百校高三下学期第四次联考数学试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020届江苏省百校联考高三年级第四次试卷数学试题第Ⅰ卷（必做题,共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上.）1.已知集合，则____________.【答案】【解析】【分析】根据并集的定义计算即可.【详解】由集合的并集,知.故答案为：【点睛】本题考查集合的并集运算,属于容易题.2。已知复数满足(为虚数单位），则复数的实部为____________.【答案】【解析】【分析】利用复数的概念与复数的除法运算计算即可得到答案.【详解】，所以复数的实部为2。故答案为：2【点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题。3。三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为160，240，400，为调查联考数学学科的成绩,现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本，若在学校抽取的数学成绩的份数为30,则抽取的样本容量为____________.【答案】【解析】【分析】某层抽取的人数等于该层的总人数乘以抽样比。【详解】设抽取的样本容量为x，由已知，，解得。故答案为：【点睛】本题考查随机抽样中的分层抽样，考查学生基本的运算能力,是一道容易题.4.根据如图所示的伪代码，若输入的的值为2，则输出的的值为____________。【答案】【解析】【分析】满足条件执行,否则执行.【详解】本题实质是求分段函数在处的函数值，当时，。故答案为：1【点睛】本题考查条件语句应用，此类题要做到读懂算法语句,本题是一道容易题.5。某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习，抛一枚硬币两次，若两次都是正面朝上，就在家学习，否则出去看电影，则该同学在家学习的概率为____________。【答案】【解析】【分析】采用列举法计算古典概型的概率.【详解】抛掷一枚硬币两次共有4种情况，即（正，正），(正，反)，（反，正)，（反，反），在家学习只有1种情况，即（正，正），故该同学在家学习的概率为.故答案：【点睛】本题考查古典概型的概率计算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题。6.已知数列满足,且恒成立，则的值为____________.【答案】【解析】【分析】易得,所以是等差数列,再利用等差数列的通项公式计算即可。【详解】由已知，，因，所以，所以数列是以为首项,3为公差的等差数列，故，所以.故答案为:【点睛】本题考查由递推数列求数列中的某项,考查学生等价转化的能力，是一道容易题.7.已知函数的部分图象如图所示，则的值为____________.【答案】【解析】【分析】由图可得的周期、振幅，即可得,再将代入可解得，进一步求得解析式及。【详解】由图可得，，所以，即，又，即，，又，故，所以，。故答案为:【点睛】本题考查由图象求解析式及函数值，考查学生识图、计算等能力,是一道中档题.8。在平面直角坐标系中，双曲线的焦距为，若过右焦点且与轴垂直的直线与两条渐近线围成的三角形面积为,则双曲线的离心率为____________.【答案】【解析】【分析】利用即可建立关于的方程.【详解】设双曲线右焦点为,过右焦点且与轴垂直的直线与两条渐近线分别交于两点，则,，由已知,,即，所以,离心率.故答案为：【点睛】本题考查求双曲线的离心率，做此类题的关键是建立的方程或不等式，是一道容易题。9。已知为正实数，且，则的最小值为____________。【答案】【解析】【分析】，所以有，再利用基本不等式求最值即可。【详解】由已知,,所以，当且仅当,即时，等号成立。故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值问题，采用的是“1"的替换,也可以消元等，是一道中档题。10.已知函数，则不等式的解集为____________。【答案】【解析】【分析】，，分类讨论即可。【详解】由已知，，,若，则或解得或，所以不等式的解集为.故答案为：【点睛】本题考查分段函数的应用，涉及到解一元二次不等式,考查学生的计算能力，是一道中档题。11。如图，在一个倒置的高为2的圆锥形容器中，装有深度为的水，再放入一个半径为1的不锈钢制的实心半球后，半球的大圆面、水面均与容器口相平，则的值为____________。【答案】【解析】【分析】由已知可得到圆锥的底面半径,再由圆锥的体积等于半球的体积与水的体积之和即可建立方程.【详解】设圆锥的底面半径为,体积为，半球的体积为，水（小圆锥）的体积为,如图则，所以，,解得，所以,，，由，得，解得.故答案为：【点睛】本题考查圆锥的体积、球的体积的计算，考查学生空间想象能力与计算能力，是一道中档题。12。如图,在梯形中，∥，分别是的中点，若，则的值为___________.【答案】【解析】【分析】建系，设设,由可得，进一步得到的坐标，再利用数量积的坐标运算即可得到答案。【详解】以A为坐标原点,AD为x轴建立如图所示的直角坐标系，设，则，所以，,由，得,即，又，所以，故,,所以.故答案为：2【点睛】本题考查利用坐标法求向量的数量积，考查学生的运算求解能力，是一道中档题。13.函数满足，当时，,若函数在上有1515个零点,则实数的范围为___________.【答案】【解析】【分析】由已知，在上有3个根,分，，，四种情况讨论的单调性、最值即可得到答案。【详解】由已知，的周期为4，且至多在上有4个根,而含505个周期，所以在上有3个根,设，,易知在上单调递减，在，上单调递增，又，。若时，在上无根，在必有3个根，则，即，此时;若时，在上有1个根，注意到，此时在不可能有2个根，故不满足；若时，要使在有2个根,只需，解得；若时，在上单调递增，最多只有1个零点，不满足题意；综上，实数的范围为。故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题,涉及到函数的周期性、分类讨论函数的零点，是一道中档题.14。已知圆，直线与圆交于两点，，若，则弦的长度的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】取的中点为M，由可得，可得M在上，当最小时，弦的长才最大.【详解】设为的中点，，即,即，，.设，则，得.所以,.故答案为:【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查学生的逻辑推理、数形结合的思想，是一道有一定难度的题。二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15。如图,已知在三棱锥中，平面，分别为的中点，且.(1）求证：；（2）设平面与交于点，求证:为的中点。【答案】（1)证明见解析;(2）证明见解析.【解析】【分析】（1)要做证明,只需证明平面即可；(2)易得∥平面，平面,利用线面平行的性质定理即可得到∥,从而获得证明【详解】证明：（1)因为平面，平面，所以。因为，所以.又因为，平面，平面，所以平面.又因为平面，所以.(2）因平面与交于点,所以平面。因为分别为的中点，所以∥。又因为平面，平面,所以∥平面。又因为平面，平面平面，所以∥，又因为是的中点，所以为的中点。【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及线面平行的性质定理，考查学生的逻辑推理能力，是一道容易题。16.在中，角所对的边分别为，若，,，且。（1）求角的值；（2)求的最大值。【答案】（1）；（2）。【解析】【分析】（1）由正弦定理可得,再用余弦定理即可得到角C；（2)，再利用求正弦型函数值域的方法即可得到答案。【详解】（1）因为，所以。在中，由正弦定理得，所以，即。在中,由余弦定理得,又因为，所以。（2）由（1）得，在中,，所以。因为,所以，所以当,即时,有最大值1，所以的最大值为.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角差的正弦公式、辅助角公式、向量数量积的坐标运算，是一道容易题。17。已知椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为,离心率为,是椭圆上的一个动点（不与左、右顶点重合），且的周长为6，点关于原点的对称点为，直线交于点。（1）求椭圆方程；（2）若直线与椭圆交于另一点,且,求点的坐标。【答案】（1）;（2）或【解析】【分析】(1）根据的周长为，结合离心率，求出,即可求出方程；(2）设,则，求出直线方程，若斜率不存在，求出坐标，直接验证是否满足题意，若斜率存在，求出其方程，与直线方程联立,求出点坐标，根据和三点共线，将点坐标用表示,坐标代入椭圆方程，即可求解。【详解】（1）因为椭圆的离心率为,的周长为6，设椭圆的焦距为，则解得，，,所以椭圆方程为。（2）设,则，且，所以的方程为①。若，则的方程为②，由对称性不妨令点在轴上方，则，，联立①，②解得即.的方程为，代入椭圆方程得,整理得，或，。，不符合条件.若，则的方程为，即③。联立①，③可解得所以。因为，设所以,即.又因为位于轴异侧，所以.因为三点共线，即应与共线，所以,即,所以，又,所以,解得，所以，所以点的坐标为或.【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及应用、直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于较难题。18.管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具,现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示,一根长度为的清洁棒在弯头内恰好处于位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，)。（1）请用角表示清洁棒的长；（2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度.【答案】（1）；（2）。【解析】【分析】（1）过作的垂线,垂足为,易得，进一步可得；（2)利用导数求得最大值即可.【详解】（1）如图，过作的垂线，垂足为,在直角中,,,所以，同理，.（2）设，则，令,则，即。设,且，则当时，,所以单调递减;当时，，所以单调递增,所以当时，取得极小值，所以.因为，所以，又，所以，又，所以，所以,所以，所以能通过此钢管的铁棒最大长度为.【点睛】本题考查导数在实际问题中的应用，考查学生的数学运算求解能力,是一道中档题.19.已知等差数列和等比数列的各项均为整数,它们的前项和分别为,且，。(1）求数列，的通项公式;(2）求；(3）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在,说明理由.【答案】（1）；（2）;(3）存在,1.【解析】【分析】（1）利用基本量法直接计算即可；（2）利用错位相减法计算;(3），令可得,,讨论即可.【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为，因为，所以,即，解得，或(舍去）。所以.（2)，，所以,所以。（3）由（1）可得,,所以.因为是数列或中的一项，所以，所以，因为，所以，又,则或。当时，有，即，令.则。当时，;当时，，即.由，知无整数解.当时，有，即存在使得是数列中的第2项,故存在正整数，使得是数列中的项.【点睛】本题考查数列的综合应用，涉及到等差、等比数列的通项，错位相减法求数列的前n项和,数列中的存在性问题，是一道较为综合的题.20。已知函数（是自然对数的底数，）.（1）求函数的图象在处的切线方程；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（3)若函数在区间上有两个极值点，且恒成立,求满足条件的的最小值(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)。【答案】(1）；（2)；（3）.【解析】【分析】(1）利用导数的几何意义计算即可;（2）在上恒成立，只需，注意到；（3)在上有两根，令，求导可得在上单调递减，在上单调递增，所以且，，，求出的范围即可.【详解】（1）因为，所以，当时，,所以切线方程为，即.(2），.因为函数在区间上单调递增，所以，且恒成立，即,所以，即，又，故，所以实数的取值范围是.（3）。因函数在区间上有两个极值点，所以方程在上有两不等实根，即。令，则，由,得，所以在上单调递减,在上单调递增，所以，解得且。又由，所以，且当和时，单调递增,当时，单调递减,是极值点，此时令,则，所以在上单调递减,所以.因为恒成立，所以.若，取，则，所以.令,则，.当时,；当时，。所以，所以在上单调递增,所以,即存在使得，不合题意.满足条件的的最小值为—4。【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值点，不等式恒成立等知识，是一道难题.第Ⅱ卷(附加题,共40分）选做题：请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.选修4-2：矩阵与变换21.已知矩阵不存在逆矩阵，且非零特低值对应的一个特征向量，求的值.【答案】【解析】【分析】由不存在逆矩阵，可得，再利用特征多项式求出特征值3，0，，利用矩阵乘法运算即可.【详解】因为不存在逆矩阵,，所以。矩阵的特征多项式为，令，则或，所以，即,所以，所以【点睛】本题考查矩阵的乘法及特征值、特征向量有关的问题,考查学生的运算能力，是一道容易题。选修4-4：坐标系与参数方程22。以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位,建立极坐标系，已知曲线，曲线(为参数），求曲线交点的直角坐标。【答案】【解析】【分析】利用极坐标方程与普通方程、参数方程间的互化公式化简即可.【详解】因为，所以，所以曲线的直角坐标方程为.由，得，所以曲线的普通方程为.由，得,所以（舍），所以，所以曲线的交点坐标为。【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程,参数方程与普通方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道容易题.选修4—5：不等式选讲23.已知凸边形的面积为1，边长，，其内部一点到边的距离分别为.求证：.【答案】证明见解析【解析】【分析】由已知，易得,所以利用柯西不等式和基本不等式即可证明.【详解】因为凸边形的面积为1，所以，所以(由柯西不等式得)（由均值不等式得）【点睛】本题考查利用柯西不等式、基本不等式证明不等式的问题，考查学生对不等式灵活运用的能力，是一道容易题.必做题：第24题、第25题，每题10分，共计20分,解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.24。如图,在四棱锥中,底面是直角梯形且∥,侧面为等边三角形，且平面平面。（1）求平面与平面所成的锐二面角的大小；（2）若，且直线与平面所成角为,求的值.【答案】（1）；（2）。【解析】【分析】（1）分别取的中点为，易得两两垂直，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，易得为平面的法向量，只需求出平面的法向量为，再利用计算即可；（2）求出，利用计算即可。【详解】（1）分别取的中点为，连结。因为∥，所以∥。因为,所以。因为侧面为等边三角形，所以又因为平面平面，平面平面，平面,所以平面,所以两两垂直。以为空间坐标系的原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为,则,,。设平面的法向量为，则，即。取,则，所以。又为平面的法向量，设平面与平面所成的锐二面角的大小为，则，所以平面与平面所成的锐二面角的大小为。（2)由(1）得，平面的法向量为,所以成.又直线与平面所成角为，所以,即，即,化简得，所以，符合题意.【点睛】本题考查利用向量坐标法求面面角、线面角，涉及到面面垂直的性质定理的应用，做好此类题的关键是准确写出点的坐标，是