第10课 推理与证明 2023年新高考数学一轮复习强化小练（2019人教版）

推理与证明

2023年新高考数学一轮复习强化小练

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题（共40分）

1.（本题8分）（2022•河南•新安县第一高级中学模拟预测（理））十二平均律是我国明

代音乐理论家和数学家朱载培发明的，明万历十二年（公元1584年），他写成《律学新

说》提出了十二平均律的理论十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数使

包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为插入11

个数后这13个数之和为N,则依此规则，下列说法错误的是（）

A.插入的第8个数为孤B.插入的第5个数是插入的第1个数的

啦倍

C.M>3D.N<7

2.（本题8分）（2022•全国•模拟预测（理））如图所示，在AABC中，AB=AC,

A=y,记△ABC外接圆的面积为取△ABC三边的中点分别为O,E,F,记

△OEF外接圆的面积为其，再取△QEF三边的中点分别为P,Q,R,记APQR外接

圆的面积为邑，依次类推，若△ABC的内切圆半径为26-3,则其=（）

A.冗B.一

4

c冗.71

C.—D.—

1664

3.（本题8分）（2022•河南洛阳,模拟预测（理））对于一个数的三次方，我们可以分解

为若干个数字的和:F=l，2?=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19....根据

上述规律，25’的分解式中等号右边的所有数中最大的数为（）

A.325B.323C.649D.647

4.（本题8分）（2023•四川♦成都七中模拟预测（理））数列｛4｝满足

“向=U+《,（〃€N"）,则以下说法正确的个数（）

①0<qM<an

（2）a；+a：+Qy+•••+a]<q；

③对任意正数都存在正整数加使得1匚+一一+『一+…+J—成立

]一q1-a2I-a31—am

④为

n+1

A.1B.2C.3D.4

5.（本题8分）（2022•黑龙江♦鸡西市第四中学三模（理））四名犯罪嫌疑人同时落网，

但是他们只承认参与了犯罪行为，却都不承认自己是主犯.在警察审问的时候，四个人

的回答如下：甲说：丙是主犯，每次都是他负责的；乙说：我不是主犯；丙说：我也

不是主犯；丁说：甲说得对.警方通过调查，终于查出了主犯，发现他们之中只有1个

人说了真话，其余3个人都说了假话，据此可推知（）

A.甲是主犯B.乙是主犯C.丙是主犯D.丁是主犯

二、填空题（共24分）

6.（本题8分）（2022•四川成都•模拟预测（理））杨辉三角，是二项式系数在三角形中

的一种几何排列.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形.帕斯卡（1623-1662）是在1654年

发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年.这是我国数学史上的又一个伟

大成就.其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位.中国古代

数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页.下图的表

在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了.该表中，从

上到下，第“次出现某行所有数都是奇数的行号记为比如4=1,%=3,则数列

{4}的前10项和为.

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

第6行615201561

7.（本题8分）（2022・河南洛阳•模拟预测（文））关于x的方程/+奴_6=0,有下列

四个命题：甲：x=5是方程的一个根；乙：x=3是方程的一个根；丙：该方程两根异

号；丁：该方程两根之和为4.若四个命题中只有一个假命题，则假命题是.

8.（本题8分）（2022•广东广州.高二期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3

再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，

必进入循环圈1->4-2->1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.

如取正整数机=6,根据上述运算法则得出6f3f10-5f16->8f4-2-1,共

需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知

数列｛%｝满足：卬=〃？（巾为正整数），。向=•才‘当"”为偶数若“冰雹猜想”中

3%+1,当可为奇数

%=4,则%所有可能的取值的集合知=.

三、双空题（共16分）

9.（本题8分）（2022•江苏无锡,模拟预测）“刺绣”是一门传统手工艺术，我国己有多种

刺绣列入世界非遗文化遗产名录.有一种刺绣的图案由一笔画构成，很像汉字“回”，

称为“回纹图”（如图）.某刺绣工在方格形布料上用单线针法绣回纹图，共进行了〃

次操作，每次操作在前一次基础上向外多绣一圈（前三次操作之后的图案分别如下

图）.若第2次操作之后图案所占面积为耳（即最外围不封口的矩形面积，如

工=2,邑=12,S3=30）,则至少操作次，果不少于90；若每横向或纵向一个单

位长度绣一针，称为“走一针”，如图①共走了5针，如图②共走了19针，如图③共走

了41针，则其第〃次操作之后的回纹图共走了针（用〃表示）.

10.（本题8分）（2022.全国.模拟预测（理））如图，在平面直角坐标系中一系列格点

4（%,必），其中i=l,2,3,…〃，….且记a,=x'+y“，如4（1,0）记为q=1,

4（1,-1）记为生=0,以此类推.设数列｛可｝的前〃项和为S“，则的024=;

474冽

4…Mil

小544小3

-♦--------I----------•---------9

四、解答题（共20分）

11.（本题20分）（2022.青海.模拟预测（理））“数字华容道”是一款流行的益智游

戏.心〃的正方形盘中有（小-I）个小滑块，对应数字1至〃2—1.初始状态下，所有滑

块打乱位置，并保证第〃行第〃列为空格.游戏规则如下：玩家经过移动小方块，将

“1”归位，即将“1”由初始状态移动至“目标位置”（第一行第一列），如图情况下最少3

步即可（“初始”至“移动3”）.假设所有玩家始终用最少的移动步数进行移动.

移动1移动2移动3

（1）如图，图1,图2分别为二阶、三阶华容道，数字表示“以该处为T的初始位置，将

其移动到‘目标位置’（第一行第一列）所需的最少移动次数”，请在图2三阶华容道的

空格里填上相应数字；

（2）对于3阶华容道，从8个可能位置中的某个出发，若最终需要的最少移动次数不超

过7,则获得1积分，求甲同学三轮之后不低于2分的概率；

（3）对于3阶华容道，若A、B两人各持一个华容道游戏盘，双方各自独立地从中间列

初始位置中随机选取一个开始游戏，设两人的步数之和为随机变量X,求X的分布列

和数学期望E(x).

参考答案:

1.D

【分析】设该等比数列为{%},公比为％利用通项公式求出铲=空=2.

a\

对于A：利用通项公式直接求出佝=/，即可判断；对于B：利用通项公式直接求出

—=^2,即可判断；

。2

对于C：先求出M=T-----F,利用分析法证明；对于D：由N=M+3,利用放缩法证

1-2口

明出M>4,即可得到N>7,即可判断.

【详解】设该等比数列为㈤},公比为小则6=1,出=2,故，2=包=2.

a\

对于A：插入的第8个数为为=qxq8=瓶.故A正确；

对于B：插入的第5个数为〃6=6x/,插入的第1个数为〃2=qxq,所以

丝=维支=/=次.故B正确;

即证图>2,

而图>图>2成立，故C正确;

对于D：N=M+3.

因为(1>(1.4)6>(1.9)3>2「.1,

，所以26>2-口，所以「—>5,所以7-----r>4,即

5-11-212

M>4,所以N=M+3>7

故D错误.

故选：D

2.D

【分析】连接AE,则由等腰三角形的性质结合△ABC的内切圆半径为2石-3,可求出

答案第1页，共7页

AB=2AE=2,从而可求出△ABC的外接圆半径为2,则可求得工=4万，再利用三角形中

|TT

位线定理可求得以）=]AC=1,则得S?=乃，同理可得从而可推出S5的值

如图连接AE,

因为AB=AC,E为8c的中点,

所以AE平分ZBAC,AELBC,白加。的内切圆圆心在AE上，设为。,

因为A=等，所以NBAE=ZC4E=。，

因为△ABC的内切圆半径为26-3,

所以AE=26-3+

所以45=2A£=2,

设AABC的外接圆半径为R,则由正弦定理得

AB-^^=2R

=2R,.n解得R=2,

sinCsin—

6

所以S1=4乃

因为，E分别为A3.BC的中点，

所以。E〃AC,ED=-AC=\,

2

所以AOE尸外接圆的半径为I,

所以$2=1，

同理可得△%?/?外接圆的半径为3,则53=（，

54=4-

16564

故选：D

3.C

【分析】直接由题目所给数据总结规律，按照规律即可求解.

【详解】观察可知，等号右边的所有数中最大的数依次为1,5,II,19,满足

答案第2页，共7页

12,22+1,32+2,42+3,

由规律可知，25?的分解式中等号右边的所有数中最大的数为252+24=649.

故选：C.

4.B

【分析】利用二次函数的性质及递推关系得4,>0,然后作差4用-4,,可判断①，已知等

式变形为片=。向-勺，求出平方和可得②成立，利用简单的放缩可得

111__

--+--+-+：—>〃，可判断③，利用数学归纳法思想判断④.

]-q\-a2]一可

【详解】因为qM=a；+a“=（4+g）J：，若为[0,£],则

；・％+1-。〃=。；>。，；・°V为V2+1，①错误；

由已知a：=a“+i-a”，

4aaa

a：+a；H--卜a；=(a2—^)+(a3-a2)---卜(。”+1-。“)=n+\-\<\，②正确;

由a}efo,—及①得1-。〃<1，1<2,

111

，----+;----+-••+----->n,

]-4]—电1cin

显然对任意的正数匕，在在正整数S,使得〃2>。，此时

1111_

■j----+：----+■；----+•••+■;----->”成立，③正确；

1-«)1-«21~«3

⑴已知4<g成立，

(ii)假设%<>

又—L-+J-L=2〃+3

人5+1)2n+\n+2(〃+2)(〃+1)2

1

>--)

n+2

由数学归纳法思想得④错误.

故选：B.

5.B

【分析】根据给定条件，逐项分析判断即可作答.

【详解】对于A,若甲是主犯，则乙、丙都说真话，不符合题意，A不是;

答案第3页，共7页

对于B,若乙是主犯，则丙说真话，甲、乙、丁都说了假话，符合题意，B是；

对于C,若丙是主犯，则甲、乙、丁都说真话，不符合题意，C不是；

对于D,若丁是主犯，则乙、丙都说真话，不符合题意，D不是.

故选：B

6.2036

【分析】通过归纳得出数列的一个通项公式，然后求和.

【详解】容易发现q=7,%=15,生=31归纳可得故{%}的前10项和为

2+22+23+---+2'°-10=2"-2-10-2036.

故答案为：2036.

7.乙

【分析】因为四个命题中只有一个假命题，所以分别分析甲、乙、丙、丁其中一个是假命

题的情况即可得出答案.

【详解】若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，则x=3是方程/+以_万=0的一个根，由于

两根之和为4,则另一根为1,两根同号，与丙是真命题矛盾，不满足题意；

若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，则x=5是方程公+以一》=()的一个根，由于两根之和

为4,则该方程的另一根为-1,两根异号，满足题意；

若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，则方程x?+ar-Z)=0的两根为3和5,两根之和为8,

与丁是真命题矛盾，不满足题意；

若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，则方程V+◎->=()的两根为3和5,两根同号，与

丙是真命题矛盾，不满足题意.

综上所述，乙命题为假命题.

故答案为：乙.

8.{1,8,10,64}

【分析】根据运算规则逆向寻找结果即可.

【详解】若%=4,则q=8或1.

’3204=64

当出=8时，％=16,4,=1

5=4=10

当日=1时,%=2,%=4,《=8或1

综上M={1,8,10,64}.

答案第4页，共7页

故答案为：{1,8,10,64}

9.54M2+2n-l

【分析】由题意及图形可得：5.=2小(2〃-1)=4/—2”，列出不等式，求出不等式；由图

形求出前3次操作之后的回纹图共走的针数对应的关系式，进而归纳出第n次操作之后的

回纹图共走的针数对应的关系式.

【详解】由题意得：S„=2n-(2n-l)=4n2-2n,

n

令S“=4〃2-2"290,解得：n>5^n<--(舍去)，

2

故至少操作5次；

由图形可以看出，第1次操作之后的回纹图共走的针数为Ix2+2x2-1=5,

第2次操作之后的回纹图共走的针数为(1+2+3)X2+4X2-1=19,

第3次操作之后的回纹图共走的针数为(1+2+3+4+5)X2+6X2—1=41,

第n次操作之后的回纹图共走的针数为

(+2+3+―+2〃-1)X2+2〃X2-1=(2”“(；+2'FX2+4〃-1=4"2+2”-1

故答案为：5,4n2+2n—1

10.44-87

【分析】由题意推得第〃圈8〃个点对应的这8〃项的和为0,从而得”圈所有点对应的项的

和为0,判断出前22圈共有2024个数，可得邑。24=0,从而确定为024所在点的坐标为

(22,22),则可求得的必，再求得陶»23,即可求得Sw

【详解】由题意，第一圈从点(1，。)到点(？)共8个点，由对称性可知

$8=4+/+…+%=0；第二圈从点(2,1)到点(2,2)共16个点,由对称性可知

S24-S8=a9+a1()+-+a24=0,即邑4=0,以此类推，可得第〃圈8〃个点对应的这8〃项的

和为0,

S=0

即n圈所有点对应的项的和$8/史必=4,r+4„,

2

设4网在第"圈，则8+16+…+8%=3枚=4Z(k+l),

答案第5页，共7页

由此可知前22圈共有2024个数，故S2024=0,

则$2022=$2024一(生024+“2023),。2024所在点的坐标为(22,22),

贝a2024=22+22=44,

生山所在点的坐标为(21,22),则嗫3=21+22=43,

44+4387

故52022=$2024-(%)24+«2023)=0-C)=-

故答案为：44;-87

11.(1)表格中填写的数字见解析；

⑵义；

(3)分布列见解析，数学期望为14.

【分析】(1)根据“数字华容道”位置关于中间斜道(正方形的左上角到右下角)对称填写

数字作答.

(2)由(1)的结论，求出甲同学获得1积分的概率，再利用独立重复试验的概率公式计

算作答.

(3)求出X的所有可能值，再求出各个值对应的概率列出分布列，求出期望作答.

(1)

“数字华容道，，位置关于中间斜道(正方形的左上角到右下角)对称，则数字填写如图：

(2)

由(1)知，3阶华容道，最少移动次数不超过7的概率p=：=:，