吉林省长春市19中2023年高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设机，“为直线，a、夕为平面，则加_La的一个充分条件可以是（）

A.a工B,aC\/3=n,m±nB.a11(3,mL(3

C.a1。，m!tPD.〃ua,m_Ln

2.已知%万满足同=2百，忖=3,五5=一6,则口在B上的投影为（）

A.-2B.-1C.-3D.2

3.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）

inl；s=0,t=6}-y8'[>2015L砌

查

4032201520162015

A.-----B.-----C.D.-----

2017201620171008

4.在AABC中，“cosAccost”是“sinA>sin8”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知复数二满足：zi=3+4i（i为虚数单位），贝!!）=（）

A.4+3/B.4-3«C.-4+3iD.-4-3/

6.已知命题p:x<2m+1，4：/一5》+6<0,且〃是4的必要不充分条件，则实数机的取值范围为（）

A.B.m>-C.m>\D.m>1

22

7.集合A={-2,-1,1},8={4,6,8},M={x|x=a+eaxG8},则集合〃的真子集的个数是

A.1个B.3个C.4个D.7个

8.设直线/的方程为x-2y+%=0（〃wR）,圆的方程为（x-l）2+（y-l）2=25,若直线/被圆所截得的弦长为2k，则

实数机的取值为

A.-9或HB.-7或11C.-7D.-9

9.执行下面的程序框图，则输出5的值为()

。I*

10.复数z=一i是虚数单位，则下列结论正确的是

1-1

31

A.|z|=V5B.z的共扼复数为二+一，

22

C.z的实部与虚部之和为1D.z在复平面内的对应点位于第一象限

X>[

，则立的取值范围为（）

H.已知实数x，y满足线性约束条件x+y>0

X

x-y+220

A.(-2,-1]B.(-1,4]C.[-2,4)D.[0,4]

12.已知.f(x+2)是偶函数，/(x)在(f，2]上单调递减，/(0)=0,贝|/(2—3幻>0的解集是

22

A.(-co,—)U(2,+8)B.(一，2)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

y>x

13.若实数x,y满足k+y26,则z=—2x+y的最小值为.

y<6

14.已知复数二满足但=i（i为虚数单位），则复数二的实部为.

Z

15.函数/（x）=«+log2（l—x）的定义域为.

3

16.在AABC中，角的对边分别为a,b,c,且c=2,2sinA=sinC.若B为钝角，cos2C=一一，则AABC

4

的面积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

F13]「一23]

17.（12分）已知矩阵4=21]]'且二阶矩阵时满足AM=B,求〃的特征值及属于各特征值的一个

特征向量.

18.(12分)在数列｛%,｝中,at=l,al+2a2+3ai+...+nan=-y-«„+I,〃eN*

(1)求数列｛为｝的通项公式；

(2)若存在〃eN*，使得4,W(〃+1)4成立，求实数2的最小值

19.(12分)已知。>。力>。,函数/(x)=k+a|+|2x-Z?|的最小值为1.

(1)证明：2a+h=2.

(2)若a+如之山。恒成立，求实数f的最大值.

20.(12分)如图，在四边形A3C。中，AB//CD,ZABD=30°,AB=2CD=2AD=2,OE_L平面A5CD,EFHBD,且

BD=2EF.

(I)求证：平面AZ)E_L平面BDEF；

(H)若二面角C—B尸一O的大小为60。，求C尸与平面ABC。所成角的正弦值.

21.(12分)已知函数/(x)=|x|+|x—

(1)当。=2时，求不等式/(x)<4的解集；

(2)若/(x)Nl对任意xeR成立，求实数”的取值范围.

22.(10分)已知抛物线C：y2=2px(p>0),直线y=与。交于A,3两点，且|的|=8.

(1)求。的值；

(2)如图，过原点。的直线/与抛物线C交于点与直线x=-l交于点“，过点"作)'轴的垂线交抛物线〃于

点N,证明：直线MN过定点.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

根据线面垂直的判断方法对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】

对于A选项，当a_L/?,夕门尸=〃，加_L〃时，由于机不在平面/内，故无法得出

对于B选项，由于二//夕，mLp,所以〃2J_a.故B选项正确.

对于C选项，当a，尸，机//力时，”可能含于平面a,故无法得出

对于D选项，当〃ua,/%J_〃时，无法得出加_La.

综上所述，加_La的一个充分条件是“a//尸，相，尸”

故选：B

【点睛】

本小题主要考查线面垂直的判断，考查充分必要条件的理解，属于基础题.

2.A

【解析】

根据向量投影的定义，即可求解.

【详解】

方在5上的投影为同C05。=背=/=一2.

故选:A

【点睛】

本题考查向量的投影，属于基础题.

3.D

【解析】

循环依次为s=1"=l,i=2;s=3,/=1+—,z'=3;s=6,f=----F—=4;…

336

直至1

t=i+—L+_!—+•..+,i=2016;结束循环，输出

1+21+2+31+2+---+2015

1

1H--------1------------F…d--------------------=2(1------1--------F•••+)

1+21+2+31+2+.-.+201522320152016

2015

=2(1--------)，选D.

20161008

点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环

结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问

题，是求和还是求项.

4.C

【解析】

由余弦函数的单调性找出cosA<cosB的等价条件为A>3,再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出

"cosA<cos3"是"sinA>sin3”的充分必要条件.

【详解】

•..余弦函数y=cosx在区间（0,乃）上单调递减，且0<A<〃，0<B<7T,

由cosA<cosB,可得A>3,由正弦定理可得sinA>sinB.

因此，“cosA<cos8"是"sinA>sin3”的充分必要条件.

故选：C.

【点睛】

本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力,

属于中等题.

5.A

【解析】

利用复数的乘法、除法运算求出乙再根据共扼复数的概念即可求解.

【详解】

3+4/3z-4

由zi=3+4i,则z===4—3i,

i-1

所以］=4+3i.

故选：A

【点睛】

本题考查了复数的四则运算、共轨复数的概念，属于基础题.

6.D

【解析】

求出命题4不等式的解为2<x<3,P是4的必要不充分条件，得夕是P的子集，建立不等式求解.

【详解】

解：Vp:x<2m+l,q:x2-5x+6<0,即：2cx<3,

?是4的必要不充分条件，

(2,3)c(-oo,2m+1,),

A2/?z+l>3,解得机21.实数〃？的取值范围为m2/.

故选：D.

【点睛】

本题考查根据充分、必要条件求参数范围，其思路方法：

⑴解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参

数的不等式(组)求解.

⑵求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验.

7.B

【解析】

由题意，结合集合A,8,求得集合M，得到集合M中元素的个数，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，集合A={-2,-1,1},8={4,6,8},xeA,

则A/={x|x=a+b,xwA,力G5工e3}={4,6},

所以集合M的真子集的个数为2?-1=3个，故选B.

【点睛】

本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解，其中作出集合的运算，得到集合M,再由真子集个数

的公式2"-1作出计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

8.A

【解析】

I—1I

圆(x-l)2+(y-])2=25的圆心坐标为(1,1),该圆心到直线/的距离d=结合弦长公式得

|-11

2J25-C『=2右，解得根=一9或加=11,故选A.

9.D

【解析】

根据框图，模拟程序运行，即可求出答案.

【详解】

运行程序，

s=(—l,i=2,

121.

s=—H---1—,1=3o,

552

s=—I—I—I—I---1-------------,z=6,结束循环，

555552345

故输出s=-(1+2+3+4+5)—|1H---1---1---1—|=3--------,

5L2345)6060

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题.

10.D

【解析】

13

利用复数的四则运算，求得z=一+二i,在根据复数的模，复数与共辗复数的概念等即可得到结论.

22

【详解】

2+i(2+i)(l+i)_l+3i_13.

由题意z(l-z)(l+z)-1-z2~2+2l

复数z的实部与虚部之和为2，z在复平面内对应点位于第一象限，故选D.

【点睛】

复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似

于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数

a+初(a,beR)的实部为虚部为匕、模为后TP"、对应点为(。,⑨、共匏为。一次.

11.B

【解析】

作出可行域，史［表示可行域内点P(x,y)与定点Q(0,-1)连线斜率，观察可行域可得最小值.

X

【详解】

作出可行域，如图阴影部分(含边界)，山表示可行域内点P(x,y)与定点Q(O,-1)连线斜率，A(l,3),

X

女必=±口=4,过。与直线x+y=°平行的直线斜率为一I,...一1〈的

1-0

故选：B.

【点睛】

本题考查简单的非线性规划.解题关键是理解非线性目标函数的几何意义，本题也表示动点P(x,y)与定点

x

2(0-1)连线斜率，由直线与可行域的关系可得结论.

12.D

【解析】

先由/(x+2)是偶函数，得到/(x)关于直线x=2对称；进而得出f(x)单调性，再分另U讨论2-3x22和2-3*<2,

即可求出结果.

【详解】

因为/(x+2)是偶函数，所以/(X)关于直线x=2对称；

因此，由/(0)=0得/(4)=0；

又/(X)在(-O,2］上单调递减，则/(X)在［2,+8)上单调递增；

所以，当2—3xW2即xWO时，由/(2—3x)>0得/(2—3x)>/(4),所以2—3x>4,

..2

解得x<——；

3

当2—3x<2即x>0时，由/(2-3x)>0得/(2—3x)>/(0),所以2-3(<0,

解得工>彳；

3

因此，/(2-3x)>0的解集是(f,-；2)U(：2+oo).

33

【点睛】

本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题型.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.-6

【解析】

由约束条件先画出可行域，然后求目标函数的最小值.

【详解】

y=6

由约束条件先画出可行域，如图所示，由z=-2x+y,即y=2x+z,当平行线经过点A时z取到最小值，由「

可得A(6,6),此时z=-2x+y=-2*6+6=-6,所以z=-2x+y的最小值为-6.

故答案为-6.

【点睛】

本题考查了线性规划的知识，解题的一般步骤为先画出可行域，然后改写目标函数，结合图形求出最值，需要掌握解

题方法.

14.2

【解析】

利用复数的概念与复数的除法运算计算即可得到答案.

【详解】

z=—土=—=2—i,所以复数Z的实部为2.

ii

故答案为：2

【点睛】

本题考查复数的除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.

15.［0,1)

【解析】

根据函数成立的条件列不等式组,求解即可得定义域.

【详解】

x>0

解:要使函数有意义，则，八，

l-x>0

即0<x<l.则定义域为：［0,1).

故答案为：［0,1)

【点睛】

本题主要考查定义域的求解，要熟练掌握张建函数成立的条件.

3百

1fi0.-------

8

【解析】

转化2sinA=sinC为。=£,利用二倍角公式可求解得cosC,结合余弦定理/=/十从一勿〃cosC可得b,再利用

2

面积公式可得解.

【详解】

因为c=2,2sinA=sinC,

所以Q=；=1.

2

3

又因为cos2C=——,且。为锐角，

4

所以cosC=与in小虫.

44

由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,

即4=1+/—2bx也，解得〃=里,

42

LsincJxlx辿x亚3币

所以Sc

AB2224~T~

故答案为：之互

8

【点睛】

本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

一0一

17.特征值为1,特征向量为］.

【解析】

设出矩阵M结合矩阵运算和矩阵相等的条件可求矩阵M,然后利用=可求特征值的另一个特征向量.

【详解】

13\\abQ+3cZ?+3d-23

设矩阵M=,则AM=

ca21cd2a+c2b+d11

ci+3c=-2

A+3d=3，八，Fl0

所以,解得。=1,/?=0"=-1,〃=1,所以M=

2a+c=l-11

2b+d=\

则矩阵M的特征方程为/(%)=(4-1)2=。，解得2=1,即特征值为1,

JQ

设特征值4=1的特征向量为£=，则/2=42,

y

即.=,解得x=o,所以属于特征值的；1=1的一个特征向量为2=,

-x+y」1_＞」

【点睛】

本题主要考查矩阵的运算及特征量的求解，矩阵运算的关键是明确其运算规则，侧重考查数学运算的核心素养.

l,n=l

]_

18.(1)%=<2n-2；(2)

—x3,n>23

13

【解析】

得两式相减可得｛%｝是从第二项

⑴由4+2a2+3q+…+nan4+2%+3/+...+

开始的等比数列，由此即可求出答案;

⑵“(〃+l)2o促热,分类讨论，当心2时，念=消,作商法可得数列｛热

为递增数列,

由此可得答案,

【详解】

〃+1几

解:(1)因为4+2〃2+3%+..・+〃〃〃~-an+14+2生+34+…+5_=­。”，

加少如高组_n+1n(n+l)art+]_

两式相减得：几a”————。〃+1-77。〃9即—3,

22na„

・••｛也”｝是从第二项开始的等比数列,

:4=1,

。2=1，则〃=2x3”2,

1,〃=1

13

(2)an<(n+1)/1<=>A>

川+1

当〃=1时，—=—；

22

2x3”"

当鹿N2时一■

71+1

2x3〃<,/(»+1)3〃

设/(〃)=>1,.-./(〃)递增,

几(〃+1)'/(〃)71+2

•■/(»)min=/(2)=p

所以实数2的最小值

3

【点睛】

本题主要考查地推数列的应用，属于中档题.

9

19.(1)2；(2)-

2

【解析】

分析：⑴将/(%)=卜+。|+|2%-。|转化为分段函数，求函数的最小值

(2)分离参数，利用基本不等式证明即可.

详解：(I)证明：­/-«<-

2

-3x-a-^b,x<-a

，显然/(X)在卜8,-g］上单调递减，在+s)上单调递增,

/(x)=<-x+tz+/7,-tz<x<

..b

3x+a-b,x>—

所以/(X)的最小值为/(g)=a+g=

,即2a+b=2.

a+2b

(II)因为a+给之口力恒成立，所以2f恒成立,

ab

2a23b、9

+—>-

abba2ba2

当且仅当a=6=2时，丝”取得最小值2,

3ab2

所以，<三9，即实数/的最大值为9三.

22

点睛：本题主要考查含两个绝对值的函数的最值和不等式的应用，第二问恒成立问题分离参数，利用基本不等式求解

很关键，属于中档题.

20.(1)见解析(2)叵

11

【解析】

分析：(1)根据面面垂直的判定定理即可证明平面AOE_L平面BDEF,

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求CF与平面ABC。所成角的正弦值；也可以应用常规法，作出线面角,

放在三角形当中来求解.

详解：(I)在AA8O中，ZABD=30°,由4O2=A52+B02-2AB-BOCOS30。，

解得BO=J5，所以AB2+8Z)2=AB2,根据勾股定理得NAO5=9(r；.A0J_BO.

又因为£>E_L平面A5C£>,ADU平面ABC。，：.AD±DE.

又因为8Z)nOE=。，所以4O_L平面5OEF,又AOu平面A5CD,

二平面4OEJ_平面BDEF,

(II)方法一：

如图，由已知可得乙408=90，ZABD=30.贝！I

ZBDC=30.则三角形BCD为锐角为30。的等腰三角形.

CD=CB=1,则CG=L

2

过点C做CH//R4,交DB、AB于点G,H,则点G为点F在面ABCD上的投影.连接FG,则

CG1BD,ABCD,则CGL平面BZJE/7.

过G做G/_L3/于点L则BF,平面GC7,即角GC/为

二面角C-BF-D的平面角，则NGC/=60。.

i।

贝！|tan60=U,CG=—,则G/=—

CI22V3

,GI±BF,G/二赤，

在直角梯形BDEF中，G为BD中点,BD=8

设OE=x,则GF=x,S^^-BGGF^-BFGI,则。E=@

228

tanZFCG=—=—，贝Usin/FCG=晅，即CF与平面ABC。所成角的正弦值为叵.

GC41111

(II)方法二:

可知ZM、DB、OE两两垂直，以。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系。-町幺

1S.DE=h,则D(0,0,0),B(0,5,0),C(T，一鱼h).

■-李&

设平面BCF的法向量为m=(x,y,z),

-0.5x---y=0

m•BC=0一

则《—所以12取产J5，所以胆=（J5，-L—尊），

m-BF=0

———y+/iz=0

取平面BOE/的法向量为〃=(L0,0),

由kos(所，元)卜并{PCOS60,解得力=如，则0后=迈，

网例88

又亨■g思净，则。尸=殍，设。尸与平面ABCD所成角为0.

m~#V22屈

贝！]sm(£=---F---=----.

8811

故直线CF与平面ABCD所成角的正弦值为*

11

点睛：该题考查的是立体几何的有关问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定，线面角的正弦值，在求解的过程中，

需要把握面面垂直的判定定理的内容，要明白垂直关系直角的转化，在求线面角的有关量的时候，有两种方法，可以

应用常规法，也可以应用向量法.

21.(1){x|-l<x<3}(2)(F,T]U[1,+°0)

【解析】

(1)把a=2代入，利用零点分段讨论法求解；

(2)/(^)>1对任意xeR成立转化为求/(x)的最小值可得.

【详解】

解：(D当a=2时，不等式/(尤)<4可化为W+|x-2|<4.

讨论：

①当x<0时，-x—(x—2)<4,所以x>—1,所以—l<x<0；

②当0WxW2时，x-(x-2)<4,所以2<4,所以0«xV2；

③当x>2时，x+(x-2)<4,所以x<3,所以2cx<3.

综上，当a=2时，不等式/(力<4的解集为{x|-l<x<3}.

(2)因为卜一