考场仿真卷05-2021年高考数学模拟考场仿真演练卷（山东专用）（解析版）

绝密★启用前

2021年高考数学模拟考场仿真演练卷（山东专用）

第五模拟

本试卷共23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.（2021・湖北武汉市•华中师大一附中高三月考）设集合A={XY-2x—3<0},fi={x|log2x>l}）则

AU8=（）

A.（-1,2）B.（-1,3）

C.（2,3）D.（-1,+8）

【答案】D

【解析】由f一2%—3<0得（x+D（x-3）<0,则有-l<x<3,

.1.A={x|-l<x<3},

Vlog,x在（0,+00）上单调递增,则log2X>1。log,x>log22。X>2,

B={x|x>2},如图，

观察数轴得AU8={x|x>-l}=（-l,+8）.故选：D

2.（2021・宁夏大学附属中学高三期中）欧拉恒等式：3"+1=0被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”.该等

式将数学中几个重要的数：自然对数的底数外圆周率乃、虚数单位人自然数1和0完美地结合在一起，它是

由欧拉公式：6诂=<：05。+15皿。（。€11）令。=〃得到的根据欧拉公式，媳在复平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】令ei"=cose+isine（6eR）中6=2得：

e2i=cos2+isin2.所以e"在复平面内对应的点为（cos2,sin2）

因为cos2<0,sin2>0,

所以e*在复平面内对应的点在第二象限.故选：B

3.（2020.福建宁德市.高三一模）十二生肖作为中国民俗文化的代表，是中国传统文化的精髓，很多人把生

肖作为春节的吉祥物，以此来表达对新年的祝福.某课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型（如图），并在

十二个面分别雕刻了十二生肖的图案，作为春节的吉祥物.2021年春节前，其中2个兴趣小组成员将模型随

机抛出，希望能抛出牛的图案朝上（即牛的图案在最上面），2人各抛一次，则恰好出现一次牛的图案朝上

的概率为（）

【答案】C

【解析】因为1人抛一次抛出牛的图案朝上的概率是」

12

所以2人各抛一次，则恰好出现一次牛的图案朝上的概率为尸=C；x」-xU=U,故选：c.

'121272

4.（2021.安徽省肥东县第二中学高二月考）已知2及2均为单位向量，且£+23=2"，则7"=（）

11cl1

A.---B.---C.-D.——

2442

【答案】c

【解析】由伍+25）2=（2打得/+宕+4a-^=4c2

因为以员工均为单位向量,则问=W=W=1,所以G石=2,

又Z=g（£+2B）,所以4・。=；4・（〃+2区）=3（〃2+2〃石）=；（1一；）=；故选：C.

5.（2020.潍坊市潍城区教育局高三月考）函数f（x）=sinxcosx+＞/3cos2x的图象的一条对称轴为（）

K717171

A.x——B.x——C.X=—D.x=一

12632

【答案】A

【解析】f（J；）=sinj;cosx+43cos2x=sin2x+\/3•+C°S=sin2x+yJ+-^

令2x4———Fkjr,左eZ,解得x=---1--->kGZ,

32122

则可得x=q是的一条对称轴.故选：A.

6.（2021.北京高三朝阳区高三模拟）如图为陕西博物馆收藏的国宝一唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内

收，玲珑娇羡，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线

22

。:=-==1（。＞0力＞0）的右支与直线元=0,y=4,y=-2围成的曲边四边形ABMN绕y旋转一周得到

a~b~

的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为约叵，下底外直径为2叵，则下列曲线中与双曲线c共

33

渐近线的是（）

【答案】A

【解析】依题意可知"（手,4）,N（岑，一2）

将“、N的坐标分别代入今_z=1,

2516,

O2~~L2-1

得;;4'解得/=3，〃=9，

22

所以双曲线C的方程为：；_看_=1,其渐近线为y=±"r,

对于A,其渐近线为旷=±百%,符合题意，

对于B,—-^-=1,其渐近线为y=±立％,不符合题意，

933

对于C,21_%2=1，其渐近线为y=±2x,不符合题意，

4

22

对于D,《_卷=1,其渐近线为y=±及x，不符合题意.

故选：A

7.（2021・辽宁朝阳•高三月考）某班45名学生参加“3・12”植树节活动，每位学生都参加除草、植树两项劳动.

依据劳动表现，评定为“优秀”、”合格”2个等级，结果如下表：

等级

优秀合格合计

项目

除草301545

植树202545

若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（）

A.5B.10C.15D.20

【答案】C

【解析】用集合A表示除草优秀的学牛，8表示椿树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则gA表示除

草合格的学生，则许8表示植树合格的学生，作出Venn图，如图,

设两个项目都优秀的人数为X,两个项目都是合格的人数为y,由图可得20-X+X+30-X+y=45,

X=y+5,因为ymax=l°，所以Xmax=10+5=15.

故选：C.

8.(2021•河南高三月考(文))a\na>b\nb>c\nc=\,贝U()

A.?+c\na>ec+,>\nb>e(,+b\ncB.ec+a\nb>eb+c\na>ea+b\nc

C.\nc>ec+a\nh>eb+tInaD.ea+b]nc>eh+<\na>ec+a\nh

【答案】C

【解析】令f(x)=xlnx,则/'(x)=l+lnx

当0<x<1时，/(幻<0,当x>1时，/V)>0

ee

,1,

人/、Inx.—Inx

令g(x)=m’则g'(x)="^

e

由于函数丁=!一111%在（0,+°。）上单调递减，lnc=2，--lnc=———=0

X

则——Inx=0在(0,+8)上有唯一解c,故=0在(0,+8)上有唯一解c

X

即当x>c时，g'(x)v0,则函数g(x)在(c,+8)上单调递减

ur/、/I、/、口「InaIn/?Inc

即g(a)<g(")<g(c)，BP—<-^<—

ehIna<eaInb,ec\nb<ehInc

eh+c\na<ea+cInb,ea+c\nb<e%Incneb+c\na<ea+c\nb<eh+cInc

故选：C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9.（2020・陕西榆林十二中高三月考（理））已知数列｛4｝是等比数列，下列结论正确的为（）

A.若4a2>0，则。2。3>。B.若q+〃3<0，则6+。2<0

C.若%>%>。，则4+%>2/D.若4。2<。，则（%—4）（4一%）<0

【答案】AC

【解析】对于A项,a｝a2=a^q>Of得9>0,・二生田=4V>。，故A正确;

对于B项，当q二（—2）〃时，4+%=-2-8=-10<0,但。|+%=-2+4=2>0,故B错误；

（i2\

对于C项，%>4>°，,4>1，,.,〃]+%=q（1+疗）=2q----,2a2=2axq

I2/

2

（1—（y）=l+q2—2q>0n>q>即4+q>2a2,故C正确；

对于D项，当q=（一2广|时，4生二lx（-2）<0,但-q）（%一%）=-2-4）=18>0,故

D错误；故选：AC

10.（2021•重庆市万州第二高级中学高三月考）已知函数/（x）=Jp14（aeR）,则y=/（x）的大致图

象可能为（）

B.

【答案】ABD

【解析】/（-X）=J/—4=/（尤）,即函数/（X）是偶函数

当a<0时，函数/（x）=拒二W（aeR）在区间（-℃,0）上单调递减，在区间（0,+o。）上单调递增，且

/（0）=而［〉0,故D正确；

当a=0时，/（x）=小［=国=<'<0,故A正确；

当。>0时，函数/（x）=eR）在区间（-8,-a）,（0,a）上单调递减，在区间（一。,0）,（。,田）

上单调递增，且/（a）=/（—a）=0,故B正确；故选：ABD

11.（2020•江苏金陵中学高三月考）“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三

角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：I,1,2,3,5,8,13....

贝IJ（）

力:”

十二2二才

才d”

;41

J。/，。1051

1.’615201561

A.在第9条斜线上，各数之和为55

B.在第”（九.5）条斜线上，各数自左往右先增大后减小

C.在第〃条斜线上，共有如1二（二D”个数

4

D.在第11条斜线上，最大的数是C；

【答案】BCD

【解析】从上往下每条线上各数之和依次为：1,1,2,3,5,8,13,…,

其规律是q+。向q?+2»

所以第9条斜线上各数之和为13+21=34,故A错误;

第1条斜线上的数：Co'

第2条斜线上的数：C\-

第3条斜线上的数：

第4条斜线上的数：

第5条斜线上的数：C：,C",

第6条斜线的数：C：；，C：,C：，

依此规律，第〃条斜线上的数为：C：T，C：_2,Cj，CL，…,

在第11条斜线上的数为最大的数是C；,

由上面的规律可知：〃为奇数时，第〃条斜线上共有亨个数；

n为偶数时，第n条斜线上共有共有1=华个数，

所以第n条斜线上共2〃+1-（T）“，故C正确；

4

由上述每条斜线的变化规律可知：在第〃（几.5）条斜线上，各数自左往右先增大后减小，故B正确;

故选：BCD

12.（2021・山师附中高三月考）如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB（A为塔顶，8为塔底）的高

度，选取与B在同一水平面内的两点C与£）（B,C,。不在同一直线上），测得C£>=S.测绘兴趣小组利用

测角仪可测得的角有：NACB,ZACD,/BCD,ZADB,ZADC,ZBDC,则根据下列各组中的测量数据可

计算出塔A3的高度的是（）

A.s,ZACB,NBCD,NBDCB.s,NACB/BCD,NACD

C.5,ZACB,ZACD,ZADCD.5,ZACB,ZBCD,ZADC

【答案】ACD

【解析】解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长.

A.在DCBO中，已知可以解这个•:角形得到BC，再利用NAC8、BC解直角口ABC

得到AB的值；

B.在口。班）中，已知s,N8C£>,无法解出此三角形，在「C4D中，已知s,NAC£>,无法解出此三角形，也

无法通过其它三角形求出它的其它几何元素，所以它不能计算出塔A8的高度；

C.在八4。£>中，已知s,NACO,NAT>C,可以解△AC。得到AC,再利用NACB、AC解直角□ABC得

到AB的值；

D.

如图，过点8作BE_LCD,连接AE.

CRCFCF

由于cosNACB=——，cos/BCD=—,cosZACE=—,

ACBCAC

所以cosZACE=cosZACBTfcosZBCD,所以可以求出ZACD的大小，

在"CD中，已知NAC£>,NA£>C,S可以求出AC,再利用NACB、AC解直角□ABC得到A3的值.

故选：ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（2021・雅礼中学高三模拟）己知随机变量X~N（2,b2）,p（x>0）=0.9,则

P(2<X„4)=.

【答案】0.4

【解析】•.•随机变量X服从正态分布N(2,cr2),

,正态曲线的对称轴是x=2，

.-.P(X..2)=0.5,

又,:P{x>0)=0.9,

P(0<X<2)=P(2<X<4)=0.9-0.5=0.4.

故答案为：0.4.

14.(2020•云南曲靖一中高三模拟)能使“函数/(%)=》上一1|在区间/上不是单调函数，且在区间/上的

函数值的集合为[0,2].”是真命题的一个区间/为.

【答案】答案不唯一，只要/=[a,2],OWaWl或/OWb<l的均正确.

【解析】当了却时，/(x)=x(x-l)=x2-x；当％<1时，/(x)=x(l-%)=-x2+x；

・・・/(X)在(1,+8)上单调递增，在忤1)上单调递减；

令/(x)=0,解得：X=1或x=o；令/(x)=2,解得：x=2：

二只需/=[a,2],OWaKl或/=(仇2],0«b<l时，f(x)在/上不单调且函数值的集合为[0,2],

故答案为：答案不唯一，只要/=[a,2],OWa<l或/=OVh<l的均正确.

22

15.(2021•山东青岛市•高三期末)己知椭圆£:=+与=l(a〉/?>0)的右顶点为P,右焦点F与抛物线C2

a~b"

的焦点重合，。2的顶点与G的中心。重合.若G与相交于点A,B,且四边形加有为菱形，则C1的

离心率为.

【答案】g

【解析】

所以8ac=3/=3(/_c2),3c2+Sac-3a2=0,

所以3e2+8e-3=0，

所以(3e-l)(e+3)=0,

因为0<e<l，

所以e=—.故答案为：一

33

16.(2021•山东淄博高三模拟)在三棱锥尸一ABC中，AB1BC,4c=8,点P至U底面ABC的距离为

7.若点尸，A,B,C均在一个半径为5的球面上，则PA?++尸。2的最小值为

【答案】198

【解析】如图，DABC的外心是AC中点01,点尸到底面ABC的距离为7,设尸所在截面圆的圆心为。2,

此截面与平面A8C平行，球心。在OQ上，

2222

OOt=SJR-OC=V5-4=3-。。2=。02-。。=7-3=4,则厂=&P=柝=3^=3，

设尸在平面ABC上的射影为。，则。在以。|为圆心，3为半径的圆，因为PQJ■平面ABC,所以PQ与

平面A8C内所有直线都垂直，R2=7,

所以PA2+PB2+PC2=PQ?+QA2+PQ2+QB2+PQ1+QC2=QA1+QB2+QC2+147.

加+。82+。。2=（西+平）2+（西+印）2+（西+西2

「2一2?「2,,,____,

=3Q。]+01A+0、B+℃+2Q。]•aA+2QO]•QB+2QO]•0]C

=27+16+16+16+2西（9+配）+2西•印

=75+2西.印.

当西，用反向时，西豆取得最小值—12，

所以尸发+PB2+PC2的最小值为147+75-2x12=198.

故答案为：198.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)

(JI

(2020•广东潮州市•高三期末)己知函数/(x)=Msin(ox+<p)\M>O,co>0,--<^<—I的部分图象如

(2)在口43。中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,若〃=〃、，求/(⑶的取值范围.

【解析】(1)由图知"=2,

T1\TI5TT兀

212122

.丁2万。

•・1=71、CD----=2.

T

2x1f+9=5+2&»(％eZ),

「冗7C

又——<(p<一,

22

・式

,.(p=—

3、

/(x)=2sinf2x-y

+C/?2acac

(2)•••cosB=——->~=1,当且仅当a=c取“=”,

lac2ac2

,:BG(O,7T),

A呜

7171

33

/./(5)=2sin^2S-|je(-V3,V3].

18.(12分)

(2020•山东泰安高三模拟)已知数列｛/｝的前〃项和为S”,S"+[=4a”,“eN”,且q=4.

(1)证明：｛。角―2。,,｝是等比数列，并求｛4｝的通项公式:

(2)在①a=a,m-勺；②/=log,&；③-这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加

n4,+4

以解答.

已知数列｛々J满足,求｛2｝的前"项和T1t.

注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.

【答案】(1)证明见解析，。“=(〃+1>2"；(2)答案见解析.

【解析】（1）当”..2时，因为S"+|=4a„,所以S„=4a“T,两式相减得，a„+l=4«„.

所以《用-2a“=2(a“-2q”J.

当〃=1时,，因为S“+i=4a“，所以S2=4q,又q=4,故%=12,于•是。2-2%=4,

所以｛a,小一2%｝是以4为首项2为公比的等比数歹U.

所以%-2&=2e，两边除以*得，爵—去=L

又2=2,所以是以2为首项I为公差的等差数列.

2

所以3=〃+1,即％=(〃+1>2".

(2)若选①：bn=an+1-an,即2=(〃+2>2"M—(〃+l>2"=(〃+3>2".

因为7；=4x2i+5x2?+6x23+…+5+3)x2",

所以27；=4x2?+5x2,+6x2,+…+(〃+3)x2"”.

两式相减得，_工,=4x2'+仅2+23+…+2")-(“+3)X2"T

=8+—------—(〃+3)x2,,+|

2-1

=-(n+2)x2n+1+4

所以7；=5+2)乂2N一4.

若选②：bn=log,%,即bn=log2生已,，〃+1

+log22=log)-----vn.

nn~n

所以T.=回2g?|+…+1唱最

+(1+2+…+ri)

23n+1(1+〃)〃

log—X—X•••X---------

212n2

1/i\(1+〃)〃

log2(/i+l)+---

1

若选③：即d二&M-乜=/-——-

anan+\。〃+1%Ian。〃+1>

所以7；=4-——-+4-——-U-..+4----—

<a2)I。2。3JIan。"+1?

4(〃+2)2向

（〃+2）2"T.

19.（12分）

（2021•山东省济南市莱芜第一中学高三月考）如图，在三棱台ABC-A4G中，ACVA.B,。是的

中点，A。，平面ABC.

（1）求证：ACA.BC；

（2）若40=1,4?=2，§,8。=44=2,求二面角片—BC-A的大小.

【解析】（1）因为AOJ_平面ABC,ACu平面ABC,

所以A。，AC.

又因为AC_LA|B,A3CAO=4，ABu平面ABO,40u平面ABO,

所以ACL平面A3。，

又因为8。u平面A3。，所以ACL3C；

（2）以O为坐标原点，与C4平行的直线为X轴，08所在直线为y轴，。4所在直线为Z轴，建立如所示

的空间直角坐标系。-盯z,

则(?((),(),())，A(2V3,-1,O),8(0,1,0),4(0,0,1).

_.UlBl厂________►

所以。8=(0,1,0),AB=(-2百,2,0)，04,=(0,0,1),于是AB=4.

由ABC-AgG是三棱台，所以AB//A|A.

又因为4耳=2所以福=；丽=（—6,1,0）.

所以西=函+嵇'=（-6,1,1）.

设平面B8]C[C的法向量〃=（x,y,z）,

[n-OB=0fy=o

由——得《厂

[n-OB{-0[-\J3x+y+z=0

取x=l,则y=0，Z=G，即5=（l,0,百）.

因为。A，平面ABC，所以平面ABC的法向量为函=（0,0,1）.

-n-OA.1x0+0x0+73x1百

所plCOS<H,OA,>=----，」=/————=——

内•阿7I2+O2+（^）2x7o2+o2+i22，

577

因为二面角B,-BC-A为钝二面角，所以二面角B.-BC-A的大小是丁.

6

20.（12分）

（2021•湖南广益实验中学高三一模）甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队

先胜3局即获胜，比赛结束）.比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3:0或3:1取胜的球队积

3分，负队积。分；以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为g.

（1）甲、乙两队比赛1场后，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望;

（2）甲、乙两队比赛2场后，求两队积分相等的概率.

【解析】（1）依题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,且

P(X=O)=

P(X=1)=C；

16

尸(X=2)=C：

81

P(X=3)=C15

327

所以X的概率分布列为

X0123

81616

P

9818127

…、八1,8c16c16184

所以E(X)—Ox—F1xF2x---F3x—=-----

981812781

（2）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件4.

设第，・场甲、乙两队积分分别为X”K，则K=3—X-i=l,2.

因为两队积分相等，所以*1+乂2=丫|+丫2，

即X1+X2=（3—Xj+（3—X?）,所以X1+X2=3.

所以尸（A）=P（X1=O）P（X2=3）+尸（X=l）尸（X2=2）

+P（X,=2）P（X2=1）+P（X,=3）P（X2=0）

116816168161

=-X---1---X----1---X---1---X—

92781818181279

1120

-6561

答：甲、乙比赛两场后，两队积分相等的概率为粤.

6561

21.(12分)

（2021•曲靖市民族中学高三模拟）己知椭圆。：鸟+，=1（4＞人＞0）经过点“（0,3）,离心率为手.

（1）求C的方程；

（2）直线/：y=Ax-l与椭圆C交于两点.

①判断ZAMB是否是定值并给出证明：

②求附川.|阴的最大值.

*=1

【解析】（1）由已知得：＜222，解得：a=3日b=3,

c_a-b_1

、/一一一万

22

•••椭圆C的方程为:—+^-=1.

189

\22

（2）①由789一得：（242+1卜2―4日一16=0,

y=kx-\

设A（X，y）,B（冷%），则=X'X2=^7T7

乙K十1+1

•：MA-MB=+（X-3）（%-3）=X,X2+（依-4）（3-4）

/,、，、-16俏+i）4Z

=（A2+1）%%4%（玉+x?）+16=——\——L—4kx—+16=0,

I71'—〃2公+12k2+\

即NAMB=90°，为定值;

②设d为点M到直线/的距离，故

2

4k、一,-164］（1+-）（9/+4）

（I+公）-4x—----

22公+1

2k+1,2/C2+1

16也E+4

：.\MA\-\MB\=

2k2+1

则4HMM=16,以_

设2/+1=的1，

vje(O,l],.1.|M4|-|MB|<32(当;=1,即Z=0时等号成立),

.•.|M4HM耳的最大值为32.

22.(12分)

(2021・湖北武汉市•华中师大一附中高三月考)已知函数/(x)=e“'(lnx+1)(。eR),f'(x)为/(x)的导数.

(1)设函数g(x)=£^,求g(x)的单调区间；

e"“

(2)若/(x)有两个极值点西,%2(4<%2)，

①求实数〃的取值范围；

②证明：当“<2%时，/匈<工区.

&<乙匕XxX2

【解析】(1)依题意，/(X)的定义域为(0,+8),且g(x)=E3=ainx+a+‘,

eavx

…，