2024届云南省昆明市官渡区官渡区第一中学高一数学第二学期期末综合测试模拟试题含解析

2024届云南省昆明市官渡区官渡区第一中学高一数学第二学期期末综合测试模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知等比数列满足,,则（）A． B． C． D．2．等比数列的前n项和为，已知，则A． B． C． D．3．在中，角所对的边分别为，若.且，则的值为（）A． B．C． D．或4．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（）A． B．C． D．5．如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是（）A． B． C． D．与a的值有关联6．过点且与圆相切的直线方程为（）A． B．或C．或 D．或7．已知，，，则（）A． B． C． D．8．已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=A．（–1，1） B．（1，2） C．（–1，+∞） D．（1，+∞）9．已知2弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所对的弦长是（）A． B． C． D．10．给出函数为常数，且，，无论a取何值，函数恒过定点P，则P的坐标是A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．如图，在正方体中，点是线段上的动点，则直线与平面所成的最大角的余弦值为________.12．已知实数满足，则的最大值为_______．13．某住宅小区有居民万户，从中随机抽取户，调查是否安装宽带，调查结果如下表所示：宽带租户业主已安装未安装则该小区已安装宽带的居民估计有______户．14．已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则_______.15．在四面体中，平面ABC，，若四面体ABCD的外接球的表面积为，则四面体ABCD的体积为_______．16．若把写成的形式，则______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．求函数的最大值18．如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为nmile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离．19．已知数列和满足：，，，，且是以q为公比的等比数列．（1）求证：；（2）若，试判断是否为等比数列，并说明理由．（3）求和：．20．已知等差数列满足，且.（1）求数列的通项；（2）求数列的前项和的最大值.21．设向量，，令函数，若函数的部分图象如图所示，且点的坐标为.（1）求点的坐标；（2）求函数的单调增区间及对称轴方程；（3）若把方程的正实根从小到大依次排列为，求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】试题分析：由题意可得,所以,故,选C.考点：本题主要考查等比数列性质及基本运算.2、A【解题分析】设公比为q,则，选A.3、D【解题分析】

首先根据余弦定理，得到或.再分别计算即可.【题目详解】因为，所以，即：，解得：或.当时，.当时，.所以或.故选：D【题目点拨】本题主要考查余弦定理解三角形，熟记公式为解题的关键，属于中档题.4、D【解题分析】

将本题转化为直线与半圆的交点问题，数形结合，求出的取值范围【题目详解】将曲线的方程化简为即表示以为圆心，以2为半径的一个半圆，如图所示：由圆心到直线的距离等于半径2，可得：解得或结合图象可得故选D【题目点拨】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了转化能力，在解题时运用点到直线的距离公式来计算，数形结合求出结果，本题属于中档题5、C【解题分析】试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为．考点：几何概型，圆的面积公式．6、C【解题分析】

分别考虑斜率存在和不存在两种情况得到答案.【题目详解】如图所示：当斜率不存在时：当斜率存在时：设故答案选C【题目点拨】本题考查了圆的切线问题，忽略掉斜率不存在是容易发生的错误.7、C【解题分析】

利用指数函数、对数函数的单调性即可求解.【题目详解】为减函数，，为增函数，，为增函数，，所以，故.故选：C【题目点拨】本题考查了指数函数、对数函数的单调性比较指数式、对数式的大小，属于基础题.8、C【解题分析】

根据并集的求法直接求出结果.【题目详解】∵，∴，故选C.【题目点拨】考查并集的求法，属于基础题.9、D【解题分析】

由弧长公式求出圆半径，再在直角三角形中求解．【题目详解】，如图，设是中点，则，，，∴．故选D．【题目点拨】本题考查扇形弧长公式，在求弦长时，常在直角三角形中求解．10、D【解题分析】试题分析：因为恒过定点，所以函数恒过定点.故选D.考点：指数函数的性质.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

作的中心，可知平面，所以直线与平面所成角为，当在中点时，最大，求出即可。【题目详解】设正方体的边长为1，连接，由于为正方体，所以为正四面体，棱长为，为等边三角形，作的中心，连接，，由于为正四面体，为的中心，所以平面，所以为直线与平面所成角，则当在中点时，最大，当在中点时，由于为正四面体，棱长为，等边三角形，为的中心，所以，，所以直线与平面所成的最大角的余弦值为故直线与平面所成的最大角的余弦值为故答案为【题目点拨】本题考查线面所成角，解题的关键是确定当在中点时，最大，考查学生的空间想象能力以及计算能力。12、【解题分析】

根据约束条件，画出可行域，目标函数可以看成是可行域内的点和的连线的斜率，从而找到最大值时的最优解，得到最大值.【题目详解】根据约束条件可以画出可行域，如下图阴影部分所示，目标函数可以看成是可行域内的点和的连线的斜率，因此可得，当在点时，斜率最大联立，得即所以此时斜率为，故答案为.【题目点拨】本题考查简单线性规划问题，求目标函数为分式的形式，关键是要对分式形式的转化，属于中档题.13、【解题分析】

计算出抽样中已安装宽带的用户比例，乘以总人数，求得小区已安装宽带的居民数.【题目详解】抽样中已安装宽带的用户比例为，故小区已安装宽带的居民有户.【题目点拨】本小题主要考查用样本估计总体，考查频率的计算，属于基础题.14、【解题分析】

联立直线的方程和圆的方程，求得两点的坐标，根据点斜式求得直线的方程，进而求得两点的坐标，由此求得的长.【题目详解】由解得，直线的斜率为，所以直线的斜率为，所以，令，得，所以.故答案为4【题目点拨】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查相互垂直的两条直线斜率的关系，考查直线的点斜式方程，属于中档题.15、【解题分析】

设,再根据外接球的直径与和底面外接圆的一条直径构成直角三角形求解进而求得体积即可.【题目详解】设,底面外接圆直径为.易得底面是边长为3的等边三角形.则由正弦定理得.又外接球的直径与和底面外接圆的一条直径构成直角三角形有.又外接球的表面积为,即.解得.故四面体体积为.故答案为：【题目点拨】本题主要考查了侧棱垂直于底面的四面体的外接球问题.需要根据题意建立底面三角形外接圆的直径和三棱锥的高与外接球直径的关系再求解.属于中档题.16、【解题分析】

将角度化成弧度，再用象限角的表示方法求解即可．【题目详解】解：．故答案为：．【题目点拨】本题考查弧度与角度的互化，象限角的表示，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、最大值为5【解题分析】

本题首先可以根据同角三角函数关系以及配方将函数化简为，然后根据即可得出函数的最大值．【题目详解】，因为，所以当时，即，函数最大，令，，故最大值为．【题目点拨】本题考查同角三角函数关系以及一元二次函数的相关性质，考查的公式为，考查计算能力，体现了综合性，是中档题．18、（1）24；（2）8【解题分析】

（1）利用已知条件，利用正弦定理求得AD的长．（2）在△ADC中由余弦定理可求得CD，答案可得．【题目详解】(1)在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45°由正弦定理得(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AD•ACcos30°，解得CD=．所以A处与D处之间的距离为24nmile，灯塔C与D处之间的距离为nmile．【题目点拨】点睛：解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.19、（1）证明见解析（2）是等比数列，详见解析（3）答案不唯一，具体见解析【解题分析】

（1）由即可证明；（2）证明即可（3）由（1）可知，是以为公比的等比数列，也是以为公比的等比数列，讨论和分组求和即可【题目详解】（1）因为，且是以q为公比的等比数列，所以，则，所以.（2）是等比数列因为；所以，又所以是以5为首项，为公比的等比数列．（3）由（1）可知，是以为公比的等比数列，也是以为公比的等比数列，所以当时，，当时.【题目点拨】本题考查等比数列的证明，分组求和，考查推理计算及分类讨论思想，是中档题20、（1）（2）144【解题分析】

（1）把带入通项式即可求出公差，从而求出通项。（2）根据（1）的结果以及等差数列前项和公式即可。【题目详解】（1）设公差为，则则则（2）由等差数列求和公式得则所以当时，有最大值144【题目点拨】本题主要考查了等差数列的通项以及等差数列的前和公式，属于基础题21、(1)(2)单调递增区间为；对称轴方程为，；(3)14800【解题分析】

（1）先求出，令求出点B的坐标；（2）利用复合函数的单