湖南省衡阳市蒸湘区重点名校2022年中考数学四模试卷含解析

湖南省衡阳市蒸湘区重点名校2022年中考数学四模试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.一元二次方程mx^+mx--=0有两个相等实数根，则m的值为（）

2

A.0B.0或-2C.-2D.2

2.在下列四个新能源汽车车标的设计图中，属于中心对称图形的是（）

3.如图，是一个工件的三视图，则此工件的全面积是（）

96^cm2D.1207rcm2

4.如图，淇淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东60。的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50。的方向行驶来到C地,

C地恰好位于A地正东方向上，则（）

①B地在C地的北偏西50。方向上；

②A地在B地的北偏西30。方向上；

(3)cosZBAC=V

@ZACB=50°.其中错误的是（）

A.①②B.②④C.①③D.③④

5.已知抛物线y=x2-2mx-4（m>0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M，，若点M，在这条抛物线上，则点M的

坐标为（）

A.(1,-5)B.(3,-13)D.(4,-20)

6.式子而，在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A.x>-2C.x<-2D.x<-2

7.计算4+(-2)2X5=()

A.-16B.16C.20D.24

8.下列运算正确的是()

A.a3*a2=a6C.3也-273=73D.(a+2)(a-2)=a2+4

9.如图，函数y=-2x+2的图象分别与x轴，），轴交于A,8两点,点C在第一象限，AC±AB,AC=AB,则点C

的坐标为（）

A.(2,1)B.(1,2)C.(1,3)

22

10.如图，是一次函数y=kx+b与反比例函数y=一的图象，则关于x的不等式kx+b>—的解集为

A.x>lB.-2<x<l

C.-2VxV0或x>lD.x<-2

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.已知点P是线段A8的黄金分割点，PA>PB,A8=4cm,则以=cm.

12.已知数据XI,X2,…，Xn的平均数是无，则一组新数据Xl+8,X2+8,…,Xn+8的平均数是一,

13.AABC中，AB=15,AC=13,高4D=12,则AABC的周长为。

14.如图，已知点C为反比例函数y=-9上的一点，过点C向坐标轴引垂线，垂足分别为A、B,那么四边形40BC

的面积为.

15.如图，网格中的四个格点组成菱形ABCD,则tan/DBC的值为

16.已知扇形的圆心角为120。，弧长为6兀，则扇形的面积是.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）班级的课外活动，学生们都很积极.梁老师在某班对同学们进行了一次关于“我喜爱的体育项目”的调查，下

面是他通过收集数据后，绘制的两幅不完整的统计图.请根据图中的信息，解答下列问题:

调查了名学生；补全条形统计图；在扇形统计图

中，“乒乓球”部分所对应的圆心角度数为;学校将举办运动会，该班将推选5位同学参加乒乓球比赛，有3

位男同学（A,B,C）和2位女同学（D,E）,现准备从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男

一女组成混合双打组合的概率.

18.（8分）已知关于x的一元二次方程*2-（2/;j+3）x+m2+2=l.

（1）若方程有实数根，求实数，〃的取值范围；

（2）若方程两实数根分别为XI、X2,且满足。2+刈2=31+比4|,求实数机的值.

19.（8分）一件上衣，每件原价500元，第一次降价后，销售甚慢，于是再次进行大幅降价，第二次降价的百分率是

第一次降价的百分率的2倍，结果这批上衣以每件240元的价格迅速售出，求两次降价的百分率各是多少.

20.（8分）某商品的进价为每件50元.当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需“降价处理，且经市场调查:

每降价1元，每星期可多卖出20件.在确保盈利的前提下，解答下列问题：

（1）若设每件降价x元、每星期售出，商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围;

（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？

21.（8分）如图，在RSABC中，ZC=90°,BE平分NABC交AC于点E,点D在AB上，DE±EB.

（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；

（2）若AD=2、GAE=6,求EC的长.

22.（10分）“低碳生活，绿色出行”是我们倡导的一种生活方式，有关部门抽样调查了某单位员工上下班的交通方式,

绘制了如下统计图：

（1）填空：样本中的总人数为;开私家车的人数1«=；扇形统计图中“骑自行车”所在扇形的圆心角为

度；

（2）补全条形统计图；

（3）该单位共有2000人，积极践行这种生活方式，越来越多的人上下班由开私家车改为骑自行车.若步行，坐公交

车上下班的人数保持不变，问原来开私家车的人中至少有多少人改为骑自行车，才能使骑自行车的人数不低于开私家

车的人数？

23.（12分）如图，AB是OO的直径，点C是。O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D,直线DC与AB

的延长线相交于点P,弦CE平分NACB,交AB点F,连接BE.

（1）求证：AC平分NDAB；

（2）求证：PC=PF；

4

⑶若tanNABC=一，AB=14,求线段PC的长.

3

24.抛物线y=x2+bx+c经过点A、B、C,已知A(-1,0),C(0,-3).

求抛物线的解析式；如图1,抛物线顶点为E,EFJ_x轴于F

点，M(m,0)是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若NMNC=90。，请指出实数m的变化范围，并说明理由.如

图2,将抛物线平移，使其顶点E与原点O重合，直线y=kx+2(k>0)与抛物线相交于点P、Q(点P在左边)，过

点P作x轴平行线交抛物线于点H,当k发生改变时，请说明直线QH过定点，并求定点坐标.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1,C

【解析】

由方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0,求出m的值，经检验即可得到满足题意m的值.

【详解】

•.•一元二次方程mx'+mx-1=0有两个相等实数根，

2

••.△=加-4%x(--)=m[+ltn=0,

2

解得：/n=0或/九=-1,

经检验机=0不合题意，

则机=-1.

故选c

【点睛】

此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0,方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0,方程有两个相

等的实数根；根的判别式的值小于0,方程没有实数根.

2、D

【解析】

根据中心对称图形的概念求解.

【详解】

解：A.不是中心对称图形，本选项错误；

B.不是中心对称图形，本选项错误；

C.不是中心对称图形，本选项错误；

D.是中心对称图形，本选项正确.

故选D.

【点睛】

本题主要考查了中心对称图形的概念.中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

3、C

【解析】

先根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为12cm,高为8cm,再计算母线长为10,根据圆锥的侧面展开图为一扇形，

这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形半径等于圆锥的母线长计算圆锥的侧面积和底面积的和即可.

【详解】

圆锥的底面圆的直径为12cm,高为8cm,

所以圆锥的母线长=病诟=10,

所以此工件的全面积=兀・62+27r.6.10=96jr(cm2).

故答案选C.

【点睛】

本题考查的知识点是圆锥的面积及由三视图判断几何体，解题的关键是熟练的掌握圆锥的面积及由三视图判断几何体.

4、B

【解析】

先根据题意画出图形，再根据平行线的性质及方向角的描述方法解答即可.

【详解】

如图所示,

由题意可知，Nl=60°,Z4=50°,

Z5=Z4=50°,即B在C处的北偏西50。，故①正确;

VZ2=60°,

Z3+Z7=180°-60°=120°,即A在B处的北偏西120。,故②错误;

VZ1=Z2=6O°,

:.ZBAC=30°,

:.cosNBAC=^~,故③正确；

2

•••N6=90。-Z5=40°,即公路AC和BC的夹角是40°,故④错误.

本题考查的是方向角，平行线的性质，特殊角的三角函数值，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，再结

合平行线的性质求解.

5、C

【解析】

试题分析：y=f-2mr-4=(x-m)2-m2-4,•••点M(m,-n?-1),.,.点M，(-m,m2+l),.*.m2+2m2-l=m2+l.解

得m=±2.\'m>0,m=2,/.M(2,-8).故选C.

考点：二次函数的性质.

6、B

【解析】

根据二次根式有意义的条件可得x+220,再解不等式即可.

【详解】

解：由题意得：x+2>0,

解得：x>-2,

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数.

7、D

【解析】分析：根据有理数的乘方、乘法和加法可以解答本题.

详解:4+(-2)2x5

=4+4x5

=4+20

=24,

故选：D.

点睛：本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数的混合运算的计算方法.

8、C

【解析】

直接利用同底数塞的乘除运算法则、负指数塞的性质、二次根式的加减运算法则、平方差公式分别计算即可得出答案.

【详解】

A、a3«a2=as,故A选项错误；

B、a-2=±,故B选项错误；

a

c、3G-2百=百，故C选项正确；

D、(a+2)(a-2)=a2-4,故D选项错误，

故选C.

【点睛】

本题考查了同底数幕的乘除运算以及负指数幕的性质以及二次根式的加减运算、平方差公式，正确掌握相关运算法则

是解题关键.

9、D

【解析】

过点C作CD±x轴与D,如图，先利用一次函数图像上点的坐标特征确定B(0,2),A(1,0),再证明AABO^ACAD,

得到AD=OB=2,CD=AO=L则C点坐标可求.

【详解】

如图，过点C作CD_Lx轴与D/.•函数y=-2x+2的图象分别与x轴，y轴交于4,8两点，.•.当x=0时，y=2,则B

(0,2)；当y=0时，x=L贝I」A(1,0).•.,AC_LAB,AC=AB,NBAO+NCAD=90。，,NABO=NCAD.在△ABO

和4CAD中,，/.△ABO^ACAD,/.AD=OB=2,CD=OA=1,.\OD=OA4-AD=l+2=3,

...C点坐标为（3,1）.故选D.

【点睛】

本题主要考查一次函数的基本概念。角角边定理、全等三角形的性质以及一次函数的应用，熟练掌握相关知识点是解

答的关键.

10、C

【解析】

根据反比例函数与一次函数在同一坐标系内的图象可直接解答.

【详解】

92

观察图象，两函数图象的交点坐标为（1,2）,（-2,-1）,kx+b>—的解就是一次函数y=kx+b图象在反比例函数y=—

xx

的图象的上方的时候X的取值范围，

由图象可得：-2VxV0或x>l,

故选C.

【点睛】

本题考查的是反比例涵数与一次函数图象在同一坐标系中二者的图象之间的关系.一般这种类型的题不要计算反比

计算表达式，解不等式，直接从从图象上直接解答.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、275-2

【解析】

根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP=苴二1AB,代入运算即可.

2

【详解】

解：由于P为线段AB=4的黄金分割点，

且AP是较长线段；

贝!JAP=4x—-~1=2(6-1jcm,

故答案为：(275-2)cm.

【点睛】

此题考查了黄金分割的定义，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的I二1,难度一般.

2

12、x+8

【解析】

根据数据XI,X2,…，Xn的平均数为又=L(XI+X2+…+X„),即可求出数据X|+LX2+I,…，Xn+1的平均数.

n

【详解】

数据Xl+1,X2+1,...»Xn+1的平均数=一(X1+1+X2+1+…+Xn+1)=—(Xl+X2+...+X)+1=X+1.

nnn

故答案为又+1.

【点睛】

本题考查了平均数的概念，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.平均数是表示一组数据集中趋

势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标.

13、32或42

【解析】

根据题意，分两种情况讨论：①若NACB是锐角，②若NACB是钝角，分别画出图形，利用勾股定理，即可求解.

【详解】

分两种情况讨论：

①若NACB是锐角，如图1,

VAB=\5,AC=13,高45=12,

:.在RtAABD中，AD2+BD2=AB2>

即：BD=>JAB2-AD2=V152-122=9»

同理：CD=ylAC2-AD2=V132-122=5>

二AASC的周长=9+5+15+13=42,

②若NACB是钝角，如图2,

VAB=\5,AC=i3,高AD=12,

:.在RtAABD中，AD2+BD2=AB2>

即：BD=4AB2-AD2=^152-122=9.

同理：CD=>]AC2-AD2=V132-122=5*

.IAABC的周长=9-5+15+13=32,

故答案是：32或42.

【点睛】

本题主要考查勾股定理，根据题意，画出图形，分类进行计算，是解题的关键.

14、1

【解析】

解：由于点C为反比例函数丁=一9上的一点，

x

则四边形AOBC的面积S=|k|=l.

故答案为：1.

15、3

【解析】

试题分析：如图，连接AC与BD相交于点O,1,四边形ABCD是菱形，.•.ACLBD,BO=|BD,CO=；AC,由勾

股定理得，AC=J32+32=36,BD=Jr+'=夜,所以，BO=；x>/^=^E,CO=；X30=^~^,所以，

2222

3-72

co7

tanZDBC=——=一巨=3.故答案为3.

BOV2

V

考点：3.菱形的性质；3.解直角三角形；3.网格型.

16、277r

【解析】

2

试题分析：设扇形的半径为r.则1204r=6万，解得r=9,...扇形的面积=1"90匕^-x丝O=27兀故答案为277r.

180360

考点：扇形面积的计算.

三、解答题（共8题，共72分）

3

17、50见解析（3）115.2°（4）j

【解析】

试题分析：（1）用最喜欢篮球的人数除以它所占的百分比可得总共的学生数；

（2）用学生的总人数乘以各部分所占的百分比，可得最喜欢足球的人数和其他的人数，即可把条形统计图补充完整;

（3）根据圆心角的度数=360,它所占的百分比计算；

（4）列出树状图可知，共有20种等可能的结果，两名同学恰为一男一女的有12种情况，从而可求出答案.

解：（1）由题意可知该班的总人数=15+30%=50（名）

故答案为50；

（2）足球项目所占的人数=50xl8%=9（名）,所以其它项目所占人数=50-15-9-16=10（名）

50

故答案为115.2。；

（4）画树状图如图.

开始

由图可知，共有20种等可能的结果，两名同学恰为一男一女的有12种情况，

所以P（恰好选出一男一女）=4T=4.

205

点睛：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，概率的计算.读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息

及掌握概率的计算方法是解决问题的关键.

18、（1）m>----；（2）m=2.

12

【解析】

（1）利用判别式的意义得到（2m+3）2-4（小2+2）>1,然后解不等式即可；

（2）根据题意Xl+X2=2/n+3,XlX2=m2+2,由条件得©2+42=31+工1工2,再利用完全平方公式得（Xl+X2）2-3X1X2

-31=1,所以2//3）2-3（/2+2）-31=1,然后解关于/n的方程，最后利用〃，的范围确定满足条件的机的值.

【详解】

（1）根据题意得（2，〃+3）2-4（〃於+2）>1,

解得----；

12

=2

（2）根据题意xi+X2=2/n+3,xiX2fn+29

因为xiX2=m2+2>l,

所以X12+X22=31+X1X2,

即（X1+X2）2-3X1X2_31=1>

所以（2/n+3）2-3（/n2+2）-31=1,

2

整理得tn+12m-28=1,解得m\=-14,mi=l9

-1

Wni>----；

12

所以m=2.

【点睛】

_hc

本题考查了根与系数的关系：若"1,X2是一元二次方程〃/+加什C=1（存1）的两根时，玉+%=---,%电=—・灵活

aa

应用整体代入的方法计算.

19、40%

【解析】

先设第次降价的百分率是x,则第一次降价后的价格为500（1-x）元，第二次降价后的价格为500（l-2x）,根据两次

降价后的价格是240元建立方程，求出其解即可.

【详解】

第一次降价的百分率为x,则第二次降价的百分率为2x,

根据题意得：500(1-x)(1-2x)=240,

解得xi=0.2=20%,X2=1.3=130%.

则第一次降价的百分率为20%,第二次降价的百分率为40%.

【点睛】

本题考查了一元二次方程解实际问题，读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程，求出符合题的解即可.

20、(1)0大<20；⑵降价2.5元时，最大利润是6125元

【解析】

(1)根据“总利润=单件利润x销售量”列出函数解析式，由“确保盈利”可得x的取值范围.

(2)将所得函数解析式配方成顶点式可得最大值.

【详解】

(1)根据题意得y=(70-x-50)(300+20x)=-20x2+100x+6000,

V70-x-50>0,且x20,

.,.0<x<20.

(2)Vy=-20x2+100x+6000=-20(x-1)2+6125,

.•.当x=1■时，y取得最大值，最大值为6125,

答：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元.

【点睛】

本题考查的知识点是二次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握二次函数的应用.

21、(1)证明见解析；(2)1.

【解析】

试题分析：(1)取BD的中点0,连结OE,如图，由NBED=90。，根据圆周角定理可得BD为△BDE的外接圆的直径,

点。为4BDE的外接圆的圆心,再证明OE〃BC,得到NAEO=NC=90。,于是可根据切线的判定定理判断人(：是4BDE

的外接圆的切线；

22

(2)设。O的半径为r,根据勾股定理得6+r=(r+2v3)解得r=2、3,根据平行线分线段成比例定理，由OE〃BC

得三=三，然后根据比例性质可计算出EC.

试题解析：（1）证明：取BD的中点0,连结OE,如图,

VDEXEB,

:.ZBED=90°,

・・・15口为4BDE的外接圆的直径，点。为ABDE的外接圆的圆心,

VBE平分NABC,

AZCBE=ZOBE,

VOB=OE,

AZOBE=ZOEB,

AZEB=ZCBE,

AOE/7BC,

/.ZAEO=ZC=90°,

AOE±AE,

AAC是卜BDE的外接圆的切线；

(2)解：设。O的半径为r,贝!JOA=OD+DA=r+2\S,OE=r,

在RtAAEO中，VAE2+OE2=AO2,

/.62+r2=(r+2%?)2,解得r=2\W,

VOE/7BC,

・・・三二三，即

□□uU□□

.*.CE=1.

考点：1、切线的判定；2、勾股定理

22、（1）80,20,72；（2）16,补图见解析；（3）原来开私家车的人中至少有50人改为骑自行车，才能使骑自行车的

人数不低于开私家车的人数.

【解析】

试题分析：（1）用乘公交车的人数除以所占的百分比，计算即可求出总人数，再用总人数乘以开私家车的所占的百分

比求出m,用360。乘以骑自行车的所占的百分比计算即可得解：

样本中的总人数为：36+45%=80人;

开私家车的人数m=80x25%=20；

扇形统计图中“骑自行车”的圆心角为360n*(]-10%-25%~45%)=360nx20%=-2".

(2)求出骑自行车的人数，然后补全统计图即可.

(3)设原来开私家车的人中有x人改为骑自行车，表示出改后骑自行车的人数和开私家车的人数，列式不等式，求解

即可.

试题解析：解：(1)80,20,72.

(2)骑自行车的人数为：80x20%=16人，

补全统计图如图所示；

八段

36....................................~

m...................................................—

16.........................

8■~

0~步W.史行室乘意交工薪家。交遁总

(3)设原来开私家车的人中有x人改为骑自行车，

由题意得，92。。°+二/V。。。一二，解得位50.

答：原来开私家车的人中至少有5()人改为骑自行车，才能使骑自行车的人数不低于开私家车的人数.

考点：1.条形统计图；2.扇形统计图；3.频数、频率和总量的关系；4.一元一次不等式的应用.

23、(1)(2)证明见解析；(3)1.

【解析】

(1)由PD切(DO于点C,AD与过点C的切线垂直，易证得OC〃AD,继而证得AC平分NDAB；

(2)由条件可得/CAO=NPCB,结合条件可得NPCF=NPFC,即可证得PC=PF；

PCAP4AC4

(3)易证APACsZ\PCB,由相似三角形的性质可得到一-=--,又因为tan/ABC=—,所以可得——=-,

PBPC3BC3

pc4

进而可得到上=—,设PC=4k,PB=3k,则在R3POC中，利用勾股定理可得PC2+OC2=OP2,进而可建立关于k

PB3

的方程，解方程求出k的值即可求出PC的长.

【详解】

(1)证明：：PD切。O于点C,

.,.OC±PD,

又；ADJ_PD,

AOC//AD,

/.ZACO=ZDAC.

VOC=OA,

AZACO=ZCAO,

AZDAC=ZCAO,

即AC平分NDAB；

(2)证明:VAD±PD,

AZDAC+ZACD=90°.

又・・・AB为。。的直径，

AZACB=90°.

AZPCB+ZACD=90°,

AZDAC=ZPCB.

XVZDAC=ZCAO,

/.ZCAO=ZPCB.

VCE平分NACB,

AZACF=ZBCF,

・•・ZCAO+ZACF=ZPCB+ZBCF,

.\ZPFC=ZPCF,

/.PC=PF；

(3)解：VZPAC=ZPCB,ZP=ZP,

/.△PAC^APCB,

.PCAP

PBPC

—d

又TtanNABC二一，

3

・AC4

••=-9

BC3

•.P•C''4二,

PB3

设PC=4k,PB=3k,则在RtAPOC中，PO=3k+7,OC=7,

VPC2+OC2=OP2,

:.(4k)2+72=(3k+7)2,

k=6(k=0不合题意，舍去).

*.PC=4k=4x6=l.

【点睛】

此题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定

理、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质.

24、(1)y=x2-2x-3；(2)--<///,,5；(3)当"发生改变时，直线