每人取走的鞋恰为一双的概率;(2)每人取走的鞋不成一双的概率.解

设第一个人从2n只中取任取2只,第2个人从2n-2只中任取2只,…,第n个人取走最后2只.有n双不同的鞋混放在一起,有n个人每人随机2024/1/645(1)每个取走一双鞋的事件数为于是依乘法原理,根本领件的总数为2024/1/646因为第一个人可以从n只右脚鞋中取一只,又可以从n只左脚中取一只(只要2只鞋不成双),其余类推.于是(2)每个人取走的2只鞋都不成双的事件数为(n!)2.2024/1/6472.生日问题全班共有学生30人，求以下事件的概率：(1)某指定30天，每位学生生日各占一天；(2)全班学生生日各不相同；(3)全年某天恰有二人在这一天同生日；(4)至少有两人的生日在10月1日.解日房，N=365(天),2024/1/648(1)A=“某指定30天，每位学生生日各占一天〞,(2)设B=“全